10A · Loi binomiale

2. La probabilité d’exactement k succès

Pour \(0<p<1\) et tout entier \(0\leq k\leq n,\)

Exemple : pour \(X\sim\mathcal B(4,1/2),\)

Aux frontières, on raisonne directement : si p = 0, X vaut toujours 0 ; si p = 1, X vaut toujours n. Les autres valeurs ont probabilité nulle. On évite ainsi une écriture ambiguë avec \(0^0.\) Hors des entiers de 0 à n, la probabilité est nulle.

3. Traduire « au plus », « au moins » et « entre »

On note \(F(k)=P(X\leq k).\) Les probabilités s’additionnent sur les valeurs entières demandées :

Pour des bornes entières a ≤ b :

On prend F(k) = 0 si k < 0, et F(k) = 1 si k ≥ n. Exemple avec \(\mathcal B(4,1/2)\) : \(P(X\leq1)=5/16,\) donc \(P(X\geq2)=11/16.\)

5. Chercher un seuil sans se tromper d’inégalité

Pour un risque fixé \(0\leq\alpha\leq1,\) on peut chercher le plus petit entier k entre 0 et n tel que \(P(X>k)\leq\alpha.\) La probabilité de dépassement décroît au sens large avec k : on teste les entiers dans l’ordre, ou on utilise la fonction cumulée.

Exemple pour \(\mathcal B(4,1/2)\) et \(\alpha=0{,}1\) :

Le premier seuil convenable est donc 3. Cela permet, par exemple, de chercher une capacité minimale sous une contrainte de risque dans un modèle de réservations.

6. Chercher un intervalle de valeurs

Un intervalle d’entiers \([a,b]\) peut être choisi pour couvrir une probabilité au moins égale à \(1-\alpha,\) ou pour décrire une zone de faible probabilité. On calcule \(F(b)-F(a-1)\) et on compare à la valeur demandée. Si l’énoncé dit strictement supérieur ou inférieur, conserver ce caractère strict.

Exemple avec \(\mathcal B(10,1/2)\) :

Ces intervalles répondent à deux questions différentes. Ils ne sont pas annoncés comme les plus courts possibles. Le seuil du point 5 fournit, lui, un intervalle \([0,k]\) de probabilité au moins \(1-\alpha.\)

7. Simuler et comparer à la loi

Une valeur de X s’obtient en comptant les succès sur n essais. Répéter cette expérience R fois, indépendamment, produit un échantillon de R valeurs de la même loi binomiale.

Ne pas confondre n et R : n est le nombre d’essais pour obtenir une valeur de X ; R est le nombre de valeurs de X simulées. La fréquence d’une valeur k est son nombre d’apparitions divisé par R.

from random import random

def binomiale(n, p):
    succes = 0
    for _ in range(n):
        if random() < p:
            succes += 1
    return succes

La fréquence observée n’est pas forcément égale à la probabilité. Ajouter des observations ne la rapproche pas de la théorie à chaque étape. La moyenne observée fluctue aussi autour de l’espérance théorique.

Les lois géométrique et de Poisson ne sont pas nécessaires dans cette fiche.

Résoudre un exercice de loi binomiale

1. Définir le succès, n, p et ce que compte X.
2. Justifier les deux issues, le nombre fixé d’essais, la même probabilité et l’indépendance.
3. Traduire l’événement avec les bonnes bornes entières : égalité, cumul ou intervalle.
4. Calculer exactement ou garder la précision de la calculatrice. Pour un intervalle, soustraire F(a−1), pas F(a).
5. Pour un seuil, tester le candidat et son prédécesseur avec les valeurs non arrondies.
6. Arrondir seulement le résultat final, à la précision demandée.

Avec une calculatrice ou un tableur

Sur calculatrice : repère les fonctions de la loi binomiale. Les noms et menus varient selon le modèle. La fonction ponctuelle donne \(P(X=k),\) la fonction cumulée donne \(P(X\leq k).\) Renseigne n, p et la borne entière demandée ; ne confonds pas p avec le risque α.

1. Pour « au plus k », utilise directement la fonction cumulée en k.
2. Pour « au moins k », calcule 1 moins la cumulée en k−1.
3. Pour \(a\leq X\leq b,\) soustrais la cumulée en a−1 à celle en b.

Si a = 0, le terme F(−1) vaut 0 : inutile de saisir une borne négative si l’outil ne l’accepte pas.

Sur tableur : construis trois colonnes : j (de 0 à n), la probabilité ponctuelle P(X = j), puis le cumul F(j). La première cellule de cumul reprend P(X = 0) ; chaque cellule suivante ajoute sa probabilité au cumul précédent. Utilise la fonction binomiale ponctuelle du logiciel ou la formule du cours, en gardant n et p fixes lors de la recopie. Pour un intervalle, soustrais ensuite les deux cumulées appropriées.

Test de contrôle : avec n = 4 et p = 0,5, la colonne des probabilités est 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16. Le cumul en 1 vaut 5/16 et le dernier cumul vaut 1. Ne recopie pas les seules valeurs affichées arrondies pour calculer un seuil.

La loi, un événement et un échantillon

Bleu : probabilités de l’événement · gris : autres probabilités · vert : fréquences simulées. L’échelle verticale s’adapte aux hauteurs.

Changer n ou p efface la simulation précédente. Changer l’événement conserve l’échantillon, issu de la même loi.

Un seuil de dépassement

On conserve la loi choisie ci-dessus. Cherchons le plus petit entier k entre 0 et n pour lequel P(X > k) ≤ α.

Le seuil est calculé avec des fractions exactes. Les décimaux affichés sont des approximations à six décimales au plus. Une probabilité positive plus petite que 10⁻⁶ est signalée, pas confondue avec zéro.

Exercice 1 · Exactement k succès Niveau 1

Exercice 2 · Un intervalle, au millième Niveau 2

Exercice 3 · Une capacité minimale Niveau 3

Quatre questions tirées dans une banque de seize. Une seule réponse correcte par question.