6C · Logarithme népérien

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1. Cours

1Définition : la fonction réciproque de l'exponentielle

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb R\) et prend une fois et une seule chaque valeur strictement positive. On peut donc « remonter » : à tout réel \(x > 0\) on associe l'unique réel \(y\) tel que \(\mathrm e^{y}=x.\) Ce réel s'appelle le logarithme népérien de \(x\) et se note \(\ln x.\)

Pour \(x > 0\) et \(y\) réel :

\[\ln x = y \iff x = \mathrm e^{y}.\]

Les deux fonctions se défont l'une l'autre :

\(\mathrm e^{\ln x} = x\) pour tout \(x > 0\) ;
\(\ln\!\left(\mathrm e^{x}\right) = x\) pour tout réel \(x.\)

Ensemble de définition : \(\ln\) n'est définie que sur \(\left]0\,;+\infty\right[.\) L'écriture \(\ln(0)\) ou \(\ln(-4)\) n'a aucun sens : l'exponentielle ne prend jamais ces valeurs.

Valeurs à connaître \(\ln 1 = 0\) (car \(\mathrm e^{0}=1\)) et \(\ln \mathrm e = 1\) (car \(\mathrm e^{1}=\mathrm e\)). On retient aussi \(\ln 2 \approx 0{,}693\), \(\ln 3 \approx 1{,}099\) et \(\ln 10 \approx 2{,}303.\)

Exemple. Résoudre \(\mathrm e^{x} = 7.\) Comme \(7 > 0\), l'équation a une unique solution \(x = \ln 7 \approx 1{,}946.\) Vérification : \(\mathrm e^{1{,}946}\approx 7.\)

2Propriétés algébriques

Le logarithme transforme les produits en sommes : c'est l'équation fonctionnelle, elle vient directement de \(\mathrm e^{u+v}=\mathrm e^{u}\mathrm e^{v}.\) Pour tous réels \(a > 0\) et \(b > 0\) et tout entier \(n\) :

\[\ln(ab)=\ln a+\ln b,\qquad \ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b,\] \[\ln\!\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln a,\qquad \ln\!\left(a^{n}\right)=n\ln a,\qquad \ln\!\left(\sqrt{a}\right)=\tfrac12\ln a.\]

Exemples numériques.

\(\ln 6 = \ln(2\times 3)=\ln 2+\ln 3\approx 0{,}693+1{,}099=1{,}792.\)
\(\ln\!\left(\dfrac{5}{2}\right)=\ln 5-\ln 2\approx 1{,}609-0{,}693=0{,}916.\)
\(\ln 8 = \ln\!\left(2^{3}\right)=3\ln 2\approx 2{,}079.\)
\(\ln\!\left(\sqrt{2}\right)=\tfrac12\ln 2\approx 0{,}347.\)
\(\ln 100 = \ln\!\left(10^{2}\right)=2\ln 10\approx 4{,}605.\)

Aucune formule pour une somme. \(\ln(a+b)\) ne se simplifie pas : \(\ln(2+3)=\ln 5\approx 1{,}609\) alors que \(\ln 2+\ln 3\approx 1{,}792.\) Ce n'est pas la même chose.

3Dérivée du logarithme à savoir démontrer

On admet que \(\ln\) est dérivable sur \(\left]0\,;+\infty\right[.\) On en déduit sa dérivée :

\[\ln'(x)=\frac{1}{x}\quad\text{pour tout }x>0.\]

Démonstration exigible. Pour tout \(x > 0\) on a l'égalité \(\mathrm e^{\ln x}=x.\) Les deux membres sont des fonctions dérivables sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) : on peut les dériver.

Membre de gauche : c'est \(\mathrm e^{u}\) avec \(u(x)=\ln x.\) Or \(\left(\mathrm e^{u}\right)'=u'\,\mathrm e^{u}\) (fiche 6B), donc sa dérivée vaut \(\ln'(x)\times \mathrm e^{\ln x}=\ln'(x)\times x.\)
Membre de droite : la dérivée de \(x\mapsto x\) vaut \(1.\)
Deux fonctions égales ont la même dérivée, donc \(x\,\ln'(x)=1.\)
Comme \(x > 0\), on peut diviser par \(x\) : \(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}.\)

ExempleLa tangente à la courbe de \(\ln\) au point d'abscisse \(1\) a pour coefficient directeur \(\ln'(1)=\dfrac11=1\) et passe par \((1\,;0)\) : son équation est \(y=x-1.\)

4Variations, signe, limites

Sur \(\left]0\,;+\infty\right[\), \(\ln'(x)=\dfrac1x > 0\) : la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur son ensemble de définition. Elle prend donc chaque valeur réelle une seule fois.

\[\lim_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty,\qquad \lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty.\]

La droite d'équation \(x=0\) (l'axe des ordonnées) est donc asymptote verticale à la courbe. Attention : \(\ln\) tend vers \(+\infty\), mais très lentement : \(\ln(1\,000\,000)\approx 13{,}8\) seulement.

\(x\)	\(0{,}1\)	\(0{,}5\)	\(1\)	\(2\)	\(\mathrm e\)	\(10\)	\(100\)
\(\ln x\)	\(-2{,}30\)	\(-0{,}69\)	\(0\)	\(0{,}69\)	\(1\)	\(2{,}30\)	\(4{,}61\)

Signe de ln \(\ln x < 0\) si \(0 < x < 1\) ; \(\ln 1 = 0\) ; \(\ln x > 0\) si \(x > 1.\) Le logarithme d'un nombre peut être négatif : \(\ln(0{,}5)\approx -0{,}693.\)

Comme \(\ln\) est strictement croissante, pour \(a > 0\) et \(b > 0\) :

\[\ln a=\ln b\iff a=b,\qquad \ln a<\ln b\iff a<b.\]

5Courbe : la symétrie par rapport à la droite \(y=x\)

Si le point \(M(a\,;b)\) appartient à la courbe de \(\ln\), alors \(b=\ln a\), donc \(a=\mathrm e^{b}\) : le point \(M'(b\,;a)\) appartient à la courbe de l'exponentielle. Or \(M\) et \(M'\) sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y=x.\)

Les courbes de \(\ln\) et de \(\exp\) sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y=x\) (la première bissectrice).

Exemple. \(\mathrm e^{0}=1\) donne le point \((0\,;1)\) sur la courbe de \(\exp\) ; le point symétrique \((1\,;0)\) est bien sur la courbe de \(\ln\) puisque \(\ln 1 = 0.\) De même \((1\,;\mathrm e)\) et \((\mathrm e\,;1).\)

Cette symétrie explique tout le reste : l'asymptote horizontale \(y=0\) de \(\exp\) en \(-\infty\) devient l'asymptote verticale \(x=0\) de \(\ln\) en \(0^{+}\), et la tangente \(y=x+1\) en \(0\) devient la tangente \(y=x-1\) en \(1.\) Va le vérifier dans l'onglet 1 de la visualisation.

6Croissances comparées une limite à savoir démontrer

Le logarithme croît plus lentement que n'importe quelle puissance de \(x.\) Pour tout entier \(n\geqslant 1\) :

\[\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x^{n}}=0,\qquad \lim_{x\to 0^{+}}x^{n}\ln x=0.\]

Cas particuliers les plus utilisés : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0.\)

Démonstration exigible de \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0.\)

On pose \(X=\ln x\), c'est-à-dire \(x=\mathrm e^{X}.\) Quand \(x\to 0^{+}\), \(X\to-\infty.\)
Alors \(x\ln x=\mathrm e^{X}\times X=X\,\mathrm e^{X}.\)
On pose \(t=-X\), donc \(t\to+\infty\), et \(X\mathrm e^{X}=-t\,\mathrm e^{-t}=-\dfrac{t}{\mathrm e^{t}}.\)
Par croissance comparée de la fiche 6B, \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\frac{\mathrm e^{t}}{t}=+\infty\), donc \(\dfrac{t}{\mathrm e^{t}}\to 0.\)
Conclusion : \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x = 0.\)

À quoi ça sertCes limites lèvent les formes indéterminées « \(\frac{\infty}{\infty}\) » et « \(0\times\infty\) » qui apparaissent dès qu'un \(\ln\) rencontre un polynôme. Exemple : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x-\ln x\right)=\lim_{x\to+\infty}x\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)=+\infty\times 1=+\infty.\)

7Dérivée de \(\ln(u)\)

Si \(u\) est dérivable sur un intervalle \(I\) et si \(u(x) > 0\) sur \(I\), alors \(\ln(u)\) est dérivable sur \(I\) et :

\[\bigl(\ln u\bigr)'=\frac{u'}{u}.\]

C'est la formule de la dérivée d'une composée (fiche 4D) appliquée à \(\ln.\) La condition \(u > 0\) n'est pas un détail : sans elle, \(\ln(u)\) n'existe même pas.

Exemples.

\(f(x)=\ln(3x+1)\) sur \(\left]-\tfrac13\,;+\infty\right[\) : \(u=3x+1\), \(u'=3\), donc \(f'(x)=\dfrac{3}{3x+1}.\)
\(g(x)=\ln\!\left(x^{2}+1\right)\) sur \(\mathbb R\) (car \(x^{2}+1 > 0\) partout) : \(g'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}.\)
\(h(x)=x\ln x\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) : produit, donc \(h'(x)=1\times\ln x+x\times\dfrac1x=\ln x+1.\)

Remarque utileComme \(u > 0\), le signe de \(\dfrac{u'}{u}\) est celui de \(u'\) : la fonction \(\ln(u)\) a exactement les mêmes variations que \(u.\)

2. Méthode

ARésoudre une équation avec un logarithme

Ensemble de définition d'abord. Écrire les conditions \(u(x) > 0\) pour chaque \(\ln(u)\) présent, et résoudre : on obtient un intervalle \(D.\) Tout se passera dans \(D\).
Ramener à \(\ln A=\ln B\) ou à \(\ln A=k\). On utilise les propriétés algébriques pour regrouper les logarithmes en un seul.
Utiliser la stricte croissance (\(\ln\) est injective) : \(\ln A=\ln B\iff A=B\), et \(\ln A=k\iff A=\mathrm e^{k}.\)
Vérifier que la ou les solutions trouvées appartiennent bien à \(D\) : sinon on les rejette.

Exemple

Résoudre \(\ln(2x-1)+\ln 3=\ln 15.\)

1. Définition : \(2x-1 > 0\iff x > \tfrac12\), donc \(D=\left]\tfrac12\,;+\infty\right[.\)

2. \(\ln(2x-1)+\ln 3=\ln\bigl(3(2x-1)\bigr)\), donc l'équation devient \(\ln(6x-3)=\ln 15.\)

3. Stricte croissance : \(6x-3=15\), d'où \(x=3.\)

4. \(3\in D\) : l'ensemble des solutions est \(S=\{3\}.\)

Avec un logarithme isolé : \(\ln(x+2)=3\iff x+2=\mathrm e^{3}\iff x=\mathrm e^{3}-2\approx 18{,}086\) (et \(\mathrm e^{3}-2 > -2\), donc c'est bien dans \(D\)).

BRésoudre une inéquation avec un logarithme

Ensemble de définition d'abord, comme pour une équation. Il donne souvent une deuxième contrainte que l'inéquation seule ne donne pas.
Regrouper en un seul \(\ln\) de chaque côté.
Stricte croissance : \(\ln A < \ln B\iff A < B\) (le sens ne change pas), et \(\ln A < k\iff A <\mathrm e^{k}.\)
Intersecter avec \(D\) et écrire \(S\) sous forme d'intervalle.

Exemple où l'ensemble de définition change la réponse

Résoudre \(\ln(x-2)\leqslant \ln 5.\)

1. Définition : \(x-2 > 0\iff x > 2\), donc \(D=\left]2\,;+\infty\right[.\)

2-3. \(\ln(x-2)\leqslant\ln 5\iff x-2\leqslant 5\iff x\leqslant 7.\)

4. On intersecte : \(S=\left]2\,;7\right].\) Si on avait oublié \(D\), on aurait écrit \(\left]-\infty\,;7\right]\), ce qui est faux.

Quand on divise par un logarithme, on regarde son signe. \(\ln q > 0\) si \(q > 1\) : le sens est conservé. \(\ln q < 0\) si \(0 < q < 1\) : le sens change. Exemple : \(0{,}8^{n} < 0{,}1\iff n\ln 0{,}8 < \ln 0{,}1\iff n > \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}8}\approx 10{,}32.\)

CChercher un seuil dans une suite géométrique le lien avec la fiche 3B

Dans la fiche 3B · Suites arithmétiques et géométriques, la question « à partir de quel rang \(u_n\) dépasse-t-il \(S\) ? » se traitait par tableau : on calculait \(u_0, u_1, u_2,\dots\) jusqu'à franchir le seuil, à la main ou avec une boucle while. C'était la seule méthode possible, parce que le logarithme n'était pas encore au programme. Maintenant, on obtient la réponse en trois lignes.

Écrire le terme général : \(u_n=u_0\,q^{\,n}.\)
Traduire le seuil : \(u_0\,q^{\,n} > S\iff q^{\,n} > \dfrac{S}{u_0}\) (on divise par \(u_0 > 0\)).
Passer au logarithme (licite car les deux membres sont \(>0\)) : \(n\ln q > \ln\!\left(\dfrac{S}{u_0}\right).\)
Diviser par \(\ln q\) en surveillant son signe, puis arrondir à l'entier supérieur.

Le même exemple qu'en 2B

\(u_0=20\,000\), \(q=1{,}02\) (hausse de \(2\,\%\) par an), seuil \(S=30\,000.\) En 2B, on remplissait ce tableau jusqu'à trouver \(u_{20}\approx 29\,719\) puis \(u_{21}\approx 30\,313\), et on concluait \(n=21.\) Avec le logarithme :

\(20\,000\times 1{,}02^{\,n} > 30\,000\iff 1{,}02^{\,n} > 1{,}5\iff n\ln 1{,}02 > \ln 1{,}5.\)

Comme \(1{,}02 > 1\), \(\ln 1{,}02\approx 0{,}0198 > 0\) : le sens est conservé, donc

\[n > \frac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}02}\approx 20{,}47.\]

Le plus petit entier qui convient est \(n=21\) : la même réponse que le tableau, sans tableau. On peut encore vérifier avec les deux termes qui encadrent le seuil, c'est toujours une bonne habitude.

Cas décroissant. Si \(0 < q < 1\) (par exemple une décroissance radioactive), \(\ln q < 0\) et la division renverse l'inégalité : \(q^{\,n} < \dfrac{S}{u_0}\iff n > \dfrac{\ln(S/u_0)}{\ln q}.\) On arrondit toujours à l'entier supérieur.

DDériver et étudier une fonction contenant \(\ln\)

Ensemble de définition : résoudre \(u(x) > 0\) pour chaque \(\ln(u).\)
Dériver avec \(\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}\), sans oublier les règles du produit et du quotient.
Étudier le signe de \(f'\) : on met au même dénominateur, puis on étudie séparément numérateur et dénominateur sur \(D.\)
Tableau de variations avec les limites aux bornes ouvertes (croissances comparées si besoin).

Exemple complet

\(f(x)=x-\ln x\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[.\)

\(f'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}{x}.\) Sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) le dénominateur est positif : \(f'\) a le signe de \(x-1.\)

Donc \(f\) est décroissante sur \(\left]0\,;1\right]\), croissante sur \(\left[1\,;+\infty\right[\), et son minimum vaut \(f(1)=1-0=1.\)

Limites : en \(0^{+}\), \(x\to 0\) et \(-\ln x\to+\infty\) donc \(f(x)\to+\infty.\) En \(+\infty\), forme indéterminée « \(\infty-\infty\) » : on factorise, \(f(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)\to+\infty\times 1=+\infty.\)

Bonus : comme le minimum vaut \(1 > 0\), on a démontré que \(\ln x < x\) pour tout \(x > 0.\)

ELever une forme indéterminée avec \(\ln\)

Identifier la forme : « \(\frac{\infty}{\infty}\) », « \(0\times\infty\) » ou « \(\infty-\infty\) ».
Faire apparaître \(\dfrac{\ln x}{x^{n}}\) ou \(x^{n}\ln x\) en factorisant par le terme dominant.
Appliquer la croissance comparée, puis conclure par les opérations sur les limites.

Trois exemples types.

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}=0\) : croissance comparée directe.
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(2x-3\ln x\bigr)\) : forme « \(\infty-\infty\) ». On factorise : \(2x-3\ln x=x\left(2-3\dfrac{\ln x}{x}\right)\to+\infty\times 2=+\infty.\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x^{2}\ln x=0\) : forme « \(0\times(-\infty)\) », levée par la croissance comparée en \(0.\)

!Erreurs fréquentes

1. Écrire \(\ln(a+b)=\ln a+\ln b.\) C'est faux : le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes en sommes. Contre-exemple : \(\ln(1+1)=\ln 2\approx 0{,}693\) alors que \(\ln 1+\ln 1=0.\)

2. Résoudre sans chercher l'ensemble de définition. \(\ln(x-4)=\ln(2x)\) donne \(x-4=2x\), donc \(x=-4\) ; mais \(-4\notin D\) (il faudrait \(x > 4\)). L'ensemble des solutions est \(S=\varnothing.\) Sans l'étape « définition », on répond une solution qui n'existe pas.

3. Diviser une inéquation par un logarithme négatif sans changer le sens. De \(n\ln 0{,}9 < \ln 0{,}5\) on ne déduit pas \(n < \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}9}\) : comme \(\ln 0{,}9 < 0\), le sens s'inverse et \(n > \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}9}\approx 6{,}58.\)

4. Croire que \(\ln x\) est toujours positif. \(\ln x < 0\) dès que \(0 < x < 1.\) Par exemple \(\ln(0{,}25)\approx -1{,}386.\) C'est \(\mathrm e^{x}\) qui est toujours strictement positif, pas \(\ln x.\)

5. Oublier la condition \(u > 0\) pour \(\ln(u).\) Écrire « \(f(x)=\ln(x^{2}-4)\) est définie sur \(\mathbb R\) » est faux : il faut \(x^{2}-4 > 0\), donc \(D=\left]-\infty\,;-2\right[\cup\left]2\,;+\infty\right[.\) Et la dérivée \(\dfrac{2x}{x^{2}-4}\) n'a de sens que sur ce \(D.\)

3. Visualisation

Déplace le point \(A\) sur la courbe de \(\ln.\) Son symétrique \(A'\) par rapport à la droite \(y=x\) se déplace sur la courbe de \(\exp\) : les coordonnées sont simplement échangées.

a2,70

y = ln xy = e^xy = xA et son symétrique A′

4. Exercices

Exercice 1 — Simplifier une expression Niveau 1

Exercice 2 — Équation ou inéquation Niveau 2

Forme de S

α =

Exercice 3 — Recherche de seuil Niveau 3

5. QCM

Quatre questions tirées au hasard dans une banque de 18. Une seule bonne réponse par question.

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