Cours
1Continuité en un point, puis sur un intervalle
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a\) un réel de \(I.\)
Définition. \(f\) est continue en \(a\) lorsque \(f\) admet une limite en \(a\) et que cette limite est égale à l'image de \(a\) :
\[\lim_{x \to a} f(x) = f(a).\]
\(f\) est continue sur \(I\) lorsqu'elle est continue en tout point de \(I.\)
Il y a donc trois choses à vérifier : \(f(a)\) existe, la limite existe, et les deux coïncident.
Exemple 1. \(f(x) = x^2 + 3x\) et \(a = 2.\) On a \(f(2) = 4 + 6 = 10\) et \(\lim\limits_{x \to 2} (x^2+3x) = 10.\) Les deux valeurs sont égales : \(f\) est continue en \(2.\)
Exemple 2. \(g(x) = \dfrac{1}{x}\) et \(a = 3.\) On a \(g(3) = \dfrac13\) et \(\lim\limits_{x \to 3} \dfrac1x = \dfrac13 :\) \(g\) est continue en \(3.\) En revanche \(g\) n'est pas continue en \(0,\) tout simplement parce que \(g(0)\) n'existe pas : \(0\) n'appartient pas à l'ensemble de définition.
L'image intuitive : « on trace sans lever le crayon »
Sur un intervalle, une fonction continue a une courbe d'un seul morceau : on peut la tracer sans lever le crayon. C'est une image utile pour voir ce qui se passe, mais ce n'est jamais une démonstration.
Contre-exemple 1 : la fonction partie entière. \(E(x)\) est le plus grand entier inférieur ou égal à \(x\) : \(E(1{,}7) = 1,\) \(E(2) = 2,\) \(E(2{,}9) = 2,\) \(E(-0{,}5) = -1.\)
En \(a = 2 :\) quand \(x\) s'approche de \(2\) par la gauche (par exemple \(1{,}99\) puis \(1{,}999\)), \(E(x) = 1.\) Mais \(E(2) = 2.\) La limite à gauche vaut \(1\) et l'image vaut \(2 :\) \(E\) n'est pas continue en \(2.\) Sa courbe fait un saut de \(1\) à chaque entier, en marches d'escalier.
Contre-exemple 2 : une fonction définie par morceaux.
\[h(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 1\\ x^2+4 & \text{si } x \geqslant 1\end{cases}\]
À gauche de \(1 :\) \(\lim\limits_{x \to 1^-} (2x+1) = 3.\) À droite et en \(1 :\) \(h(1) = 1 + 4 = 5.\) Comme \(3 \neq 5,\) \(h\) n'est pas continue en \(1.\) Elle est en revanche continue sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \([1\,;+\infty[,\) car sur chacun de ces intervalles c'est un polynôme.
Si on remplaçait le second morceau par \(x^2+2,\) on aurait \(h(1) = 3\) : le raccord se ferait et \(h\) serait continue sur \(\mathbb{R}.\)
2Toute fonction dérivable est continue
Théorème (admis). Si \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I,\) alors \(f\) est continue sur \(I.\)
C'est l'argument le plus rapide en devoir : pour une fonction dont on vient de calculer la dérivée, on écrit « \(f\) est dérivable sur \(I,\) donc \(f\) est continue sur \(I\) ».
La réciproque est fausse : continue n'entraîne pas dérivable.
Contre-exemple : \(f(x) = |x|\) en \(0.\) La courbe (deux demi-droites formant un « V ») se trace sans lever le crayon : \(\lim\limits_{x \to 0} |x| = 0 = f(0),\) donc \(f\) est bien continue en \(0.\)
Mais le taux de variation en \(0\) vaut \(\dfrac{|h| - 0}{h} = \dfrac{|h|}{h},\) c'est-à-dire \(1\) si \(h > 0\) et \(-1\) si \(h < 0.\) Il n'a donc pas de limite quand \(h \to 0 :\) \(f\) n'est pas dérivable en \(0.\) Graphiquement, la courbe présente un point anguleux.
Autre exemple : \(x \mapsto \sqrt{x}\) est continue en \(0\) mais n'y est pas dérivable (la tangente y est verticale).
À retenir dans le bon sens : dérivable \(\Rightarrow\) continue, et continue \(\not\Rightarrow\) dérivable.
3Quelles fonctions sont continues ?
Les fonctions de référence sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition :
- les fonctions polynômes (dont les fonctions affines, le carré, le cube) : continues sur \(\mathbb{R}\) ;
- la fonction inverse \(x \mapsto \dfrac1x\) : continue sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\) ;
- la fonction racine carrée : continue sur \([0\,;+\infty[\) ;
- la valeur absolue, l'exponentielle, le sinus et le cosinus : continues sur \(\mathbb{R}.\)
Règle pratique. Toute fonction obtenue à partir des fonctions de référence par somme, produit, quotient (là où le dénominateur ne s'annule pas) ou composition est continue sur tout intervalle contenu dans son ensemble de définition.
Exemple. \(f(x) = \dfrac{3x^2+1}{x-2}\) est un quotient de deux polynômes ; le dénominateur s'annule pour \(x = 2.\) Donc \(f\) est continue sur \(]-\infty\,;2[\) et sur \(]2\,;+\infty[\) (deux intervalles séparés, jamais sur \(\mathbb{R}\) tout entier).
Exemple. \(g(x) = \sqrt{x^2+5}\) est la composée de \(x \mapsto x^2+5\) (polynôme, continue et à valeurs \(\geqslant 5\)) suivie de la racine carrée (continue sur \([0\,;+\infty[\)) : \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}.\)
Exemple. \(k(x) = x\,e^{x}\) est un produit de fonctions continues sur \(\mathbb{R},\) donc continue sur \(\mathbb{R}.\)
Le programme précise que l'on n'a pas à démontrer ces continuités : une phrase suffit, du type « \(f\) est une fonction polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\) » ou « \(f\) est dérivable sur \(I,\) donc continue sur \(I\) ».
4Image d'une suite convergente par une fonction continue
Théorème. Soit \(f\) continue en \(L\) et \((u_n)\) une suite telle que \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = L.\) Alors
\[\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(L).\]
Autrement dit, on peut « faire entrer la limite dans \(f\) » quand \(f\) est continue.
Exemple. \(u_n = 2 + \dfrac{1}{n}\) tend vers \(2,\) et \(f(x) = x^2+1\) est continue en \(2,\) donc \(f(u_n) = \left(2+\frac1n\right)^2+1\) tend vers \(f(2) = 5.\)
L'application au bac : les suites \(u_{n+1} = f(u_n)\)
Si \((u_n)\) est définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(f\) continue, et si \((u_n)\) converge vers un réel \(L,\) alors :
- d'un côté \(u_{n+1} \to L\) (c'est la même suite, décalée d'un rang) ;
- de l'autre \(u_{n+1} = f(u_n) \to f(L)\) par continuité.
Par unicité de la limite, \(L\) est solution de l'équation \(L = f(L).\)
Exemple. \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n+6}.\) On calcule \(u_1 = \sqrt{7} \approx 2{,}646,\) \(u_2 \approx 2{,}940,\) \(u_3 \approx 2{,}990 :\) la suite semble croître vers \(3.\)
On admet ici qu'elle converge vers un réel \(L \geqslant 0.\) La fonction \(f(x) = \sqrt{x+6}\) est continue sur \([0\,;+\infty[,\) donc \(L\) vérifie \(L = \sqrt{L+6},\) d'où \(L^2 = L+6,\) soit \(L^2 - L - 6 = 0.\) Les solutions sont \(L = 3\) et \(L = -2.\) Comme \(u_n \geqslant 0\) pour tout \(n,\) on a \(L \geqslant 0,\) donc \(L = 3.\)
Attention à l'ordre des arguments. Résoudre \(L = f(L)\) ne prouve pas que la suite converge : cela donne seulement la valeur de la limite si elle existe. La convergence doit être établie avant, presque toujours par le théorème de la limite monotone (suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée).
5Le théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a\,;b]\) et \(k\) un réel compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\). Alors l'équation \(f(x) = k\) admet au moins une solution dans \([a\,;b].\)
Traduction graphique : la courbe part de la hauteur \(f(a)\) et arrive à la hauteur \(f(b)\) sans lever le crayon ; elle doit donc couper la droite horizontale d'équation \(y = k\) au moins une fois.
Exemple. \(f(x) = x^3+x-1\) sur \([0\,;1].\) \(f\) est un polynôme, donc continue. \(f(0) = -1\) et \(f(1) = 1.\) Comme \(0\) est compris entre \(-1\) et \(1,\) l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \([0\,;1].\) (À la calculatrice : \(f(0{,}6) = -0{,}184\) et \(f(0{,}7) = 0{,}043,\) la solution est entre \(0{,}6\) et \(0{,}7.\))
La continuité est indispensable. Reprenons la partie entière sur \([0\,;2] :\) \(E(0) = 0,\) \(E(2) = 2,\) et pourtant l'équation \(E(x) = 0{,}5\) n'a aucune solution, car \(E\) ne prend que des valeurs entières. Le théorème tombe en défaut parce que \(E\) n'est pas continue.
Le TVI donne l'existence d'une solution, mais ni le nombre de solutions ni leur valeur. Il peut y en avoir une, deux, trois…
Variante utile. Le théorème s'étend aux intervalles ouverts ou infinis : sur \(]a\,;b[,\) sur \([a\,;+\infty[,\) etc., on remplace \(f(a)\) ou \(f(b)\) par la limite de \(f\) à la borne concernée (voir la fiche 5B). Par exemple, si \(f\) est continue sur \([0\,;+\infty[\) avec \(f(0) = -2\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty,\) alors \(f(x) = 0\) a au moins une solution.
6Le corollaire : continuité + stricte monotonie \(\Rightarrow\) unicité
Corollaire (cas des fonctions strictement monotones). Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur \([a\,;b],\) et \(k\) un réel compris entre \(f(a)\) et \(f(b).\) Alors l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([a\,;b].\)
Pourquoi l'unicité ? La continuité donne au moins une solution (TVI) ; la stricte monotonie interdit à \(f\) de reprendre deux fois la même valeur, donc il y en a au plus une. Au total : exactement une.
Exemple. \(f(x) = x^3+x-1\) sur \([0\,;1].\) On a \(f'(x) = 3x^2+1 > 0,\) donc \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;1].\) Avec \(f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1),\) l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0\,;1],\) avec \(\alpha \approx 0{,}68.\)
Sans la stricte monotonie, on n'a aucun droit de parler d'unicité. Sur \([-2\,;2],\) la fonction \(f(x) = x^3-3x\) est continue, \(f(-2) = -2\) et \(f(2) = 2 :\) la valeur \(0\) est bien comprise entre \(f(-2)\) et \(f(2),\) donc le TVI s'applique. Et pourtant l'équation \(f(x) = 0,\) c'est-à-dire \(x(x^2-3) = 0,\) a trois solutions dans \([-2\,;2]:\) \(-\sqrt3,\) \(0\) et \(\sqrt3.\) Ici \(f\) n'est pas monotone (elle décroît sur \([-1\,;1]\)).
Avec un tableau de variations
En pratique on découpe l'intervalle en morceaux sur lesquels \(f\) est strictement monotone, et on applique le corollaire sur chaque morceau : sur un morceau, \(f\) prend une fois et une seule chaque valeur strictement comprise entre ses deux valeurs extrêmes. Le nombre de solutions de \(f(x)=k\) est la somme des solutions trouvées morceau par morceau.
| \(x\) | \(-3\) | \(1\) | \(4\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-5\) | ↗ | \(7\) | ↘ | \(2\) |
Avec ce tableau (\(f\) continue sur \([-3\,;4]\)) : pour \(k = 4,\) il y a une solution sur \([-3\,;1]\) (car \(-5 < 4 < 7\)) et une sur \([1\,;4]\) (car \(2 < 4 < 7\)), soit 2 solutions. Pour \(k = -1,\) il y en a une seule (sur \([-3\,;1]\) uniquement). Pour \(k = 9,\) il n'y en a aucune.
Cas limite : \(k\) égal à une valeur du tableau. La règle « une solution par morceau traversé » ne vaut que pour une valeur \(k\) strictement comprise entre les valeurs extrêmes du morceau. Quand \(k\) est exactement l'une des valeurs du tableau, on conclut directement.
• \(k = 7\) (le maximum, atteint en \(x = 1\)) : la valeur \(7\) est la borne commune des deux morceaux, et \(f\) ne la prend qu'une fois, en \(x = 1.\) Il y a donc 1 solution, et non \(2.\)
• \(k = 2 = f(4)\) : sur \([-3\,;1],\) \(2\) est strictement compris entre \(-5\) et \(7,\) d'où une solution ; sur \([1\,;4],\) \(f\) décroît de \(7\) à \(2\) et atteint \(2\) à la borne \(x = 4,\) ce qui donne une seconde solution. Total : 2 solutions, alors que l'inégalité stricte \(2 < 2 < 7\) est fausse.
7La rédaction type attendue au bac à recopier
Voici le modèle à reproduire mot pour mot chaque fois qu'on demande de montrer que \(f(x) = k\) admet une unique solution sur \([a\,;b].\) Sur l'exemple \(f(x) = x^3+x-1,\) \(k = 0,\) \([a\,;b] = [0\,;1] :\)
• \(f\) est dérivable sur \([0\,;1],\) donc \(f\) est continue sur \([0\,;1].\)
• Pour tout \(x\) de \([0\,;1],\) \(f'(x) = 3x^2+1 > 0,\) donc \(f\) est strictement croissante sur \([0\,;1].\)
• \(f(0) = -1\) et \(f(1) = 1,\) donc \(0\) est compris entre \(f(0)\) et \(f(1).\)
• D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0\,;1].\)
• À la calculatrice, \(f(0{,}6) \approx -0{,}18 < 0\) et \(f(0{,}7) \approx 0{,}04 > 0,\) donc \(0{,}6 < \alpha < 0{,}7.\)
Les quatre premières puces valent chacune des points : continuité, stricte monotonie, valeurs aux bornes, conclusion nommant le théorème. La cinquième répond à la question « donner un encadrement ».
Méthode
Méthode 1 — Justifier la continuité d'une fonction
- Regarder la forme de \(f.\) Polynôme ? quotient ? racine ? composée ?
- Chercher les valeurs interdites : dénominateur nul, quantité négative sous une racine. Elles découpent l'ensemble de définition en intervalles.
- Conclure en une phrase : « \(f\) est une somme (ou un produit, un quotient, une composée) de fonctions continues sur \(I,\) donc \(f\) est continue sur \(I.\) »
- Raccourci très utile : si on a déjà calculé \(f'\) dans la question précédente, écrire « \(f\) est dérivable sur \(I,\) donc continue sur \(I\) ».
Exemple. \(f(x) = \dfrac{x+1}{x^2-9}.\) Le dénominateur s'annule en \(-3\) et \(3.\) Donc \(f\) est continue sur \(]-\infty\,;-3[,\) sur \(]-3\,;3[\) et sur \(]3\,;+\infty[.\)
Pour une fonction définie par morceaux, la continuité aux points de raccord ne se voit pas sur la formule : il faut comparer la limite à gauche, la limite à droite et l'image du point.
Méthode 2 — Montrer que \(f(x) = k\) a une unique solution sur \([a\,;b]\)
- Continuité. « \(f\) est dérivable (ou : polynomiale, quotient de…) sur \([a\,;b],\) donc continue sur \([a\,;b].\) »
- Stricte monotonie. Calculer \(f'(x),\) donner son signe sur \([a\,;b],\) conclure « \(f\) est strictement croissante (ou décroissante) sur \([a\,;b]\) ».
- Valeurs aux bornes. Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) et écrire l'encadrement \(f(a) < k < f(b)\) (ou l'inverse si \(f\) décroît).
- Conclusion. Nommer le théorème : « d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x)=k\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([a\,;b]\) ».
Modèle de rédaction à compléter :
\(f\) est ……… sur \([a\,;b],\) donc elle y est continue.
Pour tout \(x\) de \([a\,;b],\) on calcule \(f'(x) = \) ……… dont le signe est ………, donc \(f\) est strictement ……… sur \([a\,;b].\)
De plus \(f(a) = \) …… et \(f(b) = \) …… et \(k = \) …… est compris entre ces deux valeurs.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([a\,;b].\)
Si la fonction n'est pas monotone sur tout l'intervalle, on dresse son tableau de variations et on applique les quatre étapes sur chaque intervalle de monotonie, puis on additionne le nombre de solutions.
Méthode 3 — Encadrer la solution \(\alpha\)
a) Par balayage (le plus rapide à la calculatrice)
- Choisir un pas adapté à la précision demandée : \(0{,}1\) pour une précision de \(10^{-1},\) \(0{,}01\) pour \(10^{-2}.\)
- Calculer \(f\) de proche en proche à partir de \(a\) jusqu'à observer un changement de signe de \(f(x) - k.\)
- Écrire l'encadrement entre les deux valeurs consécutives : si \(f(1{,}3) < k < f(1{,}4)\) avec \(f\) croissante, alors \(1{,}3 < \alpha < 1{,}4.\)
b) Par dichotomie (méthode au programme)
On part d'un intervalle \([a\,;b]\) contenant \(\alpha,\) puis on répète :
- calculer le milieu \(m = \dfrac{a+b}{2}\) ;
- calculer \(f(m) - k\) et comparer son signe à celui de \(f(a) - k\) ;
- si \(f(m)\) et \(f(a)\) sont du même côté de \(k,\) la solution est dans \([m\,;b]\) : on remplace \(a\) par \(m\) ; sinon elle est dans \([a\,;m]\) : on remplace \(b\) par \(m\) ;
- recommencer jusqu'à ce que l'amplitude soit assez petite.
À chaque étape l'amplitude est divisée par 2 : après \(n\) étapes elle vaut \(\dfrac{b-a}{2^n}.\) Pour obtenir une précision \(\varepsilon,\) on cherche le plus petit \(n\) tel que \(\dfrac{b-a}{2^n} \leqslant \varepsilon.\)
Exemple. Départ \([1\,;2]\) (amplitude \(1\)) et précision \(10^{-2} :\) il faut \(\dfrac{1}{2^n} \leqslant 0{,}01,\) soit \(2^n \geqslant 100.\) Comme \(2^6 = 64\) et \(2^7 = 128,\) il faut \(n = 7\) étapes.
Méthode 4 — Limite d'une suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\)
- Montrer que la suite converge. En général : prouver par récurrence qu'elle est bornée (par exemple \(0 \leqslant u_n \leqslant 3\)) et monotone, puis invoquer le théorème de la limite monotone (croissante et majorée \(\Rightarrow\) convergente). On note \(L\) sa limite.
- Appliquer la continuité. « \(f\) est continue sur l'intervalle considéré ; comme \(u_n \to L,\) on a \(f(u_n) \to f(L).\) Or \(f(u_n) = u_{n+1} \to L.\) »
- Résoudre \(L = f(L).\) C'est une équation ordinaire (souvent du second degré après mise au carré ou produit en croix).
- Conclure en éliminant les solutions impossibles grâce à l'encadrement trouvé à l'étape 1 (par exemple \(L \geqslant 0,\) ou \(L \geqslant u_0\) si la suite est croissante).
Exemple complet. \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n+6}.\)
1. On montre par récurrence que \(0 \leqslant u_n \leqslant 3\) puis que \((u_n)\) est croissante : elle est croissante et majorée par \(3,\) donc elle converge vers un réel \(L\) avec \(0 \leqslant L \leqslant 3.\)
2. \(f(x) = \sqrt{x+6}\) est continue sur \([0\,;3],\) donc \(u_{n+1} = f(u_n) \to f(L),\) et par ailleurs \(u_{n+1} \to L.\)
3. On résout \(L = \sqrt{L+6}.\) En élevant au carré : \(L^2 = L+6,\) soit \(L^2-L-6 = 0,\) c'est-à-dire \((L-3)(L+2) = 0.\)
4. Les solutions sont \(3\) et \(-2\) ; comme \(L \geqslant 0,\) on conclut \(L = 3.\)
Erreurs fréquentes
- Oublier de justifier la continuité. Sans elle, le TVI ne s'applique pas : la phrase « \(f\) est continue sur \([a\,;b]\) » doit être écrite, même si c'est évident.
- Oublier la stricte monotonie et conclure à l'unicité. Le TVI seul donne « au moins une solution ». Écrire « une unique solution » sans avoir étudié le signe de \(f'\) est une faute classique.
- Se tromper de sens dans l'encadrement. Quand \(f\) est décroissante, \(f(1{,}3) > k > f(1{,}4)\) donne quand même \(1{,}3 < \alpha < 1{,}4 :\) l'encadrement porte sur \(\alpha,\) pas sur les images. Toujours écrire les bornes dans l'ordre croissant.
- Résoudre \(L = f(L)\) sans avoir prouvé la convergence. Cette équation ne donne que la valeur d'une limite si elle existe ; l'équation \(L = f(L)\) peut très bien avoir une solution alors que la suite, elle, diverge.
- Confondre \(f(x) = k\) et \(f(x) = 0.\) Si \(k \neq 0,\) c'est la valeur \(k\) qui doit être comprise entre \(f(a)\) et \(f(b),\) pas \(0.\)
- Donner \(\alpha\) au lieu de son encadrement (ou l'inverse). Lire la question : « valeur approchée à \(10^{-2}\) » et « encadrement d'amplitude \(10^{-2}\) » ne demandent pas la même écriture.
- Croire que « continue » signifie « dérivable ». \(x \mapsto |x|\) est continue partout mais n'est pas dérivable en \(0.\)
Visualisation
Déplace la droite horizontale \(y = k\) et compte les points d'intersection avec la courbe. En mode discontinu, la fonction fait un saut en \(x = 2 :\) certaines valeurs de \(k\) ne sont jamais atteintes, et le théorème tombe en défaut.
On résout \(x^3+x-3 = 0\) sur \([1\,;2]\) par dichotomie. À chaque étape on coupe l'intervalle en deux et on garde la moitié où \(f\) change de signe. Appuie sur « Étape suivante » : la figure se recentre à chaque fois sur l'intervalle que l'on coupe, et la zone bleue est la moitié conservée.
La toile d'araignée de \(u_{n+1} = f(u_n)\) : on part de \(u_0\) sur l'axe, on monte jusqu'à la courbe (\(u_1 = f(u_0)\)), on va horizontalement jusqu'à la droite \(y = x\) pour reporter \(u_1\) sur l'axe, et on recommence. Le point fixe \(L,\) intersection de la courbe et de \(y = x,\) vérifie \(L = f(L).\)
Exercices
Exercice 1 Niveau 1
Exercice 2 Niveau 2
Exercice 3 Niveau 3
QCM
Quatre questions tirées au hasard dans une banque de dix-huit. Une seule bonne réponse par question.