Cours
1. Modéliser une succession d’épreuves
Une issue d’une succession de n épreuves est une liste ordonnée \((x_1,\ldots,x_n).\) Si les univers sont \(\Omega_1,\ldots,\Omega_n,\) l’univers des suites est le produit cartésien \(\Omega_1\times\cdots\times\Omega_n.\)
Exemple : dé puis pièce donne les couples (1, pile), (1, face), …, (6, face). L’ordre des composantes précise l’épreuve concernée.
2. Indépendance : le produit des probabilités
Dans le modèle d’épreuves indépendantes, la probabilité d’une suite est le produit des probabilités de ses composantes :
\[P((x_1,\ldots,x_n))=P_1(x_1)\cdots P_n(x_n).\]Dé et pièce équilibrés, indépendants : \(P((6,\text{pile}))=(1/6)\times(1/2)=1/12.\) Les épreuves peuvent avoir des lois différentes et rester indépendantes.
Sans indépendance, on utilise un arbre dont les probabilités conditionnelles peuvent changer selon les résultats précédents. Un tirage sans remise dans une urne ne fournit généralement pas des épreuves indépendantes.
3. Une épreuve de Bernoulli et sa loi
Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès S, de probabilité p, et échec E, de probabilité \(1-p,\) avec \(0\leq p\leq1.\) Le mot « succès » est une convention de modélisation.
La variable X vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec. Elle suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
\[P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p,\quad E(X)=p.\]En appliquant la définition de 8B :
\[V(X)=(0-p)^2(1-p)+(1-p)^2p=p(1-p).\]Exemple : pour \(p=0{,}3,\) l’espérance vaut 0,3 et la variance 0,21.
4. Reconnaître un schéma de Bernoulli
On répète un nombre fixé n d’épreuves de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p.
- Deux issues par épreuve : succès ou échec.
- La même probabilité p à chaque répétition.
- L’indépendance fait partie du modèle.
Quatre lancers indépendants d’une même pièce, avec « pile » comme succès, donnent un schéma. Des essais indépendants dont les probabilités changent ne constituent pas un schéma de Bernoulli de paramètre unique.
5. Un chemin imposé ou plusieurs chemins ?
Pour trois épreuves de paramètre \(p=0{,}6,\) le chemin SSE a pour probabilité \(0{,}6\times0{,}6\times0{,}4=0{,}144.\)
« Exactement deux succès » rassemble SSE, SES et ESS. Ces chemins sont incompatibles et chacun vaut 0,144, donc la probabilité cherchée vaut \(3\times0{,}144=0{,}432.\)
Le chapitre 10 donnera la loi binomiale générale et la démonstration de la probabilité de k succès, après le dénombrement du chapitre 9. Ici, on peut lister directement les chemins pour deux ou trois épreuves.
6. « Au moins un » : passer au contraire
Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès » :
\[P(\text{au moins un succès})=1-(1-p)^n.\]Avec trois essais indépendants et \(p=0{,}2,\) le résultat est \(1-0{,}8^3=0{,}488.\)
À la frontière, p = 0 donne toujours un échec, p = 1 toujours un succès. Les chemins contenant une issue impossible ont une probabilité nulle.
Méthode
Choisir la bonne stratégie
- Définir le succès et son complément ; identifier n et p.
- Vérifier que l’indépendance et la constance de p sont posées par le modèle.
- Traduire la question : ordre imposé, exactement k succès, au moins un succès…
- Ordre imposé : multiplier le long de ce chemin.
- Deux ou trois essais, nombre exact de succès : lister les chemins favorables, puis additionner.
- Au moins un succès : calculer d’abord aucun succès, puis soustraire à 1.
Les pièges à éviter
- « Répété » n’implique pas « indépendant ».
- Une remise doit s’accompagner d’un nouveau tirage modélisé indépendant ; elle restaure la composition de l’urne.
- SSE et SES sont deux chemins différents, même s’ils ont la même probabilité.
- « Au moins deux » inclut trois succès ; « exactement deux » les exclut.
- Garder les fractions ou les décimaux exacts tant qu’aucun arrondi n’est demandé.
Visualisation
Explorer tous les chemins de deux ou trois essais
Chaque ligne est une feuille de l’arbre. Les chemins favorables sont bleus ; les autres sont gris. La longueur de la barre représente leur probabilité.
Essaie p = 0 puis p = 1 : un seul chemin reste possible. Compare ensuite un chemin avec l’événement « exactement deux succès ».
Exercices
Réponds avec une fraction (ex. 3/10) ou un décimal exact (ex. 0,3). Aucun arrondi n’est demandé.
Exercice 1 Niveau 1
Exercice 2 Niveau 2
Exercice 3 Niveau 3
QCM
Quatre questions tirées dans une banque de douze. Une seule réponse correcte par question.