Cours
1Fonction dérivable sur un intervalle, fonction dérivée
En 3A, on a défini le nombre dérivé en un point : \(f'(a)\) est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\). Ici on change de point de vue : on regarde tous les points à la fois.
Définition. \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\) si elle admet un nombre dérivé en chaque réel \(a\) de \(I\). La fonction qui à chaque \(x\) de \(I\) associe \(f'(x)\) s'appelle la fonction dérivée de \(f\), notée \(f'.\)
Exemple. Pour \(f(x)=x^2\), le taux de variation en \(a\) vaut
\[\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h\xrightarrow[h\to 0]{}2a.\]Le nombre dérivé existe pour tout réel \(a\) et vaut \(2a\) : la fonction carré est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f'(x)=2x.\)
Deux objets différents. \(f'(3)\) est un nombre (la pente en \(x=3\)) ; \(f'\) est une fonction. On calcule d'abord \(f'(x)\), puis on remplace \(x\) par \(3\) — jamais l'inverse.
2Les dérivées de référence
Ce tableau est le socle de toute l'année : il faut le savoir par cœur, avec la colonne de droite.
| \(f(x)\) | définie sur | \(f'(x)\) | dérivable sur |
|---|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(\mathbb{R}\) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\) | \(\mathbb{R}\) | \(1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^2\) | \(\mathbb{R}\) | \(2x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^3\) | \(\mathbb{R}\) | \(3x^2\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n,\ n\in\mathbb{N}^*\) | \(\mathbb{R}\) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x}=x^{-1}\) | \(\mathbb{R}^*\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(x^n,\ n\in\mathbb{Z},\ n<0\) | \(\mathbb{R}^*\) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \([0\,;+\infty[\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0\,;+\infty[\) |
La règle unique des puissances. Pour tout \(n\) entier relatif, \((x^n)'=nx^{n-1}\) : « l'exposant descend en facteur, puis diminue de 1 ». Elle marche aussi pour les exposants négatifs, à condition de travailler sur \(\mathbb{R}^*.\)
Exemples. \(\left(x^7\right)'=7x^6\) ; \(\left(\dfrac{1}{x^3}\right)'=\left(x^{-3}\right)'=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}\) ; en \(x=2\), \(\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\approx 0{,}354.\)
Attention à la dernière ligne. \(\sqrt{x}\) est définie en \(0\) mais n'y est pas dérivable (point 7). Définie et dérivable ne sont pas la même chose.
3Somme et multiple par un réel
Si \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(I\) et \(k\) est un réel :
\[(u+v)'=u'+v' \qquad\text{et}\qquad (ku)'=k\,u'.\]Autrement dit : on dérive terme par terme, et les facteurs constants sortent sans changer.
Exemple. Pour \(f(x)=5x^3-4x^2+7x-9\) :
\[f'(x)=5\times 3x^2-4\times 2x+7\times 1-0=15x^2-8x+7.\]La dérivée d'un polynôme de degré \(3\) est un polynôme de degré \(2\) : le degré baisse toujours de \(1\), et la constante \(-9\) disparaît.
Il n'existe aucune formule simple pour \((u\times v)'\) obtenue en multipliant les dérivées, ni pour \(\left(\frac{u}{v}\right)'\) en divisant les dérivées. C'est le point suivant.
4Dérivée d'un produit à savoir démontrer
Si \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(I\), alors \(uv\) est dérivable sur \(I\) et
\[(uv)'=u'v+uv'.\]Exemple. \(f(x)=(3x+1)(x^2-2).\) On pose \(u(x)=3x+1\) et \(v(x)=x^2-2,\) donc \(u'(x)=3\) et \(v'(x)=2x\) :
\[f'(x)=3(x^2-2)+(3x+1)\times 2x=3x^2-6+6x^2+2x=9x^2+2x-6.\]Vérification utile : en développant d'abord, \(f(x)=3x^3+x^2-6x-2\), et on retrouve bien \(f'(x)=9x^2+2x-6.\)
Démonstration de \((uv)'=u'v+uv'\)
Soit \(a\in I\). On calcule le taux de variation de \(f=uv\) entre \(a\) et \(a+h\) :
\[\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}.\]L'astuce est d'ajouter puis de retrancher le même terme \(u(a)v(a+h)\) au numérateur :
\[\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}.\]On regroupe en deux morceaux :
\[v(a+h)\times\frac{u(a+h)-u(a)}{h}+u(a)\times\frac{v(a+h)-v(a)}{h}.\]Quand \(h\) tend vers \(0\) : le premier taux tend vers \(u'(a)\) et le second vers \(v'(a)\). Reste \(v(a+h)\) : en écrivant
\[v(a+h)=v(a)+h\times\frac{v(a+h)-v(a)}{h},\]on voit que le second terme est le produit de \(h\) (qui tend vers \(0\)) par un taux qui tend vers \(v'(a)\) : il tend vers \(0\), donc \(v(a+h)\) tend vers \(v(a)\). Donc le taux de variation de \(f\) tend vers
\[u'(a)v(a)+u(a)v'(a),\]ce qui prouve que \(uv\) est dérivable en \(a\) et que \((uv)'=u'v+uv'.\)
Erreur n°1 de toute l'année : écrire \((uv)'=u'v'\). Test rapide : avec \(u=v=x\), on a \(uv=x^2\) donc \((uv)'=2x\), alors que \(u'v'=1\times 1=1.\) La formule fausse donne \(1\) au lieu de \(2x.\)
5Dérivée d'un inverse et d'un quotient à savoir démontrer
Si \(v\) est dérivable et ne s'annule pas sur \(I\) :
\[\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2} \qquad\text{et}\qquad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.\]Exemple 1 (inverse). \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\) : ici \(v(x)=x^2+1\) et \(v'(x)=2x,\) donc
\[f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}.\]Comme \(x^2+1>0\) pour tout \(x\), \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) tout entier.
Exemple 2 (quotient). \(f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}\) : \(u=2x+3,\) \(u'=2,\) \(v=x-1,\) \(v'=1,\) donc
\[f'(x)=\frac{2(x-1)-(2x+3)\times 1}{(x-1)^2}=\frac{2x-2-2x-3}{(x-1)^2}=\frac{-5}{(x-1)^2}.\]\(f\) est dérivable sur \(]-\infty\,;1[\cup\,]1\,;+\infty[\), c'est-à-dire sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}.\)
Démonstration : la dérivée de la fonction inverse
Soit \(f(x)=\dfrac1x\) et \(a\neq0.\) Pour \(h\neq0\) assez petit pour que \(a+h\neq0\) :
\[\tau(h)=\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h}-\frac1a\right)=\frac{1}{h}\times\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}=\frac{1}{h}\times\frac{-h}{a(a+h)}.\]On simplifie par \(h\) (c'est permis, car \(h\neq0\)) :
\[\tau(h)=\frac{-1}{a(a+h)}\xrightarrow[h\to 0]{}\frac{-1}{a^{2}}.\]Donc la fonction inverse est dérivable en tout réel \(a\neq0\) et \(f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}.\) La formule \(\left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^{2}}\) s'en déduit avec le point 6 quand \(v(x)=ax+b\), et s'obtient en général avec la formule du quotient appliquée à \(u=1.\)
Deux pièges. Le numérateur est \(u'v-uv'\) : le \(u'\) vient en premier et le signe est un moins (contrairement au produit). Et il faut exclure les valeurs interdites : là où \(v\) s'annule, \(f\) n'est ni définie ni dérivable.
6Dérivée de \(x\mapsto g(ax+b)\)
Si \(g\) est dérivable et si \(a,b\) sont des réels, la fonction \(f:x\mapsto g(ax+b)\) est dérivable (là où \(ax+b\) est dans l'ensemble de dérivabilité de \(g\)) et
\[f'(x)=a\,g'(ax+b).\]On dérive « l'extérieur » en gardant \(ax+b\) tel quel, puis on multiplie par \(a\).
| \(f(x)\) | \(g\) | \(f'(x)\) |
|---|---|---|
| \((3x+1)^5\) | \(g(t)=t^5\) | \(3\times 5(3x+1)^4=15(3x+1)^4\) |
| \(\sqrt{2x+7}\) | \(g(t)=\sqrt{t}\) | \(\dfrac{2}{2\sqrt{2x+7}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+7}}\) |
| \(\dfrac{1}{5x-2}\) | \(g(t)=\dfrac{1}{t}\) | \(-\dfrac{5}{(5x-2)^2}\) |
Contrôle de bon sens. Pour \(f(x)=(2x)^3=8x^3\), la formule donne \(f'(x)=2\times 3(2x)^2=6\times 4x^2=24x^2\) ; et en développant, \((8x^3)'=24x^2.\) Les deux chemins coïncident, ce qui confirme le facteur \(a.\)
Oublier le facteur \(a\) est l'erreur la plus fréquente de cette formule : \(\big(\sqrt{2x+7}\big)'\ne\dfrac{1}{2\sqrt{2x+7}}.\)
7Deux fonctions non dérivables en \(0\) à savoir démontrer
La fonction racine carrée. Elle est définie en \(0\), mais son taux de variation en \(0\) vaut, pour \(h>0\) :
\[\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{\sqrt{h}\times\sqrt{h}}=\frac{1}{\sqrt{h}}.\]Quand \(h\) tend vers \(0\) par valeurs positives, \(\dfrac{1}{\sqrt h}\) devient aussi grand que l'on veut : le taux n'a pas de limite finie. Donc \(\sqrt{\ }\) n'est pas dérivable en \(0\) ; graphiquement, la courbe admet en \(0\) une tangente verticale.
Exemple numérique : pour \(h=0{,}01\) le taux vaut \(10\) ; pour \(h=0{,}0001\) il vaut \(100.\)
La fonction valeur absolue \(f(x)=|x|\) (courbe en « V »). Son taux de variation en \(0\) vaut
\[\frac{|0+h|-|0|}{h}=\frac{|h|}{h}=\begin{cases}1 &\text{si } h>0,\\ -1 &\text{si } h<0.\end{cases}\]Les valeurs à droite et à gauche ne se rapprochent pas du même nombre : il n'y a pas de nombre dérivé en \(0.\) La courbe présente un point anguleux. En revanche \(f\) est dérivable sur \(]-\infty\,;0[\) (où \(f'=-1\)) et sur \(]0\,;+\infty[\) (où \(f'=1\)).
À retenir : une fonction peut être définie en un point, et sa courbe y être tracée d'un seul trait, sans y être dérivable. « Pas dérivable » se voit sur la courbe : tangente verticale, ou angle.
Méthode
Méthode 1 — Reconnaître la structure avant de dériver
Ne jamais se jeter sur les formules. On commence par lire l'expression et par répondre à une seule question : quelle est la dernière opération effectuée ? C'est elle qui commande la formule à utiliser.
Oui → c'est une somme : je dérive chaque terme séparément (\(u+v)'=u'+v'\), et les constantes multiplicatives sortent.
ex. \(4x^3-\frac{2}{x}+\sqrt{x}\)
Numérateur constant → formule de l'inverse \(\left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^2}\). Numérateur non constant → formule du quotient \(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\).
ex. \(\frac{3}{x^2+1}\) · \(\frac{2x+3}{x-1}\)
Oui → formule du produit \((uv)'=u'v+uv'\). Si l'un des deux facteurs est un nombre, ce n'est pas un produit de fonctions : il sort simplement (\(ku)'=ku'\).
ex. \((3x+1)(x^2-2)\)
Oui → \(\big(g(ax+b)\big)'=a\,g'(ax+b)\) : dériver l'extérieur, garder \(ax+b\) intact, multiplier par \(a\).
ex. \((3x+1)^5\) · \(\sqrt{2x+7}\) · \(\frac{1}{5x-2}\)
Astuce qui fait gagner du temps. Un produit ou un quotient facile à développer se dérive plus vite après développement : \(f(x)=x^2(3x-4)=3x^3-4x^2\) donne \(f'(x)=9x^2-8x\) sans aucune formule. À l'inverse, on ne développe jamais \((3x+1)^5.\)
Méthode 2 — Appliquer la formule du produit, pas à pas
Exemple : \(f(x)=(x^2+3x)(5-2x).\)
- Poser \(u\) et \(v\) en les écrivant. \(u(x)=x^2+3x\) et \(v(x)=5-2x.\) Cette ligne n'est pas facultative : c'est elle qui évite les mélanges.
- Calculer \(u'\) et \(v'\) à part. \(u'(x)=2x+3\) et \(v'(x)=-2.\)
- Écrire la formule en toutes lettres, puis remplacer. \[f'(x)=u'v+uv'=(2x+3)(5-2x)+(x^2+3x)\times(-2).\]
- Développer et réduire. \[f'(x)=10x-4x^2+15-6x-2x^2-6x=-6x^2-2x+15.\]
- Conclure avec l'ensemble. \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f'(x)=-6x^2-2x+15.\)
Contrôle du degré. \(f\) est de degré \(3\), donc \(f'\) doit être de degré \(2\). Si on trouve un degré \(3\), il y a une erreur de développement.
Méthode 3 — Appliquer la formule du quotient sans se tromper de signe
Exemple : \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{2x-6}.\)
- Chercher d'abord les valeurs interdites. \(2x-6=0\) pour \(x=3\) : on travaille sur \(\mathbb{R}\setminus\{3\}.\) On le note avant de calculer, pour ne pas l'oublier à la fin.
- Poser \(u,\ v,\ u',\ v'.\) \(u=x^2+1,\) \(u'=2x,\) \(v=2x-6,\) \(v'=2.\)
- Écrire la formule, avec des parenthèses partout. \[f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{2x(2x-6)-(x^2+1)\times 2}{(2x-6)^2}.\] Les parenthèses autour de \(x^2+1\) sont indispensables : le \(-\) porte sur tout le second produit.
- Développer le numérateur seulement. On laisse le dénominateur sous forme de carré, jamais développé : \[f'(x)=\frac{4x^2-12x-2x^2-2}{(2x-6)^2}=\frac{2x^2-12x-2}{(2x-6)^2}.\]
- Conclure. \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\) et \(f'(x)=\dfrac{2x^2-12x-2}{(2x-6)^2}.\)
Moyen mnémotechnique : « haut' fois bas, moins haut fois bas', le tout sur bas au carré ». L'ordre \(u'v\) puis \(uv'\) n'est pas interchangeable : inverser change le signe du résultat.
Méthode 4 — Simplifier le résultat et donner l'ensemble de dérivabilité
- Réduire le numérateur (regrouper les termes de même degré) ; garder le dénominateur factorisé sous la forme \(v^2.\)
- Factoriser si c'est utile pour la suite : en 3C, on aura besoin du signe de \(f'\), donc une forme factorisée comme \(f'(x)=\dfrac{2(x-1)(x+3)}{(x-2)^2}\) vaut bien mieux qu'un numérateur développé.
- Écrire l'ensemble de dérivabilité, en partant de l'ensemble de définition et en retirant : les valeurs qui annulent un dénominateur, et les points où une racine carrée s'annule.
| \(f(x)\) | dérivable sur | pourquoi |
|---|---|---|
| \(3x^2-x+4\) | \(\mathbb{R}\) | polynôme |
| \(\dfrac{x+1}{x-4}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\) | \(x-4\) s'annule en \(4\) |
| \(\sqrt{x}+2x\) | \(]0\,;+\infty[\) | \(\sqrt{\ }\) non dérivable en \(0\) |
| \(\sqrt{3x-6}\) | \(]2\,;+\infty[\) | \(3x-6>0\iff x>2\) |
| \(\dfrac{2}{x^2+1}\) | \(\mathbb{R}\) | \(x^2+1\) ne s'annule jamais |
Les cinq erreurs qui coûtent des points
- Croire que \((uv)'=u'v'\). Contre-exemple immédiat : \(u=v=x\) donne \((x^2)'=2x\), alors que \(u'v'=1.\) Même remarque pour le quotient : \(\left(\frac uv\right)'\ne\frac{u'}{v'}.\)
- Inverser le numérateur du quotient et écrire \(\frac{uv'-u'v}{v^2}\) : le résultat est l'opposé du bon, donc tout le tableau de variations sera à l'envers.
- Oublier le facteur \(a\) dans \(g(ax+b)\). \(\big((4x-1)^3\big)'=4\times 3(4x-1)^2=12(4x-1)^2\), pas \(3(4x-1)^2.\)
- Dériver deux fois par erreur. Pour \(f(x)=x^3+2x\), la réponse est \(f'(x)=3x^2+2\) et non \(6x\) : on s'arrête après une dérivation. (La dérivée de la dérivée, \(f''\), ne servira qu'en Terminale, pour la convexité.)
- Oublier d'exclure les valeurs interdites. Écrire « \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) » pour \(f(x)=\frac{1}{x-2}\) est faux : c'est \(\mathbb{R}\setminus\{2\}.\) Même chose pour \(\sqrt{x}\) en \(0.\)
Réflexe de vérification. Après tout calcul de \(f'\), choisir un \(x\) simple (par exemple \(x=1\)) et comparer \(f'(1)\) au taux \(\dfrac{f(1{,}001)-f(1)}{0{,}001}\) à la calculatrice : les deux nombres doivent être très proches.
Visualisation
Construis ta propre fonction, puis regarde en même temps sa courbe et celle de sa dérivée. Déplace le point mobile : la pente de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) est exactement l'ordonnée du point rouge sur \(\mathcal{C}_{f'}.\)
Bande du bas : signe de \(f'\) — vert quand \(f'>0\) (\(f\) croissante), corail quand \(f'<0\) (\(f\) décroissante).
Ce qu'il faut voir. Là où la courbe bleue monte, la courbe corail est au-dessus de l'axe des abscisses ; là où elle descend, la courbe corail est en dessous. Quand la tangente est horizontale, la courbe corail traverse l'axe. C'est tout le chapitre 3C.
Exercices
Exercice 1 Niveau 1
Exercice 2 Niveau 2
Exercice 3 Niveau 3
QCM
Quatre questions tirées au hasard dans une banque de quinze. Une seule bonne réponse par question.