Cours
Dans toute la fiche, le plan est muni d'un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j)\). Les coordonnées s'écrivent \(A(x_A;y_A)\), les vecteurs \(\vec n(a;b)\).
1Vecteur normal à une droite
Définition. Un vecteur non nul \(\vec n\) est normal à la droite \(d\) s'il est orthogonal à un vecteur directeur de \(d\) (donc à tous).
Propriété. La droite d'équation \(ax+by+c=0\) (avec \((a;b)\neq(0;0)\)) admet \(\vec n(a;b)\) comme vecteur normal et \(\vec u(-b;a)\) comme vecteur directeur.
Vérification : \(\vec n\cdot\vec u = a\times(-b)+b\times a = 0\). Les coefficients de \(x\) et de \(y\) se lisent directement comme coordonnées du vecteur normal.
Exemple. \(d : 2x-3y+5=0\). Vecteur normal : \(\vec n(2;-3)\). Vecteur directeur : \(\vec u(3;2)\). Contrôle : \(2\times 3+(-3)\times 2=0\) ✓.
L'équation \(4x-6y+10=0\) décrit la même droite (on a multiplié par 2) : un vecteur normal est défini « à un facteur près ».
2Équation cartésienne : un point et un vecteur normal
Soit \(A(x_A;y_A)\) et \(\vec n(a;b)\neq\vec 0\). Le point \(M(x;y)\) appartient à la droite \(d\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec n\) si et seulement si \[\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0 \iff a(x-x_A)+b(y-y_A)=0.\]
Exemple. \(A(1;2)\), \(\vec n(3;-1)\). On a \(\overrightarrow{AM}(x-1;y-2)\), donc \(3(x-1)+(-1)(y-2)=0\iff 3x-3-y+2=0\iff \boxed{3x-y-1=0}\).
Contrôle : \(A\) vérifie l'équation ? \(3\times1-2-1=0\) ✓. Et les coefficients \((3;-1)\) sont bien ceux de \(\vec n\) ✓.
3Projeté orthogonal d'un point sur une droite
Le projeté orthogonal de \(M\) sur \(d\) est le point \(H\) de \(d\) tel que \((MH)\perp d\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{MH}\) colinéaire au vecteur normal \(\vec n\) (ou orthogonal au vecteur directeur \(\vec u\)).
Exemple guidé : \(d : x+2y-5=0\) et \(M(4;3)\). Ici \(\vec n(1;2)\), \(\vec u(-2;1)\), et \(A(5;0)\in d\).
Méthode 1 (paramétrer H sur la droite). \(H\in d\) donc \(H=A+t\,\vec u\) : \(H(5-2t;\,t)\). Alors \(\overrightarrow{MH}(1-2t;\,t-3)\) et \(\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0\iff -2(1-2t)+(t-3)=0\iff 5t-5=0\iff t=1\). D'où \(\boxed{H(3;1)}\).
Méthode 2 (intersection avec la perpendiculaire). La perpendiculaire à \(d\) passant par \(M\) est dirigée par \(\vec n(1;2)\), donc a pour vecteur normal \(\vec u(-2;1)\) : \(-2(x-4)+1(y-3)=0\iff -2x+y+5=0\). On résout le système \(\begin{cases}x+2y-5=0\\-2x+y+5=0\end{cases}\) : \(y=2x-5\), puis \(x+4x-10-5=0\), \(x=3\), \(y=1\). Même résultat \(H(3;1)\) ✓.
Astuce : la perpendiculaire par \(M\) s'écrit aussi \(H=M+s\,\vec n\) ; on reporte dans l'équation de \(d\) pour trouver \(s\). C'est la méthode utilisée dans les corrections des exercices.
4Distance d'un point à une droite
La distance de \(M\) à \(d\) est la longueur \(MH\), où \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \(d\). C'est la plus courte distance entre \(M\) et un point de \(d\).
Exemple (suite). \(M(4;3)\), \(H(3;1)\) : \(MH=\sqrt{(3-4)^2+(1-3)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt5\approx 2{,}24\).
Approfondissement (hors programme, mais pratique pour vérifier). Si \(d : ax+by+c=0\), alors \(\displaystyle MH=\frac{|a\,x_M+b\,y_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\). Ici : \(\dfrac{|4+6-5|}{\sqrt5}=\dfrac{5}{\sqrt5}=\sqrt5\) ✓. Au contrôle, on attend le calcul de \(H\) puis de \(MH\).
5Équation d'un cercle
Le cercle \(\mathcal C\) de centre \(\Omega(a;b)\) et de rayon \(r>0\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\Omega M=r\), soit \(\Omega M^2=r^2\) : \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\]
Exemple. Centre \(\Omega(2;-1)\), rayon \(3\) : \((x-2)^2+(y+1)^2=9\). Attention au signe : \(y-(-1)=y+1\).
Forme développée : \(x^2-4x+4+y^2+2y+1-9=0\iff x^2+y^2-4x+2y-4=0\).
Le point \(P(5;-1)\) est-il sur \(\mathcal C\) ? \((5-2)^2+(-1+1)^2=9=r^2\) : oui ✓.
Cercle de diamètre \([AB]\) démonstration exigible (fiche 2B) : \(M\in\mathcal C\iff\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\). Voir la méthode 4.
6Reconnaître un cercle : compléter le carré
Une équation de la forme \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\) se ramène à la forme \((x-a)^2+(y-b)^2=R\) grâce à \[x^2+\alpha x=\Big(x+\frac{\alpha}{2}\Big)^2-\frac{\alpha^2}{4}.\] Si \(R>0\) : cercle de centre \((a;b)\) et de rayon \(\sqrt R\). Si \(R=0\) : le seul point \(\Omega\). Si \(R<0\) : ensemble vide.
Exemple. \(x^2+y^2-6x+4y-3=0\).
\(x^2-6x=(x-3)^2-9\) et \(y^2+4y=(y+2)^2-4\), donc l'équation devient \((x-3)^2-9+(y+2)^2-4-3=0\), soit \((x-3)^2+(y+2)^2=16\).
C'est le cercle de centre \(\Omega(3;-2)\) et de rayon \(\sqrt{16}=4\).
Contre-exemple. \(x^2+y^2+4x-2y+9=0\iff(x+2)^2+(y-1)^2=4+1-9=-4\) : aucun point, ce n'est pas un cercle.
7Parabole : axe de symétrie et sommet
La courbe d'équation \(y=ax^2+bx+c\) (\(a\neq0\)) est une parabole d'axe de symétrie la droite verticale \(x=-\dfrac{b}{2a}\) et de sommet \(S\Big(-\dfrac{b}{2a}\,;\,f\big(-\tfrac{b}{2a}\big)\Big)\). Forme canonique : \(y=a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(S(\alpha;\beta)\).
Exemple. \(y=2x^2-8x+5\) : \(\alpha=-\dfrac{-8}{2\times2}=2\), \(\beta=2\times4-16+5=-3\). Axe : \(x=2\) ; sommet \(S(2;-3)\) ; \(a=2>0\) donc la parabole est « tournée vers le haut » et \(S\) est le point le plus bas.
Forme canonique : \(y=2(x-2)^2-3\). Contrôle : \(2(x^2-4x+4)-3=2x^2-8x+5\) ✓.
Méthode
Méthode 1 — Trouver une équation de droite avec un vecteur normal
Données : un point \(A(x_A;y_A)\) et un vecteur normal \(\vec n(a;b)\).
- Écrire \(M(x;y)\in d\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\).
- Calculer \(\overrightarrow{AM}(x-x_A;\,y-y_A)\) puis le produit scalaire : \(a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\).
- Développer et réduire : \(ax+by+c=0\) avec \(c=-a\,x_A-b\,y_A\).
- Contrôler : les coordonnées de \(A\) vérifient l'équation, et les coefficients de \(x\), \(y\) sont ceux de \(\vec n\).
\(A(-2;3)\), \(\vec n(4;1)\) : \(4(x+2)+1(y-3)=0\iff 4x+y+5=0\). Contrôle : \(4\times(-2)+3+5=0\) ✓.
Variante : si on donne un vecteur directeur \(\vec u(p;q)\), un vecteur normal est \(\vec n(-q;p)\) (ou \((q;-p)\)). Si on donne une droite parallèle, on garde son vecteur normal ; si on veut la perpendiculaire, son vecteur normal devient vecteur directeur.
Méthode 2 — Trouver le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(d\)
Données : \(d : ax+by+c=0\) et \(M(x_M;y_M)\).
- Lire le vecteur normal \(\vec n(a;b)\) : la perpendiculaire à \(d\) passant par \(M\) est dirigée par \(\vec n\).
- Écrire \(H=M+s\,\vec n\), c'est-à-dire \(H(x_M+s\,a;\;y_M+s\,b)\).
- Reporter dans l'équation de \(d\) : \(a(x_M+sa)+b(y_M+sb)+c=0\), résoudre en \(s\).
- Calculer les coordonnées de \(H\), puis, si demandé, \(MH=\sqrt{(x_H-x_M)^2+(y_H-y_M)^2}\) (ou \(MH=|s|\,\|\vec n\|\)).
- Contrôler : \(H\) vérifie l'équation de \(d\).
\(d : 3x-y+2=0\), \(M(1;6)\). \(\vec n(3;-1)\), \(H(1+3s;\,6-s)\). Dans \(d\) : \(3(1+3s)-(6-s)+2=0\iff 10s-1=0\iff s=\tfrac1{10}\). Donc \(H\big(1{,}3\,;\,5{,}9\big)\) et \(MH=|s|\sqrt{9+1}=\tfrac{\sqrt{10}}{10}\approx0{,}32\).
Méthode 3 — Reconnaître un cercle (compléter le carré)
Donnée : \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\).
- Vérifier que \(x^2\) et \(y^2\) ont le même coefficient (sinon diviser toute l'équation ; si les coefficients diffèrent, ce n'est pas un cercle).
- Regrouper : \((x^2+\alpha x)+(y^2+\beta y)+\gamma=0\).
- Compléter chaque carré : \(x^2+\alpha x=\big(x+\tfrac\alpha2\big)^2-\tfrac{\alpha^2}4\), de même en \(y\).
- Isoler : \(\big(x+\tfrac\alpha2\big)^2+\big(y+\tfrac\beta2\big)^2=R\) avec \(R=\tfrac{\alpha^2}4+\tfrac{\beta^2}4-\gamma\).
- Conclure selon le signe de \(R\) : cercle de centre \(\big(-\tfrac\alpha2;-\tfrac\beta2\big)\) et de rayon \(\sqrt R\) si \(R>0\).
\(x^2+y^2+2x-8y+8=0\iff(x+1)^2-1+(y-4)^2-16+8=0\iff(x+1)^2+(y-4)^2=9\) : centre \(\Omega(-1;4)\), rayon \(3\).
Méthode 4 — Équation du cercle de diamètre \([AB]\)
- Utiliser la caractérisation : \(M\in\mathcal C\iff\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) (angle droit en \(M\), ou \(M=A\), \(M=B\)).
- Écrire \(\overrightarrow{MA}(x_A-x;\,y_A-y)\) et \(\overrightarrow{MB}(x_B-x;\,y_B-y)\), puis développer \((x_A-x)(x_B-x)+(y_A-y)(y_B-y)=0\).
- Réduire, puis compléter les carrés (méthode 3) pour lire centre et rayon.
- Contrôler : le centre est le milieu \(I\) de \([AB]\) et le rayon vaut \(\tfrac{AB}{2}\). (On peut aussi partir directement de là : \((x-x_I)^2+(y-y_I)^2=\big(\tfrac{AB}2\big)^2\).)
\(A(-1;2)\), \(B(3;4)\) : \((x+1)(x-3)+(y-2)(y-4)=0\iff x^2-2x-3+y^2-6y+8=0\iff x^2+y^2-2x-6y+5=0\iff(x-1)^2+(y-3)^2=5\). Centre \((1;3)\) = milieu de \([AB]\) ✓, rayon \(\sqrt5\) et \(AB=\sqrt{16+4}=2\sqrt5\) ✓.
Erreurs fréquentes
- Confondre vecteur normal et vecteur directeur. Pour \(ax+by+c=0\) : normal \((a;b)\), directeur \((-b;a)\). Réflexe : tester \(\vec n\cdot\vec u=0\).
- Le signe dans \((x-a)^2\). Le cercle de centre \((−2;5)\) s'écrit \((x+2)^2+(y-5)^2=r^2\), et non \((x-2)^2\).
- Oublier \(-\tfrac{\alpha^2}{4}\) en complétant le carré, ou oublier de vérifier que \(R=r^2\) est strictement positif avant de parler de cercle.
- Confondre \(r\) et \(r^2\) : dans \((x-1)^2+(y+2)^2=9\), le rayon est \(3\).
- Projeté orthogonal : \(H\) doit appartenir à \(d\) et \(\overrightarrow{MH}\) doit être orthogonal à \(d\). Vérifier les deux.
- Parabole : l'axe est \(x=-\dfrac{b}{2a}\) (attention au signe et au facteur 2).
Visualisation
Touche ou glisse sur la figure pour déplacer le point M. La zone bleutée est le demi-plan où \(ax+by+c>0\), du côté vers lequel pointe \(\vec n\).
Exercices
Réponses : nombres entiers, décimaux (virgule ou point) ou fractions comme 3/2. Les racines carrées peuvent s'écrire √5 ou sqrt(5).
Exercice 1 Niveau 1
Exercice 2 Niveau 2
Exercice 3 Niveau 3
QCM
4 questions tirées au hasard dans une banque. Une seule bonne réponse par question ; le feedback est immédiat.