Cours · Dériver et résoudre en radians
1. Deux dérivées et la règle de composition
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ. Les angles sont mesurés en radians. On admet ici les formules :
\[(\sin x)'=\cos x.\]\[(\cos x)'=-\sin x.\]Si u est dérivable, la règle de composition donne :
\[(\sin u)'=u'\cos u.\]\[(\cos u)'=-u'\sin u.\]Par exemple, pour f(x) = 3 sin(2x) − x, on a f′(x) = 6 cos(2x) − 1. Ne perdre ni le facteur intérieur, ni le signe moins de la dérivée du cosinus.
2. Variations et représentation graphique
Sur [−π,0], sin x ≤ 0, donc cos′ x ≥ 0. Sur [0,π], sin x ≥ 0, donc cos′ x ≤ 0. Le cosinus est strictement croissant sur [−π,0] puis strictement décroissant sur [0,π].
| x | −π | 0 | π |
|---|---|---|---|
| cos x | −1 ↗ | 1 ↘ | −1 |
De même, le signe du cosinus donne les variations du sinus : il est strictement croissant sur [−π/2,π/2] puis strictement décroissant sur [π/2,3π/2].
| x | −π/2 | π/2 | 3π/2 |
|---|---|---|---|
| sin x | −1 ↗ | 1 ↘ | −1 |
La périodicité de 2π prolonge ces courbes à tout ℝ. Pour b > 0, sin(bx) et cos(bx) ont pour plus petite période positive 2π/b.
3. Deux limites comme taux d’accroissement
Les formules de dérivation admises permettent de reconnaître les limites suivantes :
\[\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1.\]\[\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.\]Justification · dérivée en zéro
Comme sin 0 = 0, le premier quotient est le taux d’accroissement du sinus en 0 ; sa limite vaut sin′(0) = cos 0 = 1. Comme cos 0 = 1, le second est celui du cosinus en 0 ; sa limite vaut cos′(0) = −sin 0 = 0.
Ces limites sont ici des conséquences des dérivées admises, pas une démonstration de ces dérivées. Cette justification n’est pas annoncée comme une démonstration exigible par le programme.
Plus généralement, pour tout réel a, la limite de sin(ax)/x en 0 vaut a, par dérivation de x ↦ sin(ax) en 0.
4. Résoudre cos x = a sur [−π,π]
Commencer par le domaine des valeurs du cosinus. Si a < −1 ou a > 1, il n’y a aucune solution.
Si −1 < a < 1, la stricte décroissance continue du cosinus sur [0,π] donne une unique valeur α dans ]0,π[ telle que cos α = a. Par parité, l’ensemble des solutions est :
\[S=\{-\alpha,\alpha\}.\]Si a = 1, S = {0}. Si a = −1, S = {−π,π} : les deux bornes sont incluses et sont deux réels différents.
Exemple : cos x = 1/2 donne α = π/3, donc S = {−π/3,π/3}. Pour une valeur non remarquable, la fonction inverse du cosinus à la calculatrice, en mode radians, fournit une approximation de α dans [0,π].
5. Résoudre cos x ≤ a sur [−π,π]
Pour −1 < a < 1, on place les deux points de niveau a puis on prend les parties de la courbe situées en dessous. Avec cos α = a et 0 < α < π :
\[S=[-\pi,-\alpha]\cup[\alpha,\pi].\]Les bornes sont incluses car l’inégalité est large. Si a < −1 : S est vide. Si a = −1 : S = {−π,π}. Si a ≥ 1 : tout [−π,π] convient.
Pour cos x ≥ a et −1 < a < 1, on garde au contraire l’intervalle central [−α,α]. Ne pas intervertir les deux régions.
6. Étudier une fonction, puis optimiser
Pour une fonction trigonométrique simple : fixer l’intervalle, dériver, étudier le signe de la dérivée, dresser les variations, puis comparer les valeurs aux points critiques et aux bornes.
Un triangle dont deux côtés ont des longueurs positives a et b, avec un angle θ entre eux, a pour aire :
\[A(\theta)=\frac{ab}{2}\sin\theta.\]Sur [0,π], cette aire est maximale en π/2 et vaut ab/2. En effet, A′(θ) = (ab/2) cos θ est positive avant π/2 et négative après. Aux bornes, le triangle est aplati et l’aire nulle.
La tangente à la courbe de f en x₀ a pour équation y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). C’est une droite ; elle ne doit pas être confondue avec la fonction tangente, qui n’est pas nécessaire dans cette fiche.
Méthode · Les signes avant les calculs
- Lire l’intervalle de travail et les bornes incluses ou exclues. Travailler en radians.
- Pour dériver : dérivée extérieure, puis facteur de la fonction intérieure.
- Pour une équation : vérifier que le niveau appartient à [−1,1], puis utiliser cercle, variations et symétrie.
- Pour une inéquation : sélectionner les portions au-dessus ou en dessous du niveau et vérifier les bornes.
- Pour un extremum : comparer les points critiques et les extrémités ; une dérivée nulle seule ne prouve pas un maximum.
Exemple : sur [−π,π], cos x ≤ 1/2 donne [−π,−π/3] ∪ [π/3,π], et non l’intervalle central.
Visualisations · Pente et ensembles de solutions
Fonction, dérivée et tangente
Ici f(x) = A sin(bx) + C ou A cos(bx) + C : C est une constante. La fenêtre couvre [−2π,2π]. Bleu : f ; vert : f′ ; orange en pointillés : la droite tangente en x₀.
L’échelle verticale s’adapte à A, b et C. Si A = 0, la fonction est constante et la dérivée nulle.
Résoudre avec le cosinus
Intervalle fixé : [−π,π]. Les segments verts de l’axe des solutions indiquent tous les réels qui conviennent ; les points pleins indiquent les bornes incluses. Les positions dessinées sont approchées.
Teste a = −1, a = 1 et un niveau hors de [−1,1]. Pour a = −1, l’équation a bien deux solutions : −π et π.
Exercices
Les trois exercices demandent une valeur exacte. Une fraction ou un décimal égal à cette valeur est accepté ; un arrondi ne l’est pas.
Exercice 1 · Une dérivée en un point Niveau 1
Exercice 2 · Une équation Niveau 2
Exercice 3 · Une aire maximale Niveau 3
QCM
Quatre questions tirées dans une banque de douze. Une seule réponse correcte par question.