Les fonctions de référence

1La fonction carré et la fonction cube

Carré : \(f(x) = x^2,\) définie sur \(\mathbb{R}.\) Elle est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) puis croissante sur \([0\,;+\infty[,\) avec un minimum égal à \(0\) atteint en \(x = 0.\) Elle est toujours positive : \(x^2 \ge 0\) pour tout \(x.\)

Exemple. \(f(-3) = (-3)^2 = 9\) et \(f(3) = 3^2 = 9\) : deux nombres opposés ont le même carré.

Cube : \(g(x) = x^3,\) définie sur \(\mathbb{R}.\) Elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) tout entier, et son signe est celui de \(x\) : négative sur \(]-\infty\,;0[,\) nulle en \(0,\) positive sur \(]0\,;+\infty[.\)

Exemple. \(g(-2) = (-2)^3 = -8,\) alors que \(f(-2) = 4.\)

2La fonction inverse et la fonction racine carrée

Inverse : \(f(x) = \dfrac{1}{x},\) définie sur \(\mathbb{R}^* = \left]-\infty\,;0\right[ \cup \left]0\,;+\infty\right[.\) La valeur \(x = 0\) est interdite : on ne divise pas par zéro.

Elle est décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) et décroissante sur \(]0\,;+\infty[,\) mais pas sur la réunion des deux : \(f(-1) = -1\) est plus petit que \(f(1) = 1.\) Son signe est celui de \(x.\)

Exemple. \(\dfrac{1}{0{,}01} = 100\) : plus \(x\) est proche de \(0\) en restant positif, plus \(\dfrac{1}{x}\) est grand. Du côté négatif c'est le contraire : \(\dfrac{1}{-0{,}01} = -100.\)

Racine carrée : \(g(x) = \sqrt{x},\) définie seulement sur \([0\,;+\infty[.\) Elle est croissante et positive, avec \(\sqrt{0} = 0.\)

Exemple. \(\sqrt{9} = 3,\) \(\sqrt{2} \approx 1{,}414,\) et \(\sqrt{-4}\) n'existe pas.

3La valeur absolue et les puissances entières \(x^n\)

Valeur absolue : \(f(x) = |x|,\) définie sur \(\mathbb{R},\) avec \(|x| = x\) si \(x \ge 0\) et \(|x| = -x\) si \(x < 0.\) Sa courbe est un V : décroissante puis croissante, minimum \(0\) en \(0,\) toujours positive.

Exemple. \(|-7| = 7,\) \(|7| = 7,\) et \(|x|\) mesure la distance de \(x\) à \(0.\)

Puissances \(x^n\) avec \(n\) entier \(\ge 1\) : tout dépend de la parité de \(n.\)

Puissances négatives : pour \(n \ge 1,\) \(x^{-n} = \dfrac{1}{x^n},\) définie sur \(\mathbb{R}^*.\) Le comportement suit la même règle de parité : \(\dfrac{1}{x^2}\) est toujours strictement positive, \(\dfrac{1}{x^3}\) a le signe de \(x.\)

Exemples. \((-2)^4 = 16,\) \((-2)^5 = -32,\) \(2^{-3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125.\)

5Parité : deux symétries à reconnaître

Soit \(f\) définie sur un ensemble \(D\) symétrique par rapport à \(0\) (si \(x\) est dans \(D,\) alors \(-x\) aussi).

• \(f\) est paire lorsque \(f(-x) = f(x)\) pour tout \(x\) de \(D.\) Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• \(f\) est impaire lorsque \(f(-x) = -f(x)\) pour tout \(x\) de \(D.\) Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Exemples. \(x^2,\) \(x^4,\) \(|x|\) et \(\dfrac{1}{x^2}\) sont paires ; \(x^3,\) \(x^5\) et \(\dfrac{1}{x}\) sont impaires.

Contre-exemples. \(\mathrm{e}^x\) n'est ni paire ni impaire : \(\mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}368\) ne vaut ni \(\mathrm{e}^1\) ni \(-\mathrm{e}^1.\) Et \(\sqrt{x}\) ne peut pas être paire : son ensemble de définition \([0\,;+\infty[\) n'est pas symétrique.

6Lire une courbe : image, antécédent, équation, inéquation

• Image de \(a\) : on monte (ou descend) depuis \(a\) sur l'axe des abscisses jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée. C'est \(f(a),\) et il y en a une seule.
• Antécédent de \(k\) : on part de \(k\) sur l'axe des ordonnées, on trace l'horizontale \(y = k,\) et on lit les abscisses des points d'intersection. Il peut y en avoir \(0,\) \(1,\) \(2\) ou davantage.
• Résoudre \(f(x) = k\) revient exactement à chercher ces antécédents : le nombre de solutions est le nombre de points d'intersection entre la courbe et la droite \(y = k.\)
• Résoudre \(f(x) \le k\) : on lit les \(x\) pour lesquels la courbe est au-dessous de la droite \(y = k\) (ou sur elle). La réponse est un ensemble de \(x,\) pas un ensemble de points.

Exemple chiffré avec \(f(x) = x^2.\) L'équation \(x^2 = 9\) a deux solutions, \(-3\) et \(3.\) L'équation \(x^2 = 0\) en a une seule, \(0.\) L'équation \(x^2 = -4\) n'en a aucune. Enfin \(x^2 \le 9 \iff x \in [-3\,;3].\)

Lire une image, un antécédent, résoudre graphiquement

1. Image de \(a\) : placer \(a\) sur l'axe des abscisses, monter verticalement jusqu'à la courbe, lire l'ordonnée.
2. Antécédent(s) de \(k\) : tracer la droite horizontale \(y = k,\) repérer les points d'intersection, lire leurs abscisses.
3. Équation \(f(x) = k\) : compter d'abord les points d'intersection (c'est le nombre de solutions), puis donner les valeurs.
4. Inéquation \(f(x) \le k\) : surligner la partie de la courbe située au-dessous de la droite, puis projeter sur l'axe des abscisses. Écrire la réponse sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.
5. Vérifier avec une valeur test : choisir un \(x\) de l'intervalle trouvé et contrôler l'inégalité.

Exemple. Avec \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) et \(k = 2\) : l'équation \(\dfrac{1}{x} = 2\) a une seule solution, \(x = 0{,}5.\) L'inéquation \(\dfrac{1}{x} \le 2\) est vraie sur \(]-\infty\,;0[\) (l'inverse y est négatif) et sur \([0{,}5\,;+\infty[.\)

Étudier la parité d'une fonction

1. Vérifier que \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0.\) Sinon, on s'arrête : la fonction n'est ni paire ni impaire.
2. Calculer \(f(-x)\) en remplaçant partout \(x\) par \(-x,\) sans oublier les parenthèses.
3. Comparer : si \(f(-x) = f(x),\) la fonction est paire ; si \(f(-x) = -f(x),\) elle est impaire ; sinon elle n'est ni l'une ni l'autre.
4. Conclure sur la courbe : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, ou par rapport à l'origine.

Exemple. \(f(x) = x^3 - 4x\) sur \(\mathbb{R}\) : \(f(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -f(x).\) La fonction est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Choisir une fenêtre d'affichage pertinente

1. Partir de l'ensemble de définition : inutile d'afficher des \(x\) négatifs pour \(\sqrt{x}.\)
2. Calculer quelques valeurs aux bornes de la zone qui t'intéresse : elles donnent l'ordre de grandeur de \(y.\)
3. Régler \(y_{\min}\) et \(y_{\max}\) autour de ces valeurs, en gardant un peu de marge. Pour \(x^2\) sur \([-5\,;5],\) prendre \(y\) jusqu'à \(25\) au moins.
4. Se méfier des valeurs interdites : près de \(x = 0,\) la courbe de \(\dfrac{1}{x}\) part vers le haut de l'écran. On borne \(y\) volontairement, sinon la courbe devient un trait vertical illisible.
5. Changer d'échelle pour observer le long terme : pour comparer \(x^5\) et \(\mathrm{e}^x,\) il faut aller jusqu'à \(x = 13\) ou plus — sur \([0\,;10]\) on croirait à tort que \(x^5\) l'emporte, car \(10^5 = 100\,000\) alors que \(\mathrm{e}^{10} \approx 22\,000.\)

Décrire le comportement aux bornes de \(D_f\) (sans formalisme)

1. Écrire les bornes de l'ensemble de définition : \(-\infty,\) \(+\infty,\) et les valeurs interdites.
2. Calculer une petite table de valeurs qui s'approche de chaque borne : \(x = 10,\ 100,\ 1000\) pour \(+\infty\) ; \(x = 0{,}1,\ 0{,}01,\ 0{,}001\) pour s'approcher de \(0.\)
3. Dire ce que l'on voit, avec des mots : « \(f(x)\) devient très grand », « \(f(x)\) se rapproche de \(0\) », « la courbe s'approche de l'axe ».
4. Repérer la droite dont la courbe se rapproche : pour \(\dfrac{1}{x},\) c'est l'axe des abscisses d'un côté et l'axe des ordonnées de l'autre. En Terminale, ces droites s'appelleront asymptotes.

Exemple. \(f(x) = \dfrac{1}{x^2}\) sur \(]0\,;+\infty[\) : \(f(0{,}1) = 100,\) \(f(0{,}01) = 10\,000\) — la courbe monte sans fin près de \(0\) ; et \(f(10) = 0{,}01,\) \(f(100) = 0{,}0001\) — elle s'écrase sur l'axe des abscisses quand \(x\) grandit.

Exercice 1 Niveau 1

Exercice 2 Niveau 2

Exercice 3 Niveau 3

Quatre questions tirées au hasard. Une seule bonne réponse par question.