Cours
Prérequis (fiche 2A) : \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)\), \(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\), symétrie et bilinéarité.
1 Développer une norme au carré
Comme \(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\), on développe un carré de norme exactement comme une identité remarquable, grâce à la bilinéarité et à la symétrie :
En texte : ‖u+v‖² = ‖u‖² + 2 u·v + ‖v‖² et ‖u−v‖² = ‖u‖² − 2 u·v + ‖v‖².
Pourquoi ? (2 lignes)
\(\|\vec u+\vec v\|^2=(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)=\vec u\cdot\vec u+\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec u+\vec v\cdot\vec v\), et comme \(\vec v\cdot\vec u=\vec u\cdot\vec v\), on obtient \(\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\).
\(\|\vec u+\vec v\|^2=9+2\times(-4)+4=5\), donc \(\|\vec u+\vec v\|=\sqrt5\approx2{,}24\).
\(\|\vec u-\vec v\|^2=9-2\times(-4)+4=21\), donc \(\|\vec u-\vec v\|=\sqrt{21}\approx4{,}58\).
2 Formule de polarisation : calculer avec les normes seules
En isolant \(\vec u\cdot\vec v\) dans l'identité précédente, on obtient le produit scalaire sans angle et sans coordonnées, uniquement avec trois longueurs :
En texte : u·v = ½(‖u+v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²).
On remarque que \(\vec{AC}-\vec{AB}=\vec{BC}\). Donc \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\dfrac12\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)=\dfrac12(25+49-36)=\dfrac{38}{2}=19\).
3 Formule d'Al-Kashi démonstration exigible
Dans un triangle \(ABC\), on note \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) (le côté \(a\) est opposé au sommet \(A\)). Alors :
En texte : BC² = AC² + AB² − 2·AC·AB·cos(Â). Idem pour les autres sommets : \(b^2=a^2+c^2-2ac\cos\hat B\), \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\hat C\).
C'est le théorème de Pythagore généralisé : si \(\hat A=90^\circ\), \(\cos\hat A=0\) et on retrouve \(a^2=b^2+c^2\).
Démonstration (à savoir refaire)
- Relation de Chasles : \(\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}=\vec{AC}-\vec{AB}\).
- On élève au carré (norme au carré) : \(BC^2=\|\vec{AC}-\vec{AB}\|^2=\|\vec{AC}\|^2-2\,\vec{AC}\cdot\vec{AB}+\|\vec{AB}\|^2\).
- Or \(\vec{AC}\cdot\vec{AB}=AC\times AB\times\cos\hat A=bc\cos\hat A\).
- Donc \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat A\). \(\blacksquare\)
\(BC^2=6^2+4^2-2\times6\times4\times\cos60^\circ=36+16-48\times0{,}5=28\), d'où \(BC=\sqrt{28}=2\sqrt7\approx5{,}3\).
4 Transformer \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}\) avec le milieu \(I\)
Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Pour tout point \(M\) du plan :
En texte : MA·MB = MI² − AB²/4 (ce qui vaut aussi \(MI^2-IA^2\) puisque \(IA=AB/2\)).
Preuve (2 lignes, à connaître)
\(\vec{MA}=\vec{MI}+\vec{IA}\) et \(\vec{MB}=\vec{MI}+\vec{IB}=\vec{MI}-\vec{IA}\) car \(I\) est le milieu.
Donc \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=(\vec{MI}+\vec{IA})\cdot(\vec{MI}-\vec{IA})=MI^2-IA^2=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}\).
Si \(MI=2\) : \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=4-9=-5\) (négatif : \(M\) est « entre » \(A\) et \(B\), à l'intérieur du cercle, voir point 5).
5 Le cercle de diamètre \([AB]\) démonstration exigible
Théorème. L'ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\) est le cercle de diamètre \([AB]\).
Démonstration (à savoir refaire)
Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). D'après le point 4 :
\[\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\iff MI^2-\frac{AB^2}{4}=0\iff MI^2=\left(\frac{AB}{2}\right)^2\iff MI=\frac{AB}{2}.\]Or l'ensemble des points \(M\) tels que \(MI=\dfrac{AB}{2}\) est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(\dfrac{AB}{2}\), c'est-à-dire le cercle de diamètre \([AB]\). \(\blacksquare\)
Interprétation : si \(M\neq A,B\), \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\) signifie que le triangle \(AMB\) est rectangle en \(M\) — on retrouve le « triangle inscrit dans un demi-cercle ».
\(\vec{MA}(-3\,;\,-3)\), \(\vec{MB}(3\,;\,-3)\) : \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=-9+9=0\). Oui ! (Vérification : \(I(1;0)\), \(MI=3=AB/2\).)
6 Théorème de la médiane approfondissement
Non exigible au programme, mais utile et démontrable avec les mêmes outils. Si \(I\) est le milieu de \([AB]\) :
Preuve : on écrit \(MA^2=\|\vec{MI}+\vec{IA}\|^2\) et \(MB^2=\|\vec{MI}-\vec{IA}\|^2\), on développe les deux et on additionne : les doubles produits s'annulent.
7 Choisir la méthode de calcul de \(\vec u\cdot\vec v\)
| Ce que l'on connaît | Formule à utiliser | Exemple |
|---|---|---|
| Un projeté orthogonal (figure avec angle droit) | \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\vec{AB}\cdot\vec{AH}=\pm AB\times AH\) | \(AB=4\), \(AH=3\) même sens : \(12\) |
| Des coordonnées (repère orthonormé) | \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\) | \((2;3)\cdot(-1;4)=-2+12=10\) |
| Deux normes et l'angle | \(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\) | \(3\times2\times\cos120^\circ=-3\) |
| Trois normes (triangle sans angle) | \(\frac12\left(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\right)\) | \(AB=5,AC=7,BC=6\) : \(19\) |
Règle simple : angle droit visible → projection ; repère → coordonnées ; angle donné → cosinus ; seulement des longueurs → normes seules (ou Al-Kashi).
Méthode
Les quatre types d'exercices du chapitre, pas à pas. Calculatrice en degrés (vérifie le mode avant tout calcul).
Calculer une longueur avec Al-Kashi
Données : deux côtés et l'angle entre ces deux côtés.
- Nommer : le côté cherché est opposé à l'angle connu. Si l'angle est \(\hat A\), le côté cherché est \(BC=a\).
- Écrire la formule avec les bonnes lettres : \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat A\).
- Remplacer, calculer \(\cos\hat A\) (calculatrice en degrés), garder le signe : si \(\hat A>90^\circ\), \(\cos\hat A<0\) et « \(-2bc\cos\hat A\) » devient positif.
- Prendre la racine carrée : \(a=\sqrt{\dots}\), puis arrondir comme demandé.
Calculer un angle avec Al-Kashi
Données : les trois côtés.
- Choisir l'angle cherché ; le côté opposé va « seul » à gauche : \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\hat A\).
- Isoler le cosinus : \(\cos\hat A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\).
- Calculer la valeur (entre \(-1\) et \(1\), sinon erreur de calcul).
- Appliquer \(\arccos\) (touche
cos⁻¹ouacos) en mode degrés, puis arrondir.
Montrer qu'un ensemble de points est un cercle
- Repérer la forme \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=k\) (souvent \(k=0\)).
- Introduire \(I\) milieu de \([AB]\) et écrire \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}\).
- Résoudre : \(MI^2=k+\dfrac{AB^2}{4}\). Si le membre de droite est \(>0\), c'est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(\sqrt{k+AB^2/4}\) ; s'il vaut \(0\), le seul point \(I\) ; s'il est \(<0\), l'ensemble vide.
- Conclure en nommant centre et rayon (pour \(k=0\) : cercle de diamètre \([AB]\)).
Calculer \(\vec u\cdot\vec v\) quand on connaît trois normes
- Identifier le troisième vecteur : est-ce \(\vec u+\vec v\) ou \(\vec u-\vec v\) ? Dans un triangle, \(\vec{AC}-\vec{AB}=\vec{BC}\) (différence).
- Écrire l'identité adaptée : \(\|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\).
- Isoler : \(\vec u\cdot\vec v=\dfrac12\left(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\right)\).
- Remplacer et calculer. Le signe du résultat renseigne sur l'angle (négatif ⟹ angle obtus).
Erreurs fréquentes
DEG / RAD affiché en haut).Visualisation
Déplace les points avec le doigt ou la souris (ou utilise les curseurs). Tout se recalcule en direct.
Unité : 1 carreau = 20 px, longueurs affichées en unités de 20 px. Quand  = 90°, le terme −2bc·cos  disparaît : Al-Kashi devient Pythagore.
Vert : \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}\approx0\), M est sur le cercle et l'angle AMB est droit. Bleu : produit négatif, M à l'intérieur. Corail : produit positif, M à l'extérieur. Unité : 1 carreau = 20 px.
Exercices
Trois exercices génératifs de difficulté croissante. Réponds avec une virgule ou un point pour les décimales.
Produit scalaire avec normes et angle
Al-Kashi : calculer le troisième côté
Angle d'un triangle dont on connaît les trois côtés
QCM
Quatre questions tirées au hasard dans une banque. Une seule bonne réponse par question.