1. Cours
Sept points. Tout ce qui suit est au programme de Terminale, rubrique « Concentration, loi des grands nombres ». Cette fiche couronne toute la partie probabilités : elle suppose connues l'espérance et la variance (fiche 8B), la loi binomiale (fiche 10A) et la moyenne d'un échantillon (fiche 14A).
1L'écart type est l'unité naturelle de dispersion
Une variable aléatoire \(X\) a une espérance \(\mu=E(X)\) — la valeur autour de laquelle elle oscille — et une variance \(V=V(X)\), dont la racine carrée est l'écart type \(\sigma=\sqrt V.\) L'idée mise en avant par le programme est la suivante.
L'écart type est la bonne unité pour mesurer un écart à l'espérance. Dire « \(X\) s'écarte de \(\mu\) de \(10\) » ne veut rien dire tant qu'on ne sait pas si \(\sigma\) vaut \(1\) ou \(100.\) On mesure donc l'écart \(|X-\mu|\) en nombre d'écarts types : un écart de \(2\sigma\), de \(3\sigma\)…
Exemple. Soit \(X\) suivant la loi binomiale \(\mathcal B(100\,;0{,}5)\) (cent lancers d'une pièce équilibrée, \(X\) compte les piles). Alors
\[\mu=np=50,\qquad V=np(1-p)=25,\qquad \sigma=\sqrt{25}=5.\]Un écart de \(10\) entre \(X\) et \(50\) est donc un écart de deux écarts types, puisque \(10=2\times5.\)
2L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev Énoncé exact
Théorème (admis). Soit \(X\) une variable aléatoire d'espérance \(\mu\) et de variance \(V.\) Pour tout réel \(\delta>0\) :
\[P\bigl(|X-\mu|\geqslant\delta\bigr)\leqslant\dfrac{V}{\delta^{2}}.\]Trois remarques sur l'énoncé, à lire lentement.
- Au numérateur, c'est la variance \(V\), pas l'écart type.
- Au dénominateur, c'est \(\delta^{2}\), le seuil au carré.
- L'inégalité est une majoration : elle dit « pas plus que », elle ne donne jamais la valeur de la probabilité.
Exemple. Soit \(X\) d'espérance \(\mu=20\) et de variance \(V=9.\) Avec \(\delta=6\) :
\[P\bigl(|X-20|\geqslant6\bigr)\leqslant\dfrac{9}{6^{2}}=\dfrac{9}{36}=0{,}25.\]Autrement dit, \(X\) tombe hors de l'intervalle \(\left]14\,;26\right[\) avec une probabilité d'au plus \(0{,}25.\) En passant à l'événement contraire :
\[P\bigl(|X-20|<6\bigr)\geqslant1-0{,}25=0{,}75.\]3Lire l'inégalité en nombre d'écarts types
C'est le cas le plus parlant. Prenons \(\delta=k\sigma\) avec \(k>0.\) Comme \(V=\sigma^{2}\) :
\[\dfrac{V}{\delta^{2}}=\dfrac{\sigma^{2}}{(k\sigma)^{2}}=\dfrac{\sigma^{2}}{k^{2}\sigma^{2}}=\dfrac{1}{k^{2}}.\]Conséquence. Pour toute variable aléatoire de variance non nulle et tout \(k>0\) :
\[P\bigl(|X-\mu|\geqslant k\sigma\bigr)\leqslant\dfrac{1}{k^{2}}.\]Le second membre ne dépend ni de la loi, ni de \(\mu\), ni de \(\sigma\) : uniquement du nombre \(k\) d'écarts types.
| \(k\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| majoration \(\dfrac1{k^{2}}\) | \(1\) | \(\dfrac49\) | \(\dfrac14\) | \(\dfrac19\) | \(\dfrac1{16}\) | \(\dfrac1{25}\) | \(\dfrac1{100}\) |
| en décimal | \(1\) | \(\approx0{,}444\) | \(0{,}25\) | \(\approx0{,}111\) | \(0{,}0625\) | \(0{,}04\) | \(0{,}01\) |
Les valeurs de la deuxième ligne sont exactes ; celles de la troisième sont exactes sauf là où figure le signe \(\approx\) (les fractions \(\dfrac49\) et \(\dfrac19\) n'ont pas d'écriture décimale finie).
4Cette inégalité est loin d'être optimale Demandé par le programme
L'inégalité vaut pour toutes les lois : c'est sa force. Mais cette universalité se paie. Le texte officiel demande explicitement de le faire remarquer.
Reprenons \(X\) de loi \(\mathcal B(100\,;0{,}5)\), avec \(\mu=50\) et \(\sigma=5.\) L'inégalité donne
\[P\bigl(|X-50|\geqslant10\bigr)\leqslant\dfrac{1}{2^{2}}=0{,}25.\]Or le calcul exact de cette probabilité (somme des \(P(X=j)\) pour \(j\leqslant40\) et \(j\geqslant60\)) donne
\[P\bigl(|X-50|\geqslant10\bigr)\approx0{,}0569.\]La majoration est correcte — \(0{,}0569\leqslant0{,}25\) — mais environ \(4{,}4\) fois trop grande. Avec \(k=3\), l'écart est encore plus net : la majoration vaut \(\dfrac19\approx0{,}111\) alors que la probabilité réelle vaut environ \(0{,}0035\), soit une trentaine de fois moins.
5L'inégalité de concentration Énoncé exact
On applique maintenant l'inégalité à la moyenne d'un échantillon. Rappel de la fiche 14A : si \((X_1,\dots,X_n)\) est un échantillon de taille \(n\) d'une variable d'espérance \(\mu\) et de variance \(V\) — c'est-à-dire \(n\) variables indépendantes de même loi — alors
\[M_n=\dfrac{X_1+\dots+X_n}{n},\qquad E(M_n)=\mu,\qquad V(M_n)=\dfrac Vn.\]Théorème (inégalité de concentration). Avec ces notations, pour tout réel \(\delta>0\) :
\[P\bigl(|M_n-\mu|\geqslant\delta\bigr)\leqslant\dfrac{V}{n\delta^{2}}.\]D'où vient le \(n\) ? Uniquement de la variance de \(M_n.\) On applique Bienaymé-Tchebychev à la variable \(M_n\), dont l'espérance est \(\mu\) et dont la variance est \(\dfrac Vn\) :
\[P\bigl(|M_n-\mu|\geqslant\delta\bigr)\leqslant\dfrac{V(M_n)}{\delta^{2}}=\dfrac{V/n}{\delta^{2}}=\dfrac{V}{n\delta^{2}}.\]Exemple. Soit \(X\) de variance \(V=4\), et \(M_{100}\) la moyenne d'un échantillon de taille \(100.\) Alors \(V(M_{100})=\dfrac4{100}=0{,}04\), et avec \(\delta=0{,}5\) :
\[P\bigl(|M_{100}-\mu|\geqslant0{,}5\bigr)\leqslant\dfrac{4}{100\times0{,}5^{2}}=\dfrac{4}{25}=0{,}16.\]6La loi des grands nombres
Théorème (loi des grands nombres). Soit \(M_n\) la moyenne d'un échantillon de taille \(n\) d'une variable aléatoire d'espérance \(\mu\) et de variance \(V.\) Alors, pour tout réel \(\delta>0\) fixé :
\[\lim\limits_{n\to+\infty}P\bigl(|M_n-\mu|\geqslant\delta\bigr)=0.\]Démonstration. Elle tient en deux lignes, à partir de l'inégalité de concentration. Pour tout \(n\geqslant1\) :
\[0\leqslant P\bigl(|M_n-\mu|\geqslant\delta\bigr)\leqslant\dfrac{V}{n\delta^{2}}.\]Le nombre \(\delta\) étant fixé, la quantité \(\dfrac{V}{\delta^{2}}\) est une constante, donc \(\dfrac{V}{n\delta^{2}}\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty.\) Par le théorème des gendarmes, la probabilité du milieu tend vers \(0.\) \(\blacksquare\)
7Choisir une taille d'échantillon Capacité attendue
C'est la seule capacité explicitement exigée par le programme : « appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour définir une taille d'échantillon, en fonction de la précision et du risque choisi ».
On se donne deux nombres :
- une précision \(\delta>0\) : l'écart que l'on accepte entre \(M_n\) et \(\mu\) ;
- un risque \(\alpha\in\left]0\,;1\right[\) : la probabilité que l'on accepte de dépasser cet écart.
On cherche \(n\) tel que \(P\bigl(|M_n-\mu|\geqslant\delta\bigr)\leqslant\alpha.\) Il suffit que la majoration soit elle-même \(\leqslant\alpha\) :
\[\dfrac{V}{n\delta^{2}}\leqslant\alpha \iff n\geqslant\dfrac{V}{\alpha\delta^{2}}.\]Conclusion. Toute taille \(n\geqslant\dfrac{V}{\alpha\delta^{2}}\) convient. La plus petite est l'entier immédiatement supérieur ou égal à ce quotient.
Exemple (sondage). On interroge \(n\) personnes ; chacune répond « oui » avec la probabilité \(p\), inconnue. La variance d'une réponse est \(p(1-p)\), et l'on sait que \(p(1-p)\leqslant\dfrac14\) pour tout \(p\in[0\,;1].\) On prend donc \(V=0{,}25.\) Avec une précision \(\delta=0{,}03\) et un risque \(\alpha=0{,}05\) :
\[n\geqslant\dfrac{0{,}25}{0{,}05\times0{,}03^{2}}=\dfrac{0{,}25}{0{,}000045}=\dfrac{50\,000}{9}\approx5555{,}6.\]La plus petite taille qui convient est donc \(n=5556\) — et non \(5555.\)
2. Méthode
A. Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
- Repérer \(\mu\) et \(V.\) Si l'énoncé donne l'écart type \(\sigma\), commencer par écrire \(V=\sigma^{2}.\) C'est la variance qui entre dans la formule.
- Repérer le seuil \(\delta.\) C'est le nombre qui figure à droite du \(\geqslant\) dans l'événement \(|X-\mu|\geqslant\delta.\) Si l'énoncé parle d'un intervalle \(\left]\mu-\delta\,;\mu+\delta\right[\), c'est sa demi-largeur.
- Écrire l'inégalité sans rien calculer : \(P(|X-\mu|\geqslant\delta)\leqslant\dfrac{V}{\delta^{2}}.\)
- Calculer le quotient, en mettant bien \(\delta\) au carré.
- Conclure avec le bon mot : « au plus », « ne dépasse pas ». Si la question porte sur l'événement contraire, passer au complémentaire : \(P(|X-\mu|<\delta)\geqslant1-\dfrac{V}{\delta^{2}}.\)
B. Déterminer une taille d'échantillon La méthode centrale
Énoncé type : « Combien de fois faut-il répéter l'expérience pour que la moyenne obtenue soit à moins de \(\delta\) de \(\mu\) avec une probabilité d'au moins \(1-\alpha\) ? »
- Traduire l'énoncé. « À moins de \(\delta\) de \(\mu\) » donne la précision \(\delta.\) « Avec une probabilité d'au moins \(1-\alpha\) » donne le risque \(\alpha\) : c'est la probabilité de l'événement contraire, celui que l'on veut rendre petit.
- Écrire ce qu'on veut : \(P\bigl(|M_n-\mu|\geqslant\delta\bigr)\leqslant\alpha.\)
- Majorer par la concentration : \(P\bigl(|M_n-\mu|\geqslant\delta\bigr)\leqslant\dfrac{V}{n\delta^{2}}.\) Il suffit donc que \(\dfrac{V}{n\delta^{2}}\leqslant\alpha.\)
- Résoudre en \(n.\) Comme \(n>0\), \(\alpha>0\) et \(\delta>0\), on multiplie par \(n\) puis on divise par \(\alpha\delta^{2}\) sans changer le sens : \(n\geqslant\dfrac{V}{\alpha\delta^{2}}.\)
- Arrondir à l'entier SUPÉRIEUR. Si le quotient vaut \(482{,}3\), la réponse est \(483.\) S'il tombe juste sur un entier, c'est cet entier lui-même (l'inégalité est large).
- Rédiger. « Une taille \(n=483\) suffit pour garantir… » — et non « il faut au moins \(483\) ».
C. Comparer la majoration théorique à la probabilité réelle
C'est l'exemple d'algorithme cité par le programme : calculer \(P\bigl(|S_n-pn|\geqslant\delta\bigr)\) pour \(S_n\) de loi \(\mathcal B(n,p)\), puis comparer à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
- Calculer \(\mu=np\) et \(V=np(1-p)\), puis \(\sigma=\sqrt V.\)
- Calculer la majoration \(\dfrac{V}{\delta^{2}}\) ; si \(\delta=k\sigma\), c'est directement \(\dfrac1{k^{2}}.\)
- Calculer la probabilité réelle en sommant les \(P(S_n=j)=\binom nj p^{j}(1-p)^{n-j}\) pour les entiers \(j\) tels que \(|j-\mu|\geqslant\delta\) (calculatrice, tableur ou programme).
- Comparer. On doit toujours trouver réelle \(\leqslant\) majoration. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur de calcul quelque part.
- Interpréter. L'écart entre les deux nombres mesure le prix de l'universalité, pas une faiblesse du théorème.
D. Reconnaître l'écart et le risque dans un énoncé
Le plus dur n'est pas le calcul, c'est la traduction. Voici les tournures courantes.
| Dans l'énoncé | Ce que c'est |
|---|---|
| « à moins de \(0{,}02\) près », « avec une précision de \(0{,}02\) » | \(\delta=0{,}02\) |
| « dans l'intervalle \(\left]\mu-0{,}02\,;\mu+0{,}02\right[\) » | \(\delta=0{,}02\) (la demi-largeur) |
| « avec un risque de \(5\,\%\) », « dans au plus \(5\,\%\) des cas » | \(\alpha=0{,}05\) |
| « avec une probabilité d'au moins \(0{,}95\) », « dans \(95\,\%\) des cas au moins » | \(\alpha=1-0{,}95=0{,}05\) |
| « l'écart type des réponses est \(3\) » | \(\sigma=3\), donc \(V=9\) |
| « on répète l'expérience \(n\) fois de façon indépendante » | échantillon de taille \(n\), on travaille sur \(M_n\) |
Les cinq erreurs fréquentes
- Oublier le carré au dénominateur. Écrire \(\dfrac V\delta\) au lieu de \(\dfrac{V}{\delta^{2}}.\) Contrôle : avec \(\delta=k\sigma\), la majoration doit valoir \(\dfrac1{k^{2}}\) ; si on trouve \(\dfrac1k\), le carré est passé à la trappe.
- Confondre la variance de \(X\) et celle de \(M_n.\) Dans \(\dfrac{V}{n\delta^{2}}\), le \(V\) est celui d'une variable de l'échantillon. La division par \(n\) est déjà écrite : ne la faites pas deux fois.
- Mettre l'écart type au lieu de la variance. \(\dfrac{\sigma}{\delta^{2}}\) n'est pas la majoration de Bienaymé-Tchebychev. Le numérateur est \(V=\sigma^{2}.\)
- Prendre la majoration pour une valeur approchée. « La probabilité vaut environ \(0{,}25\) » est faux : elle est au plus \(0{,}25\), et vaut souvent bien moins.
- Arrondir la taille d'échantillon à l'entier inférieur. La condition est \(n\geqslant\) quotient : c'est l'entier supérieur qu'il faut prendre.
3. Visualisation
\(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal B(n\,;p).\) On compare la majoration de Bienaymé-Tchebychev pour l'événement \(|X-\mu|\geqslant k\sigma\) à la probabilité réelle, calculée exactement. Les barres coralliennes sont les valeurs comptées dans cet événement.
On tire un échantillon de taille \(n\) d'une variable de Bernoulli de paramètre \(p\) et l'on regarde la loi de la moyenne \(M_n.\) La bande verte est l'intervalle \(\left]p-\delta\,;p+\delta\right[.\) Augmente \(n\) : la loi se resserre et la probabilité de sortir de la bande s'effondre.
Exemple d'algorithme cité par le programme. À chaque pas, on avance de \(+1\) ou de \(-1\) avec la probabilité \(\dfrac12.\) La position \(S_j\) après \(j\) pas est une somme de \(j\) variables indépendantes : \(E(S_j)=0\) et \(\sigma(S_j)=\sqrt j.\) Les courbes en pointillés sont \(\pm\sqrt j\) et \(\pm2\sqrt j.\) Dépasser \(\pm\sqrt j\), c'est-à-dire un écart type, est normal : cela arrive souvent. Dépasser \(\pm2\sqrt j\) est beaucoup plus rare : pour chaque \(j\), Bienaymé-Tchebychev garantit \(P\bigl(|S_j|\geqslant2\sqrt j\bigr)\leqslant\dfrac14.\)
4. Exercices
Trois exercices à valeurs aléatoires : « Nouvel exercice » change les nombres. Toutes les réponses attendues ici sont exactes (un décimal fini ou un entier) : on exige l'égalité, aucune tolérance. Une fraction comme 1/4 est acceptée, la virgule décimale aussi.
Exercice 1 — Appliquer l'inégalité Niveau 1
Exercice 2 — La moyenne d'un échantillon Niveau 2
Exercice 3 — Quelle taille d'échantillon ? Niveau 3
5. QCM
Quatre questions tirées au hasard dans une banque de seize. Une seule bonne réponse par question ; l'explication apparaît dès que tu as répondu.