Cours
1. Associer un nombre à chaque issue
Une variable aléatoire réelle X est une fonction définie sur un univers fini : à chaque issue \(\omega,\) elle associe un nombre réel \(X(\omega).\)
Exemple : sur un dé équilibré, on pose X = −2 pour les faces 1 et 2, X = 0 pour la face 3 et X = 4 pour les faces 4, 5 et 6. Les issues sont les six faces ; les valeurs de X sont seulement −2, 0 et 4.
2. Construire la loi de probabilité
On regroupe les issues qui donnent la même valeur. Dans l’exemple :
| Valeur x | −2 | 0 | 4 |
|---|---|---|---|
| P(X = x) | 1/3 | 1/6 | 1/2 |
Chaque probabilité est positive ou nulle, et leur somme vaut 1. Les valeurs distinctes de X ne sont pas nécessairement équiprobables.
3. Traduire un événement portant sur X
\(\{X=a\}\) rassemble les issues pour lesquelles X vaut a. L’événement \(\{X\leq a\}\) rassemble celles pour lesquelles X est au plus égal à a.
Dans l’exemple, \(P(X\leq0)=1/3+1/6=1/2,\) tandis que \(P(X<0)=1/3.\) La valeur située sur la frontière est incluse pour « ≤ », exclue pour « < ».
4. Espérance : une moyenne pondérée
Si X prend les valeurs distinctes \(x_i\) avec probabilités \(p_i,\)
\[E(X)=\sum_i x_i p_i.\]Dans l’exemple, \(E(X)=(-2)\times\frac13+0\times\frac16+4\times\frac12=\frac43.\)
L’espérance est une moyenne théorique. Elle peut être négative et ne correspond pas forcément à une valeur possible de X. Une moyenne simulée sur un échantillon peut s’en éloigner ; elle n’y est pas égale à chaque expérience.
5. Variance et écart type : mesurer la dispersion
En posant \(\mu=E(X),\) la variance est la moyenne pondérée des carrés des écarts à \(\mu.\)
\[V(X)=\sum_i(x_i-\mu)^2p_i,\qquad \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.\]La variance est positive ou nulle. L’écart type a la même unité que X, tandis que la variance porte l’unité au carré.
Exemple simple : X vaut −2 ou 2 avec probabilités 1/2 et 1/2. Alors \(\mu=0,\) \(V(X)=(-2)^2/2+2^2/2=4\) et \(\sigma(X)=2.\)
6. Gain brut, mise et jeu équitable
Si le lot brut est L et la mise fixe est m, le gain net est \(G=L-m.\) En calculant l’espérance avec la loi de G, on trouve \(E(G)=E(L)-m.\)
Exemple : un jeu verse 10 € avec probabilité 1/5 et 0 € sinon. Avec une mise de 2 €, les gains nets sont 8 € et −2 €. Leur espérance vaut \(8\times1/5+(-2)\times4/5=0.\)
Le jeu est équitable lorsque \(E(G)=0.\) Une espérance nulle n’empêche pas de perdre lors d’une partie.
Méthode
Construire une loi, puis calculer
- Lister les issues et leurs probabilités ; préciser l’équiprobabilité si on compte des issues.
- Définir clairement ce que mesure X, avec son unité.
- Regrouper les issues donnant la même valeur pour former la loi ; vérifier que les probabilités totalisent 1.
- Calculer \(\mu=\sum_i x_i p_i\) en gardant les valeurs exactes.
- Calculer chaque écart \(x_i-\mu,\) l’élever au carré, le pondérer puis additionner.
- Prendre la racine carrée seulement si on demande l’écart type. Respecter la précision annoncée.
Points de vigilance
- La somme des valeurs de X n’a pas à valoir 1 ; c’est la somme des probabilités.
- Une espérance n’est pas un résultat garanti pour une partie.
- Pour un jeu, retrancher la mise à chaque lot, y compris au lot nul.
- Un négatif au carré s’écrit entre parenthèses : \((-2)^2=4.\)
La formule de König-Huygens est un approfondissement possible en Première ; cette fiche utilise directement la définition de la variance.
Visualisation
Une loi, sa moyenne et une expérience simulée
Choisis les valeurs négative et positive de X. Les deux curseurs de probabilité répartissent une masse totale de 1 : d’abord sur la valeur négative, puis le reste entre 0 et la valeur positive.
Bleu : probabilité théorique · vert : fréquence observée après simulation. Le repère inférieur situe l’espérance entre les valeurs possibles.
Aucune simulation pour le moment.
Changer un paramètre efface les tirages précédents pour ne pas mélanger deux lois. Les fréquences varient au hasard ; elles ne s’approchent pas forcément de la théorie à chaque ajout.
Exercices
Réponds avec une fraction (ex. 3/10) ou un décimal exact (ex. 0,3). Aucun arrondi n’est demandé.
Exercice 1 Niveau 1
Exercice 2 Niveau 2
Exercice 3 Niveau 3
QCM
Quatre questions tirées dans une banque de douze. Une seule réponse correcte par question.