1. Cours
Sept points. Tout ce qui suit est au programme de Terminale, rubrique « Primitives, équations différentielles ». La résolution de \(y'=ay\) est une démonstration exigible : elle peut tomber telle quelle au bac.
1Une équation dont l'inconnue est une fonction
Jusqu'ici, résoudre une équation, c'était chercher des nombres : \(x^{2}-4=0\) a pour solutions \(-2\) et \(2.\) Dans une équation différentielle, l'inconnue est une fonction, et l'équation relie cette fonction à sa dérivée.
Définition. Une solution de l'équation \(y'=ay+b\) sur un intervalle \(I\) est une fonction \(f\), dérivable sur \(I\), telle que \(f'(x)=a\,f(x)+b\) pour tout \(x\) de \(I.\)
L'écriture \(y'=3y\) est une abréviation de : pour tout \(x\) de \(I,\ y'(x)=3\,y(x).\)
Exemple. \(f(x)=5\,\mathrm e^{3x}\) est solution de \(y'=3y\) sur \(\mathbb R\) : d'une part \(f'(x)=5\times 3\,\mathrm e^{3x}=15\,\mathrm e^{3x}\), d'autre part \(3f(x)=15\,\mathrm e^{3x}.\) Les deux expressions sont égales pour tout \(x\), donc \(f\) est bien solution.
Contre-exemple. \(g(x)=x^{2}\) n'est pas solution de \(y'=3y\) : \(g'(x)=2x\) et \(3g(x)=3x^{2}.\) L'égalité \(2x=3x^{2}\) équivaut à \(x(2-3x)=0\), donc elle n'a lieu qu'en \(x=0\) et \(x=\dfrac23\) — et non pour tout \(x.\)
2L'équation \(y'=ay\) Démonstration exigible
Théorème. Soit \(a\) un nombre réel. Les solutions sur \(\mathbb R\) de l'équation différentielle \(y'=ay\) sont exactement les fonctions \[f_C:x\longmapsto C\,\mathrm e^{ax},\qquad C\in\mathbb R.\]
Démonstration. Elle se fait en deux temps.
- Ce sont des solutions. Soit \(C\in\mathbb R\) et \(f_C(x)=C\,\mathrm e^{ax}.\) La fonction \(f_C\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et \(f_C'(x)=C\times a\,\mathrm e^{ax}=a\,f_C(x).\) Donc \(f_C\) est solution de \(y'=ay.\)
- Il n'y en a pas d'autres. Soit \(f\) une solution quelconque. Posons \(g(x)=f(x)\,\mathrm e^{-ax}.\) Comme produit de fonctions dérivables, \(g\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et \[g'(x)=f'(x)\,\mathrm e^{-ax}+f(x)\times(-a)\,\mathrm e^{-ax}=\bigl(f'(x)-a\,f(x)\bigr)\mathrm e^{-ax}.\] Or \(f\) est solution, donc \(f'(x)-a\,f(x)=0\), donc \(g'(x)=0\) pour tout \(x.\)
- Conclusion. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle y est constante : il existe \(C\in\mathbb R\) tel que \(g(x)=C\) pour tout \(x.\) Comme \(\mathrm e^{-ax}\neq 0\), on peut écrire \(f(x)=g(x)\,\mathrm e^{ax}\), c'est-à-dire \(f(x)=C\,\mathrm e^{ax}.\) \(\blacksquare\)
Cas particulier. Si \(a=0\), l'équation est \(y'=0\) et le théorème redonne \(f(x)=C\,\mathrm e^{0}=C\) : les fonctions constantes. Cohérent.
Remarque du programme (cas \(b=0\)). Si \(f\) et \(g\) sont deux solutions de \(y'=ay\) et si \(\lambda\) est un réel, alors :
- \((f+g)'=f'+g'=a f+a g=a\,(f+g)\) : la somme \(f+g\) est encore solution ;
- \((\lambda f)'=\lambda f'=\lambda\,(a f)=a\,(\lambda f)\) : le produit \(\lambda f\) est encore solution.
Attention : c'est faux dès que \(b\neq0.\) Si \(f\) et \(g\) vérifient \(y'=ay+b\), alors \((f+g)'=a(f+g)+2b\neq a(f+g)+b.\)
3Allure des courbes selon le signe de \(a\)
Les solutions de \(y'=ay\) s'écrivent \(f(x)=C\,\mathrm e^{ax}.\) Comme \(\mathrm e^{ax}>0\) pour tout \(x\), deux choses sont immédiates :
- le signe de \(f\) est celui de \(C\), et il ne change jamais : une solution non nulle ne s'annule jamais ;
- \(f'(x)=aC\,\mathrm e^{ax}\), donc le sens de variation est donné par le signe du produit \(aC.\)
| \(C>0\) | \(C<0\) | |
|---|---|---|
| \(a>0\) | strictement croissante \(\to+\infty\) en \(+\infty\) \(\to0\) en \(-\infty\) |
strictement décroissante \(\to-\infty\) en \(+\infty\) \(\to0\) en \(-\infty\) |
| \(a<0\) | strictement décroissante \(\to0\) en \(+\infty\) \(\to+\infty\) en \(-\infty\) |
strictement croissante \(\to0\) en \(+\infty\) \(\to-\infty\) en \(-\infty\) |
| \(a=0\) | fonction constante égale à \(C\) | |
Et \(C=0\) donne la fonction nulle, qui est solution quelle que soit la valeur de \(a.\)
Exemples numériques. Avec \(a=1\) et \(C=2\) : \(f(x)=2\,\mathrm e^{x}\), \(f(0)=2\) et \(f(1)=2\mathrm e\approx 5{,}44.\) Avec \(a=-1\) et \(C=2\) : \(f(x)=2\,\mathrm e^{-x}\), \(f(0)=2\) et \(f(1)=\dfrac{2}{\mathrm e}\approx 0{,}736.\) Même valeur en \(0\), comportements opposés.
4L'équation \(y'=ay+b\) avec \(a\neq0\)
On procède en deux temps, et le premier est une capacité attendue du programme : trouver une solution particulière constante.
- Une solution constante. Cherchons une solution constante \(y=k.\) Sa dérivée est nulle, donc l'équation devient \(0=a k+b\), d'où \[k=-\dfrac{b}{a}\qquad(\text{possible car }a\neq0).\]
- On se ramène à \(y'=ay\). Soit \(f\) une fonction dérivable et \(g=f-k.\) Alors \(g'=f'\) et \[g'=f'=a f+b=a\,(g+k)+b=a g+\underbrace{(a k+b)}_{=\,0}=a g.\] Donc \(f\) est solution de \(y'=ay+b\) si et seulement si \(g=f-k\) est solution de \(y'=ay.\)
- Conclusion. \(g(x)=C\,\mathrm e^{ax}\), donc \(f(x)=C\,\mathrm e^{ax}+k.\)
Théorème. Pour \(a\neq0\), les solutions sur \(\mathbb R\) de \(y'=ay+b\) sont les fonctions \[x\longmapsto C\,\mathrm e^{ax}-\dfrac{b}{a},\qquad C\in\mathbb R.\]
Exemple. Résolvons \(y'=2y-6.\) Ici \(a=2\) et \(b=-6\), donc \(k=-\dfrac{-6}{2}=3.\) Les solutions sont \(f(x)=C\,\mathrm e^{2x}+3.\)
Vérification (à faire systématiquement) : \(f'(x)=2C\,\mathrm e^{2x}\) et \(2f(x)-6=2C\,\mathrm e^{2x}+6-6=2C\,\mathrm e^{2x}.\) Les deux coïncident, pour tout \(x\) et pour tout \(C.\)
5L'équation \(y'=ay+f\) à partir d'une solution particulière
Quand le second membre n'est plus constant, le programme ne demande pas de trouver une solution particulière : elle est donnée par l'énoncé. Il faut savoir en déduire toutes les autres.
Théorème. Soit \(y_p\) une solution particulière de \(y'=ay+f\) sur un intervalle \(I.\) Alors les solutions sur \(I\) sont exactement les fonctions \[y:x\longmapsto y_p(x)+C\,\mathrm e^{ax},\qquad C\in\mathbb R.\]
Démonstration. Pour une fonction \(y\) dérivable sur \(I\), posons \(z=y-y_p.\) Alors
\[z'=y'-y_p'=\bigl(ay+f\bigr)-\bigl(ay_p+f\bigr)=a\,(y-y_p)=az.\]Donc \(y\) est solution de \(y'=ay+f\) si et seulement si \(z\) est solution de \(z'=az\), c'est-à-dire \(z(x)=C\,\mathrm e^{ax}.\) D'où \(y=y_p+C\,\mathrm e^{ax}.\) \(\blacksquare\)
Exemple. Résolvons \(y'=y+x\) sur \(\mathbb R\), sachant que \(y_p(x)=-x-1\) en est une solution.
- Vérifions-le : \(y_p'(x)=-1\) et \(y_p(x)+x=(-x-1)+x=-1.\) Égalité pour tout \(x\) : \(y_p\) est bien solution.
- Toutes les solutions : \(y(x)=C\,\mathrm e^{x}-x-1.\)
6Condition initiale : une solution et une seule
Propriété. Soient \(a\neq0\), \(b\) des réels et \((x_0\,;y_0)\) un point du plan. L'équation \(y'=ay+b\) admet une unique solution \(f\) telle que \(f(x_0)=y_0.\)
Pourquoi. Les solutions sont les \(f(x)=C\,\mathrm e^{ax}+k\) avec \(k=-\dfrac{b}{a}.\) La condition s'écrit
\[C\,\mathrm e^{ax_0}+k=y_0\iff C\,\mathrm e^{ax_0}=y_0-k\iff C=(y_0-k)\,\mathrm e^{-ax_0},\]car \(\mathrm e^{ax_0}\neq0.\) Il y a donc une valeur de \(C\) et une seule : une solution et une seule. \(\blacksquare\)
Lecture graphique. Les courbes des solutions forment un faisceau qui remplit le plan sans jamais se croiser : par chaque point passe exactement une courbe. C'est ce que montre le premier onglet de la visualisation.
Exemple complet. Résolvons \(y'=-2y+8\) avec \(y(0)=10.\)
- Solution constante : \(k=-\dfrac{8}{-2}=4.\)
- Toutes les solutions : \(f(x)=C\,\mathrm e^{-2x}+4.\)
- Condition initiale : \(f(0)=C+4=10\), donc \(C=6.\)
- Réponse : \(f(x)=6\,\mathrm e^{-2x}+4.\)
- Vérification : \(f'(x)=-12\,\mathrm e^{-2x}\) et \(-2f(x)+8=-12\,\mathrm e^{-2x}-8+8=-12\,\mathrm e^{-2x}\) ; de plus \(f(0)=6+4=10.\)
7Modéliser avec une équation différentielle
C'est la raison d'être du chapitre : beaucoup de phénomènes se décrivent par une phrase du type « la vitesse de variation de la grandeur est proportionnelle à … », et cette phrase est une équation différentielle.
| Situation | Équation | Forme | Comportement |
|---|---|---|---|
| Décroissance radioactive \(N(t)\) noyaux | \(N'=-\lambda N\) \((\lambda>0)\) | \(y'=ay\) avec \(a=-\lambda<0\) | \(N(t)=N_0\,\mathrm e^{-\lambda t}\to 0\) |
| Refroidissement (loi de Newton) \(\theta(t)\) °C, pièce à \(\theta_a\) | \(\theta'=-k(\theta-\theta_a)\) \((k>0)\) | \(y'=ay+b\) avec \(a=-k,\ b=k\theta_a\) | constante \(-\dfrac ba=\theta_a\) : \(\theta\to\theta_a\) |
| Charge d'un condensateur \(u(t)\) volts | \(RC\,u'+u=E\) | \(y'=ay+b\) avec \(a=-\dfrac1{RC},\ b=\dfrac{E}{RC}\) | constante \(-\dfrac ba=E\) : \(u\to E\) |
Le condensateur en détail. De \(RC\,u'+u=E\) on tire \(u'=-\dfrac{1}{RC}\,u+\dfrac{E}{RC}.\) La solution constante vaut \(-\dfrac{b}{a}=E.\) Donc \(u(t)=C\,\mathrm e^{-t/(RC)}+E.\) Avec un condensateur déchargé au départ, \(u(0)=0\) donne \(C+E=0\), soit \(C=-E\) et
\[u(t)=E\left(1-\mathrm e^{-t/(RC)}\right).\]On vérifie : \(u'(t)=\dfrac{E}{RC}\,\mathrm e^{-t/(RC)}\), et \(-\dfrac{1}{RC}u(t)+\dfrac{E}{RC}=\dfrac{-E+E\,\mathrm e^{-t/(RC)}+E}{RC}=\dfrac{E}{RC}\,\mathrm e^{-t/(RC)}.\) Les deux coïncident.
Culture — hors programme
Le programme cite d'autres équations différentielles « pour travailler le concept », en précisant qu'aucune connaissance n'est exigible à leur sujet ; on sait seulement en exhiber des solutions.
- \(y'=y^{2}\) : la fonction \(y(x)=-\dfrac{1}{x}\) convient sur \(]0\,;+\infty[\), car \(y'(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\) et \(y(x)^{2}=\dfrac{1}{x^{2}}.\) La fonction nulle convient aussi.
- \(y''+2y=0\) : la fonction \(y(x)=\cos\!\left(\sqrt2\,x\right)\) convient, car \(y''(x)=-2\cos\!\left(\sqrt2\,x\right)=-2y(x).\)
Ces équations ne se résolvent pas avec les méthodes de la fiche : retiens seulement que « équation différentielle » est une famille bien plus vaste que \(y'=ay+b.\)
2. Méthode
Cinq gestes, du plus simple au plus complet. Le dernier — vérifier — se fait à chaque fois, en trente secondes.
A. Résoudre \(y'=ay\)
- Mettre sous la bonne forme. Si l'énoncé écrit \(3y'+6y=0\), on isole \(y'\) : \(y'=-2y.\) Ici \(a=-2.\)
- Appliquer le théorème. Les solutions sur \(\mathbb R\) sont les \(f(x)=C\,\mathrm e^{-2x}\), \(C\in\mathbb R.\)
- Condition initiale s'il y en a une. Par exemple \(f(0)=7\) donne \(C\,\mathrm e^{0}=C=7\), d'où \(f(x)=7\,\mathrm e^{-2x}.\)
B. Résoudre \(y'=ay+b\) — les quatre étapes
- Solution particulière constante. On pose \(y=k\) constante : \(0=ak+b\), donc \(k=-\dfrac ba.\) (On vérifie d'abord que \(a\neq0.\))
- Équation sans second membre. Les solutions de \(y'=ay\) sont les \(C\,\mathrm e^{ax}.\)
- On additionne. Les solutions de \(y'=ay+b\) sont les \(f(x)=C\,\mathrm e^{ax}+k.\)
- Condition initiale. On remplace \(x\) par \(x_0\), on résout en \(C\), on écrit la réponse finale.
Exemple guidé : \(y'=-3y+12\) avec \(y(0)=2.\)
- \(k=-\dfrac{12}{-3}=4.\)
- Solutions de \(y'=-3y\) : \(C\,\mathrm e^{-3x}.\)
- Solutions de \((E)\) : \(f(x)=C\,\mathrm e^{-3x}+4.\)
- \(f(0)=C+4=2\) donne \(C=-2\), donc \(f(x)=-2\,\mathrm e^{-3x}+4.\)
Contrôle : \(f'(x)=6\,\mathrm e^{-3x}\) et \(-3f(x)+12=6\,\mathrm e^{-3x}-12+12=6\,\mathrm e^{-3x}.\) C'est juste.
C. Résoudre \(y'=ay+f\) quand une solution particulière est donnée
- Vérifier que la fonction \(y_p\) proposée est bien solution : calculer \(y_p'(x)\), calculer \(a\,y_p(x)+f(x)\), comparer. C'est presque toujours la question 1 de l'exercice.
- Écrire toutes les solutions : \(y(x)=y_p(x)+C\,\mathrm e^{ax}.\)
- Utiliser la condition initiale pour fixer \(C.\)
Exemple. \((E):y'=2y+4x\), avec \(y_p(x)=-2x-1.\) Vérification : \(y_p'(x)=-2\) et \(2y_p(x)+4x=-4x-2+4x=-2.\) Les solutions sont donc \(y(x)=C\,\mathrm e^{2x}-2x-1.\) Avec \(y(0)=3\) : \(C-1=3\), donc \(C=4\) et \(y(x)=4\,\mathrm e^{2x}-2x-1.\)
D. Traduire un énoncé de modélisation
On cherche trois choses dans le texte : la grandeur (c'est elle, l'inconnue), ce qui est proportionnel à quoi, et le signe.
| Ce que dit le texte | Ce qu'on écrit |
|---|---|
| « la vitesse de disparition est proportionnelle à la quantité présente » | \(N'(t)=-\lambda N(t)\) |
| « la croissance est proportionnelle à l'effectif » | \(P'(t)=kP(t)\) |
| « proportionnelle à l'écart avec la valeur \(L\) », grandeur qui tend vers \(L\) | \(y'(t)=-k\bigl(y(t)-L\bigr)\) |
| « apport constant \(b\) par unité de temps, et perte proportionnelle » | \(y'(t)=-k\,y(t)+b\) |
E. Vérifier qu'une fonction est solution — le réflexe
Trois lignes, toujours les mêmes, et elles rapportent des points même quand la suite est ratée.
- Calculer \(f'(x)\) et l'écrire en entier.
- Calculer \(a\,f(x)+b\) et le simplifier jusqu'au bout.
- Comparer, puis conclure par la phrase : « pour tout \(x\) de \(I\), \(f'(x)=a f(x)+b\), donc \(f\) est solution de \((E)\) sur \(I.\) »
Exemple. \(f(x)=5\,\mathrm e^{-4x}-3\) est-elle solution de \(y'=-4y-12\) ? On a \(f'(x)=-20\,\mathrm e^{-4x}\) et \(-4f(x)-12=-20\,\mathrm e^{-4x}+12-12=-20\,\mathrm e^{-4x}.\) Oui.
Erreurs fréquentes
- Oublier la constante \(C.\) Écrire « la solution est \(\mathrm e^{ax}\) » : il y en a une infinité, et la réponse doit contenir \(C.\) Une réponse sans \(C\) est fausse tant qu'aucune condition initiale n'a été utilisée.
- Se tromper de signe dans \(-\dfrac ba.\) Pour \(y'=2y-6\), on a \(b=-6\) et \(k=-\dfrac{-6}{2}=3\), pas \(-3.\) Le test infaillible : remplacer \(k\) dans \(ak+b\) et vérifier qu'on trouve \(0.\)
- Chercher une solution constante quand \(a=0.\) \(y'=5\) n'a aucune solution constante. On cherche une primitive : \(y=5x+C.\) Diviser par \(a\) quand \(a=0\) est une faute, pas une étourderie.
- Confondre la condition initiale et la solution particulière. La constante \(k=-\dfrac ba\) ne dépend pas du point \((x_0\,;y_0)\) ; seule \(C\) en dépend. Les deux nombres n'ont rien à voir.
- Écrire \(C\,\mathrm e^{ax}+\dfrac ba\). Le signe est \(-\dfrac ba.\) En cas de doute, ne retenez pas la formule : refaites les quatre étapes de la méthode B.
- Oublier de conclure sur l'intervalle. « Les solutions sur \(\mathbb R\) sont … » : sans l'intervalle, la phrase est incomplète, et sur d'autres équations (par exemple \(y'=y^{2}\)) l'intervalle change tout.
3. Visualisation
Onze solutions de \(y'=ay\), une par valeur de \(C.\) Déplace le point \(M\) (touche ou clique dans le cadre) : une seule courbe de la famille passe par lui, elle est tracée en gras. C'est l'unicité de la solution vérifiant une condition initiale.
Même famille, mais décalée : \(y'=ay+b.\) La droite d'équilibre \(y=-\dfrac ba\) (la solution constante) est en pointillés verts. Change le signe de \(a\) : les courbes s'en rapprochent ou s'en éloignent. Mets \(a=0\) pour voir ce qui se passe quand la solution constante n'existe plus.
La méthode d'Euler est l'exemple d'algorithme cité par le programme. On part de \(y(0)=y_0\) et on avance par petits pas : \(y_{n+1}=y_n+h\,(a\,y_n+b).\) La ligne brisée orange approche la vraie solution, en bleu. Réduis le pas et regarde l'écart fondre.
4. Exercices
Trois exercices à valeurs aléatoires : « Nouvel exercice » change les nombres. Toutes les réponses attendues ici sont des entiers : on exige l'égalité exacte.
Exercice 1 — Condition initiale pour \(y'=ay\) Niveau 1
Exercice 2 — Résoudre \(y'=ay+b\) Niveau 2
Exercice 3 — Problème de modélisation Niveau 3
5. QCM
Quatre questions tirées au hasard dans une banque de dix-huit. Une seule bonne réponse par question ; l'explication apparaît dès que tu as répondu.