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1. Cours
Cette fiche est la mise en pratique de l'exponentielle. Trois outils déjà vus servent ici en permanence :
- les limites usuelles et les opérations sur les limites (fiche 4B) ;
- les croissances comparées, démontrées dans la fiche 5B ;
- la dérivée d'une composée, et en particulier \(\big(\mathrm e^{u}\big)'=u'\,\mathrm e^{u}\) (fiche 3D).
Ici on ne les redémontre pas : on les utilise pour étudier une fonction du début à la fin. Le logarithme népérien n'apparaît pas dans cette fiche : il fait l'objet de la fiche 6C. Toutes les équations traitées ici se résolvent sans lui.
1Rappel express : les propriétés algébriques et la stricte croissance
Pour tous réels \(x\) et \(y\) et tout entier relatif \(n\) :
\[\mathrm e^{x+y}=\mathrm e^{x}\,\mathrm e^{y},\qquad \mathrm e^{-x}=\frac{1}{\mathrm e^{x}},\qquad \mathrm e^{x-y}=\frac{\mathrm e^{x}}{\mathrm e^{y}},\qquad \big(\mathrm e^{x}\big)^{n}=\mathrm e^{nx}.\]
Deux faits qui commandent tout le reste.
• Pour tout réel \(x\), \(\mathrm e^{x}>0\) : l'exponentielle ne s'annule jamais et ne change jamais de signe.
• \(\big(\mathrm e^{x}\big)'=\mathrm e^{x}>0\) : la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb R.\)
• Pour tout réel \(x\), \(\mathrm e^{x}>0\) : l'exponentielle ne s'annule jamais et ne change jamais de signe.
• \(\big(\mathrm e^{x}\big)'=\mathrm e^{x}>0\) : la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb R.\)
Exemples numériques. \(\mathrm e^{0}=1\), \(\mathrm e^{1}=\mathrm e\approx 2{,}718\), \(\mathrm e^{2}\approx 7{,}389\), \(\mathrm e^{-1}\approx 0{,}368\), \(\mathrm e^{-3}\approx 0{,}0498.\)
\(\mathrm e^{5}\times\mathrm e^{-2}=\mathrm e^{3}\approx 20{,}09\) ; \(\dfrac{\mathrm e^{7}}{\mathrm e^{4}}=\mathrm e^{3}\) ; \(\big(\mathrm e^{2x}\big)^{3}=\mathrm e^{6x}\) ; \(\mathrm e^{x}\,\mathrm e^{-x}=\mathrm e^{0}=1.\)
\(\mathrm e^{5}\times\mathrm e^{-2}=\mathrm e^{3}\approx 20{,}09\) ; \(\dfrac{\mathrm e^{7}}{\mathrm e^{4}}=\mathrm e^{3}\) ; \(\big(\mathrm e^{2x}\big)^{3}=\mathrm e^{6x}\) ; \(\mathrm e^{x}\,\mathrm e^{-x}=\mathrm e^{0}=1.\)
\(\mathrm e^{x+y}\) n'est pas \(\mathrm e^{x}+\mathrm e^{y}\), et \(\mathrm e^{2x}\) n'est pas \(2\mathrm e^{x}.\) Vérification immédiate avec \(x=y=1\) : \(\mathrm e^{2}\approx 7{,}39\) alors que \(\mathrm e+\mathrm e\approx 5{,}44\) et \(2\mathrm e\approx 5{,}44.\)
2Équations et inéquations : le principe fondamental
L'exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb R\), donc pour tous réels \(A\) et \(B\) :
\[\mathrm e^{A}=\mathrm e^{B}\iff A=B,\qquad\qquad \mathrm e^{A}<\mathrm e^{B}\iff A<B.\]
(De même avec \(\leq\), \(>\) et \(\geq\) : l'inégalité garde son sens.)
Autrement dit : quand les deux membres sont des exponentielles, on peut « enlever les exponentielles » et ne garder que les exposants. La justification à écrire dans une copie est toujours la même : « la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb R\) ».
Exemple 1 (équation). \(\mathrm e^{2x+1}=\mathrm e^{5-x}\iff 2x+1=5-x\iff 3x=4\iff x=\dfrac43.\)
Exemple 2 (l'astuce \(1=\mathrm e^{0}\)). \(\mathrm e^{x^{2}-3x}=1\iff \mathrm e^{x^{2}-3x}=\mathrm e^{0}\iff x^{2}-3x=0\iff x(x-3)=0\iff x=0\ \text{ou}\ x=3.\)
Exemple 3 (inéquation). \(\mathrm e^{3x}<\mathrm e^{x+4}\iff 3x<x+4\iff 2x<4\iff x<2.\) L'ensemble des solutions est \(\left]-\infty\,;2\right[.\)
Exemple 4 (le sens change à cause du calcul, pas de l'exponentielle). \(\mathrm e^{-2x}\geq \mathrm e^{x-6}\iff -2x\geq x-6\iff -3x\geq -6\iff x\leq 2.\) C'est la division par \(-3\) qui a renversé l'inégalité.
Exemple 2 (l'astuce \(1=\mathrm e^{0}\)). \(\mathrm e^{x^{2}-3x}=1\iff \mathrm e^{x^{2}-3x}=\mathrm e^{0}\iff x^{2}-3x=0\iff x(x-3)=0\iff x=0\ \text{ou}\ x=3.\)
Exemple 3 (inéquation). \(\mathrm e^{3x}<\mathrm e^{x+4}\iff 3x<x+4\iff 2x<4\iff x<2.\) L'ensemble des solutions est \(\left]-\infty\,;2\right[.\)
Exemple 4 (le sens change à cause du calcul, pas de l'exponentielle). \(\mathrm e^{-2x}\geq \mathrm e^{x-6}\iff -2x\geq x-6\iff -3x\geq -6\iff x\leq 2.\) C'est la division par \(-3\) qui a renversé l'inégalité.
Trois cas particuliers très fréquents.
• \(\mathrm e^{A}=0\) n'a aucune solution, et \(\mathrm e^{A}<0\) non plus : une exponentielle est toujours strictement positive.
• \(\mathrm e^{A}>0\) est vraie pour tout \(x\) : l'ensemble des solutions est \(\mathbb R.\)
• Une équation comme \(\mathrm e^{x}=5\) n'a pas de solution « visible » : les deux membres ne sont pas tous les deux des exponentielles. Elle se résoudra avec le logarithme (fiche 6C).
• \(\mathrm e^{A}=0\) n'a aucune solution, et \(\mathrm e^{A}<0\) non plus : une exponentielle est toujours strictement positive.
• \(\mathrm e^{A}>0\) est vraie pour tout \(x\) : l'ensemble des solutions est \(\mathbb R.\)
• Une équation comme \(\mathrm e^{x}=5\) n'a pas de solution « visible » : les deux membres ne sont pas tous les deux des exponentielles. Elle se résoudra avec le logarithme (fiche 6C).
Un produit nul, avec une exponentielle en facteur. \((2x-6)\,\mathrm e^{x}=0\iff 2x-6=0\) car \(\mathrm e^{x}\neq0\), donc \(x=3.\) Ne jamais « chercher aussi les \(x\) qui annulent \(\mathrm e^{x}\) » : il n'y en a pas.
3Limites de l'exponentielle et asymptote
\[\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^{x}=+\infty,\qquad\qquad \lim_{x\to-\infty}\mathrm e^{x}=0.\]
Comme \(\lim_{x\to-\infty}\mathrm e^{x}=0\), la droite d'équation \(y=0\) (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe de la fonction exponentielle en \(-\infty.\)
En \(+\infty\), il n'y a aucune asymptote horizontale : la courbe s'échappe vers le haut.
| \(x\) | \(-10\) | \(-5\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(5\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\mathrm e^{x}\) | \(0{,}000045\) | \(0{,}0067\) | \(0{,}368\) | \(1\) | \(2{,}718\) | \(148{,}4\) | \(22\,026\) |
Valeurs arrondies, sauf \(\mathrm e^{0}=1.\)
Composées : on fait tendre l'exposant. Si \(u(x)\to+\infty\) alors \(\mathrm e^{u(x)}\to+\infty\) ; si \(u(x)\to-\infty\) alors \(\mathrm e^{u(x)}\to0.\)
• \(\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^{-x}=0\) (car \(-x\to-\infty\)) : la droite \(y=0\) est asymptote horizontale en \(+\infty\) à la courbe de \(x\mapsto\mathrm e^{-x}.\)
• \(\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^{-x^{2}}=0\) ; \(\lim_{x\to-\infty}\mathrm e^{2x+1}=0\) ; \(\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^{3x-7}=+\infty.\)
• \(\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^{-x}=0\) (car \(-x\to-\infty\)) : la droite \(y=0\) est asymptote horizontale en \(+\infty\) à la courbe de \(x\mapsto\mathrm e^{-x}.\)
• \(\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^{-x^{2}}=0\) ; \(\lim_{x\to-\infty}\mathrm e^{2x+1}=0\) ; \(\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^{3x-7}=+\infty.\)
Le côté de l'asymptote dépend du signe devant \(x.\) Pour \(\mathrm e^{x}\) l'asymptote \(y=0\) est en \(-\infty\) ; pour \(\mathrm e^{-x}\) elle est en \(+\infty.\) Annoncer « asymptote horizontale en \(+\infty\) » pour \(\mathrm e^{x}\) est une faute lourde, et elle se repère d'un coup d'œil sur le graphique.
4Croissances comparées : l'exponentielle gagne toujours
Énoncé exact (à citer tel quel). Pour tout entier naturel \(n\geq1\) :
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^{x}}{x^{n}}=+\infty,\qquad\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{n}}{\mathrm e^{x}}=0.\]
Et, séparément (il n'y a pas de \(n\) ici) :
\[\lim_{x\to-\infty}x\,\mathrm e^{x}=0.\]
La démonstration figure dans la fiche 4B (démonstration exigible). Ici, on retient la formule à écrire et surtout le moment où l'utiliser : dès qu'une forme indéterminée mélange une exponentielle et une puissance de \(x.\)
Exemple 1 (F.I. \(\infty-\infty\)). \(\lim_{x\to+\infty}\big(\mathrm e^{x}-x^{3}\big)\) : on factorise par \(\mathrm e^{x}\),
\[\mathrm e^{x}-x^{3}=\mathrm e^{x}\left(1-\frac{x^{3}}{\mathrm e^{x}}\right).\]
Par croissance comparée \(\frac{x^{3}}{\mathrm e^{x}}\to0\), donc la parenthèse tend vers \(1\), et par produit \(\lim_{x\to+\infty}\big(\mathrm e^{x}-x^{3}\big)=+\infty.\)
Exemple 2 (F.I. \(\frac{\infty}{\infty}\)). \(\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^{2}+1}{\mathrm e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\left(4\times\frac{x^{2}}{\mathrm e^{x}}+\frac{1}{\mathrm e^{x}}\right)=0.\) La droite \(y=0\) est asymptote horizontale en \(+\infty.\)
Exemple 3 (F.I. \(0\times\infty\) en \(-\infty\)). \(\lim_{x\to-\infty}(3x+2)\mathrm e^{x}=3\underbrace{x\,\mathrm e^{x}}_{\to0}+2\underbrace{\mathrm e^{x}}_{\to0}=0.\)
Exemple 2 (F.I. \(\frac{\infty}{\infty}\)). \(\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^{2}+1}{\mathrm e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\left(4\times\frac{x^{2}}{\mathrm e^{x}}+\frac{1}{\mathrm e^{x}}\right)=0.\) La droite \(y=0\) est asymptote horizontale en \(+\infty.\)
Exemple 3 (F.I. \(0\times\infty\) en \(-\infty\)). \(\lim_{x\to-\infty}(3x+2)\mathrm e^{x}=3\underbrace{x\,\mathrm e^{x}}_{\to0}+2\underbrace{\mathrm e^{x}}_{\to0}=0.\)
| \(x\) | \(5\) | \(10\) | \(20\) | \(30\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x^{3}\) | \(125\) | \(1\,000\) | \(8\,000\) | \(27\,000\) |
| \(\mathrm e^{x}\) | \(148\) | \(22\,026\) | \(4{,}85\times10^{8}\) | \(1{,}07\times10^{13}\) |
| \(\dfrac{x^{3}}{\mathrm e^{x}}\) | \(0{,}84\) | \(0{,}045\) | \(1{,}6\times10^{-5}\) | \(2{,}5\times10^{-9}\) |
Ligne \(x^{3}\) exacte ; les deux autres lignes sont arrondies.
Le sens compte. En \(+\infty\), c'est \(\mathrm e^{x}\) qui l'emporte : \(\frac{x^{n}}{\mathrm e^{x}}\to0\) et \(\frac{\mathrm e^{x}}{x^{n}}\to+\infty.\) Écrire l'inverse est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Et \(x\,\mathrm e^{x}\to0\) vaut en \(-\infty\) seulement : en \(+\infty\), \(x\,\mathrm e^{x}\to+\infty.\)
5Dérivée de \(\mathrm e^{u}\)
Si \(u\) est dérivable sur un intervalle \(I\), alors \(\mathrm e^{u}\) est dérivable sur \(I\) et
\[\big(\mathrm e^{u}\big)'=u'\,\mathrm e^{u}.\]
C'est le cas particulier de \((g\circ u)'=u'\times g'\circ u\) avec \(g=\exp\) (fiche 3D), puisque \(\exp'=\exp.\)
Exemples.
• \(f(x)=\mathrm e^{3x}\) : \(u(x)=3x\), \(u'(x)=3\), donc \(f'(x)=3\,\mathrm e^{3x}.\)
• \(f(x)=\mathrm e^{-2x+5}\) : \(u'(x)=-2\), donc \(f'(x)=-2\,\mathrm e^{-2x+5}.\)
• \(f(x)=\mathrm e^{-x^{2}}\) : \(u(x)=-x^{2}\), \(u'(x)=-2x\), donc \(f'(x)=-2x\,\mathrm e^{-x^{2}}.\)
• \(f(x)=\mathrm e^{x^{2}-4x+1}\) : \(u'(x)=2x-4\), donc \(f'(x)=(2x-4)\,\mathrm e^{x^{2}-4x+1}.\)
• \(f(x)=\mathrm e^{3x}\) : \(u(x)=3x\), \(u'(x)=3\), donc \(f'(x)=3\,\mathrm e^{3x}.\)
• \(f(x)=\mathrm e^{-2x+5}\) : \(u'(x)=-2\), donc \(f'(x)=-2\,\mathrm e^{-2x+5}.\)
• \(f(x)=\mathrm e^{-x^{2}}\) : \(u(x)=-x^{2}\), \(u'(x)=-2x\), donc \(f'(x)=-2x\,\mathrm e^{-x^{2}}.\)
• \(f(x)=\mathrm e^{x^{2}-4x+1}\) : \(u'(x)=2x-4\), donc \(f'(x)=(2x-4)\,\mathrm e^{x^{2}-4x+1}.\)
Avec un produit, on combine les deux formules. Pour \(f(x)=(ax+b)\,\mathrm e^{cx}\), on pose \(v(x)=ax+b\) et \(w(x)=\mathrm e^{cx}\) :
\[f'=v'w+vw'=a\,\mathrm e^{cx}+(ax+b)\,c\,\mathrm e^{cx}=\big(acx+a+bc\big)\,\mathrm e^{cx}.\]
On factorise toujours par \(\mathrm e^{cx}\) : c'est ce qui rend le signe de \(f'\) lisible.
Exemple : \(f(x)=(2x-3)\mathrm e^{x}\) donne \(f'(x)=2\mathrm e^{x}+(2x-3)\mathrm e^{x}=(2x-1)\mathrm e^{x}.\)
Exemple : \(f(x)=(x+4)\mathrm e^{-2x}\) donne \(f'(x)=\mathrm e^{-2x}-2(x+4)\mathrm e^{-2x}=(-2x-7)\mathrm e^{-2x}.\)
Exemple : \(f(x)=(2x-3)\mathrm e^{x}\) donne \(f'(x)=2\mathrm e^{x}+(2x-3)\mathrm e^{x}=(2x-1)\mathrm e^{x}.\)
Exemple : \(f(x)=(x+4)\mathrm e^{-2x}\) donne \(f'(x)=\mathrm e^{-2x}-2(x+4)\mathrm e^{-2x}=(-2x-7)\mathrm e^{-2x}.\)
Oublier \(u'\) est l'erreur n°1. La dérivée de \(\mathrm e^{3x}\) est \(3\mathrm e^{3x}\), pas \(\mathrm e^{3x}\) ; celle de \(\mathrm e^{-x}\) est \(-\mathrm e^{-x}\), pas \(\mathrm e^{-x}.\) Réflexe : « je descends la dérivée de l'exposant devant ».
6Conséquence décisive : le signe de \(f'\) est celui de \(u'\)
Puisque \(\mathrm e^{u(x)}>0\) pour tout \(x\), dans \(f'(x)=u'(x)\,\mathrm e^{u(x)}\) le facteur exponentiel ne change jamais le signe :
\[\operatorname{signe}\big(f'(x)\big)=\operatorname{signe}\big(u'(x)\big).\]
Plus généralement, dans un produit \(f'(x)=P(x)\,\mathrm e^{u(x)}\), le signe de \(f'\) est celui du facteur \(P(x)\) seul.
C'est le gain de temps du chapitre : une étude de signe avec exponentielle se ramène toujours à une étude de signe d'un polynôme, souvent du premier degré.
Exemple. \(f(x)=(2x-1)\mathrm e^{x}\) a pour dérivée \(f'(x)=(2x+1)\mathrm e^{x}.\) Comme \(\mathrm e^{x}>0\), \(f'(x)\) est du signe de \(2x+1\) : négatif pour \(x<-\frac12\), positif pour \(x>-\frac12.\) Donc \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;-\frac12\right]\) puis croissante sur \(\left[-\frac12\,;+\infty\right[\), et elle admet un minimum en \(x=-\frac12\), qui vaut \(f\!\left(-\frac12\right)=-2\,\mathrm e^{-0{,}5}\approx-1{,}21.\)
Rédaction type dans une copie. « Pour tout réel \(x\), \(\mathrm e^{x}>0\), donc \(f'(x)\) est du signe de \(2x+1.\) »
Une ligne, et le tableau de signes se remplit tout seul.
Une ligne, et le tableau de signes se remplit tout seul.
7Le plan d'étude complet d'une fonction
C'est le squelette de tout exercice d'analyse au bac. Sept étapes, toujours les mêmes.
- Ensemble de définition. Une exponentielle est définie partout : si \(f(x)=P(x)\mathrm e^{u(x)}\) avec \(P\) et \(u\) polynomiales, alors \(\mathcal D_f=\mathbb R.\) Attention si l'exponentielle est au dénominateur d'un quotient : elle ne s'annule pas, donc là encore pas de valeur interdite venant d'elle.
- Limites aux bornes. En \(\pm\infty\) : repérer la forme indéterminée, factoriser par l'exponentielle ou utiliser une croissance comparée.
- Asymptotes. Une limite finie \(\ell\) en \(\pm\infty\) donne l'asymptote horizontale \(y=\ell\) ; préciser de quel côté.
- Dérivée. Produit, quotient ou composée, puis factorisation par l'exponentielle.
- Signe de \(f'.\) On jette le facteur exponentiel (strictement positif) et on étudie le signe du polynôme restant.
- Tableau de variations. Les limites vont aux bornes ouvertes, les extremums aux zéros de \(f'.\) Calculer la valeur de l'extremum.
- Tracé. Asymptote(s) en pointillés, extremum placé, tangentes remarquables éventuelles.
Exemple complet : \(f(x)=(x-2)\mathrm e^{x}\) sur \(\mathbb R.\)
1. \(\mathcal D_f=\mathbb R.\)
2. En \(+\infty\) : \(x-2\to+\infty\) et \(\mathrm e^{x}\to+\infty\), donc par produit \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.\)
En \(-\infty\) : forme indéterminée \(0\times\infty.\) On développe : \(f(x)=x\,\mathrm e^{x}-2\,\mathrm e^{x}.\) Par croissance comparée \(x\mathrm e^{x}\to0\), et \(\mathrm e^{x}\to0\), donc \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=0.\)
3. La droite d'équation \(y=0\) est asymptote horizontale à \(\mathcal C_f\) en \(-\infty.\) Pas d'asymptote en \(+\infty.\)
4. \(f'(x)=1\times\mathrm e^{x}+(x-2)\mathrm e^{x}=(x-1)\mathrm e^{x}.\)
5. \(\mathrm e^{x}>0\), donc \(f'(x)\) est du signe de \(x-1\) : négatif sur \(\left]-\infty\,;1\right[\), nul en \(1\), positif sur \(\left]1\,;+\infty\right[.\)
6. \(f\) décroît sur \(\left]-\infty\,;1\right]\) puis croît sur \(\left[1\,;+\infty\right[\) ; elle admet un minimum en \(x=1\), égal à \(f(1)=-\mathrm e\approx-2{,}718.\)
7. On trace l'asymptote \(y=0\) en pointillés à gauche, on place le point \((1\,;-2{,}72)\), et on note que \(f(2)=0\) : la courbe coupe l'axe des abscisses en \(x=2.\)
1. \(\mathcal D_f=\mathbb R.\)
2. En \(+\infty\) : \(x-2\to+\infty\) et \(\mathrm e^{x}\to+\infty\), donc par produit \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.\)
En \(-\infty\) : forme indéterminée \(0\times\infty.\) On développe : \(f(x)=x\,\mathrm e^{x}-2\,\mathrm e^{x}.\) Par croissance comparée \(x\mathrm e^{x}\to0\), et \(\mathrm e^{x}\to0\), donc \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=0.\)
3. La droite d'équation \(y=0\) est asymptote horizontale à \(\mathcal C_f\) en \(-\infty.\) Pas d'asymptote en \(+\infty.\)
4. \(f'(x)=1\times\mathrm e^{x}+(x-2)\mathrm e^{x}=(x-1)\mathrm e^{x}.\)
5. \(\mathrm e^{x}>0\), donc \(f'(x)\) est du signe de \(x-1\) : négatif sur \(\left]-\infty\,;1\right[\), nul en \(1\), positif sur \(\left]1\,;+\infty\right[.\)
6. \(f\) décroît sur \(\left]-\infty\,;1\right]\) puis croît sur \(\left[1\,;+\infty\right[\) ; elle admet un minimum en \(x=1\), égal à \(f(1)=-\mathrm e\approx-2{,}718.\)
7. On trace l'asymptote \(y=0\) en pointillés à gauche, on place le point \((1\,;-2{,}72)\), et on note que \(f(2)=0\) : la courbe coupe l'axe des abscisses en \(x=2.\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(0\) | ↘ | \(-\mathrm e\) | ↗ | \(+\infty\) |
2. Méthode
Résoudre une équation ou une inéquation avec exponentielle
- Tout ramener à une comparaison de deux exponentielles. Utiliser \(1=\mathrm e^{0}\), \(\mathrm e^{x}\mathrm e^{y}=\mathrm e^{x+y}\), \(\frac{1}{\mathrm e^{x}}=\mathrm e^{-x}\), \(\big(\mathrm e^{x}\big)^{n}=\mathrm e^{nx}.\) But : obtenir \(\mathrm e^{A}=\mathrm e^{B}\) ou \(\mathrm e^{A}<\mathrm e^{B}.\)
- Justifier, puis enlever les exponentielles. Écrire : « la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb R\), donc \(\mathrm e^{A}=\mathrm e^{B}\iff A=B\) » (et l'inégalité garde son sens).
- Résoudre l'équation ou l'inéquation obtenue sur les exposants : premier degré, second degré, factorisation… C'est un exercice de Première.
- Conclure avec l'ensemble des solutions, écrit proprement : \(\mathcal S=\{4\}\), \(\mathcal S=\left]-\infty\,;2\right[\), \(\mathcal S=\{0\,;3\}\)…
Exemple A. \(\mathrm e^{2x}\times\mathrm e^{3}=\mathrm e^{x+7}.\)
\(\mathrm e^{2x}\mathrm e^{3}=\mathrm e^{2x+3}\), donc l'équation s'écrit \(\mathrm e^{2x+3}=\mathrm e^{x+7}.\) L'exponentielle étant strictement croissante, cela équivaut à \(2x+3=x+7\), c'est-à-dire \(x=4.\) \(\mathcal S=\{4\}.\)
Exemple B. \(\mathrm e^{x^{2}+2x}=1.\)
\(1=\mathrm e^{0}\), donc l'équation équivaut à \(x^{2}+2x=0\), soit \(x(x+2)=0\), soit \(x=0\) ou \(x=-2.\) \(\mathcal S=\{-2\,;0\}.\)
Exemple C. \(\mathrm e^{4-x}\leq\mathrm e^{2x+1}.\)
Équivaut à \(4-x\leq 2x+1\), soit \(3\leq 3x\), soit \(x\geq1.\) \(\mathcal S=\left[1\,;+\infty\right[.\)
Exemple D (produit nul). \((x^{2}-9)\,\mathrm e^{2x}=0.\) Comme \(\mathrm e^{2x}\neq0\), cela équivaut à \(x^{2}-9=0\), soit \(x=-3\) ou \(x=3.\)
\(\mathrm e^{2x}\mathrm e^{3}=\mathrm e^{2x+3}\), donc l'équation s'écrit \(\mathrm e^{2x+3}=\mathrm e^{x+7}.\) L'exponentielle étant strictement croissante, cela équivaut à \(2x+3=x+7\), c'est-à-dire \(x=4.\) \(\mathcal S=\{4\}.\)
Exemple B. \(\mathrm e^{x^{2}+2x}=1.\)
\(1=\mathrm e^{0}\), donc l'équation équivaut à \(x^{2}+2x=0\), soit \(x(x+2)=0\), soit \(x=0\) ou \(x=-2.\) \(\mathcal S=\{-2\,;0\}.\)
Exemple C. \(\mathrm e^{4-x}\leq\mathrm e^{2x+1}.\)
Équivaut à \(4-x\leq 2x+1\), soit \(3\leq 3x\), soit \(x\geq1.\) \(\mathcal S=\left[1\,;+\infty\right[.\)
Exemple D (produit nul). \((x^{2}-9)\,\mathrm e^{2x}=0.\) Comme \(\mathrm e^{2x}\neq0\), cela équivaut à \(x^{2}-9=0\), soit \(x=-3\) ou \(x=3.\)
Contrôle rapide. Une fois \(x\) trouvé, remplacer dans les deux exposants : ils doivent être égaux. Pour l'exemple A : \(2\times4+3=11\) et \(4+7=11.\) ✓
Lever une forme indéterminée contenant une exponentielle
0. Je remplace chaque morceau par sa limite. Si aucune F.I. n'apparaît, je conclus en citant l'opération (« par produit », « par somme », « par quotient »). Sinon :
F.I. \(\infty-\infty\) entre une exponentielle et un polynôme, en \(+\infty\) → factoriser par \(\mathrm e^{x}\), puis croissance comparée.
\(\mathrm e^{x}-5x^{2}=\mathrm e^{x}\left(1-5\,\frac{x^{2}}{\mathrm e^{x}}\right)\to+\infty.\)
\(\mathrm e^{x}-5x^{2}=\mathrm e^{x}\left(1-5\,\frac{x^{2}}{\mathrm e^{x}}\right)\to+\infty.\)
F.I. \(\frac{\infty}{\infty}\) avec l'exponentielle au dénominateur, en \(+\infty\) → séparer la fraction terme à terme, puis \(\frac{x^{n}}{\mathrm e^{x}}\to0.\)
\(\frac{3x^{2}-x}{\mathrm e^{x}}=3\frac{x^{2}}{\mathrm e^{x}}-\frac{x}{\mathrm e^{x}}\to0.\)
\(\frac{3x^{2}-x}{\mathrm e^{x}}=3\frac{x^{2}}{\mathrm e^{x}}-\frac{x}{\mathrm e^{x}}\to0.\)
F.I. \(0\times\infty\) en \(-\infty\) (un polynôme fois \(\mathrm e^{x}\)) → développer et utiliser \(x\,\mathrm e^{x}\to0\) et \(\mathrm e^{x}\to0.\)
\((3x+2)\mathrm e^{x}=3x\mathrm e^{x}+2\mathrm e^{x}\to0.\)
\((3x+2)\mathrm e^{x}=3x\mathrm e^{x}+2\mathrm e^{x}\to0.\)
Quotient de deux exponentielles, ou F.I. \(\frac{\infty}{\infty}\) entre exponentielles → factoriser par l'exponentielle dominante en haut et en bas.
\(\frac{\mathrm e^{x}+3}{2\mathrm e^{x}-1}=\frac{\mathrm e^{x}\left(1+\frac{3}{\mathrm e^{x}}\right)}{\mathrm e^{x}\left(2-\frac{1}{\mathrm e^{x}}\right)}=\frac{1+3\mathrm e^{-x}}{2-\mathrm e^{-x}}\to\frac12\) en \(+\infty.\)
\(\frac{\mathrm e^{x}+3}{2\mathrm e^{x}-1}=\frac{\mathrm e^{x}\left(1+\frac{3}{\mathrm e^{x}}\right)}{\mathrm e^{x}\left(2-\frac{1}{\mathrm e^{x}}\right)}=\frac{1+3\mathrm e^{-x}}{2-\mathrm e^{-x}}\to\frac12\) en \(+\infty.\)
Exposant autre que \(x\) (par exemple \(\mathrm e^{2x}\) ou \(\mathrm e^{-x}\)) → poser \(t=\) l'exposant et se ramener aux formules du cours.
\(\lim_{x\to+\infty}x^{2}\mathrm e^{-x}\) : pas besoin de poser quoi que ce soit, \(\mathrm e^{-x}=\frac{1}{\mathrm e^{x}}\) donne \(x^{2}\mathrm e^{-x}=\frac{x^{2}}{\mathrm e^{x}}\to0.\) Pour \(\lim_{x\to-\infty}x\,\mathrm e^{2x}\), on pose \(t=2x\) : alors \(x\,\mathrm e^{2x}=\frac12\,t\,\mathrm e^{t}\) et \(t\to-\infty\), donc la limite vaut \(0.\)
\(\lim_{x\to+\infty}x^{2}\mathrm e^{-x}\) : pas besoin de poser quoi que ce soit, \(\mathrm e^{-x}=\frac{1}{\mathrm e^{x}}\) donne \(x^{2}\mathrm e^{-x}=\frac{x^{2}}{\mathrm e^{x}}\to0.\) Pour \(\lim_{x\to-\infty}x\,\mathrm e^{2x}\), on pose \(t=2x\) : alors \(x\,\mathrm e^{2x}=\frac12\,t\,\mathrm e^{t}\) et \(t\to-\infty\), donc la limite vaut \(0.\)
Les deux gestes à retenir : factoriser par l'exponentielle (elle est le terme prépondérant en \(+\infty\)) et citer la croissance comparée avec son énoncé. Une limite juste sans le nom du théorème perd des points.
Étudier une fonction du type \(f(x)=(ax+b)\,\mathrm e^{cx}\) — les six étapes
- Ensemble de définition : \(\mathcal D_f=\mathbb R\) (produit d'un polynôme et d'une exponentielle, définies sur \(\mathbb R\)).
- Limite du côté où l'exponentielle explose (c'est-à-dire en \(+\infty\) si \(c>0\), en \(-\infty\) si \(c<0\)) : pas de forme indéterminée, on conclut par produit avec la règle des signes. Résultat : \(\pm\infty.\)
- Limite de l'autre côté (là où \(\mathrm e^{cx}\to0\)) : forme indéterminée \(0\times\infty.\) On développe \(f(x)=ax\,\mathrm e^{cx}+b\,\mathrm e^{cx}\) et on applique la croissance comparée. Résultat : \(0.\) On en déduit l'asymptote horizontale \(y=0\), de ce côté-là.
- Dérivée : produit, puis factorisation par \(\mathrm e^{cx}\) : \[f'(x)=a\,\mathrm e^{cx}+c(ax+b)\,\mathrm e^{cx}=\big(acx+a+bc\big)\,\mathrm e^{cx}.\]
- Signe : \(\mathrm e^{cx}>0\), donc \(f'(x)\) est du signe de \(acx+a+bc\), qui s'annule en \[x_{0}=-\frac{a+bc}{ac}.\] Si \(ac>0\), \(f'\) est négative puis positive : minimum. Si \(ac<0\), positive puis négative : maximum.
- Tableau de variations et valeur de l'extremum : on calcule \(f(x_{0}).\) Astuce de vérification : \(a x_{0}+b=-\frac{a}{c}\), donc \(f(x_{0})=-\frac{a}{c}\,\mathrm e^{c x_{0}}.\)
Exemple guidé : \(f(x)=(3x+6)\mathrm e^{-x}.\) Ici \(a=3\), \(b=6\), \(c=-1.\)
1. \(\mathcal D_f=\mathbb R.\)
2. \(c<0\) : c'est en \(-\infty\) que l'exponentielle explose. \(3x+6\to-\infty\) et \(\mathrm e^{-x}\to+\infty\), donc par produit \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.\)
3. En \(+\infty\) : \(f(x)=3x\,\mathrm e^{-x}+6\,\mathrm e^{-x}=3\frac{x}{\mathrm e^{x}}+\frac{6}{\mathrm e^{x}}.\) Par croissance comparée les deux termes tendent vers \(0\), donc \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\) : la droite \(y=0\) est asymptote horizontale à \(\mathcal C_f\) en \(+\infty.\)
4. \(f'(x)=3\mathrm e^{-x}-(3x+6)\mathrm e^{-x}=(-3x-3)\mathrm e^{-x}.\)
5. \(\mathrm e^{-x}>0\) donc \(f'(x)\) est du signe de \(-3x-3\), qui s'annule en \(x_{0}=-1\) : positif pour \(x<-1\), négatif pour \(x>-1.\) Donc \(f\) croît puis décroît : maximum en \(-1.\)
6. \(f(-1)=3\,\mathrm e^{1}=3\mathrm e\approx 8{,}15.\) (Contrôle : \(-\frac ac=-\frac{3}{-1}=3\) et \(\mathrm e^{cx_0}=\mathrm e^{1}\) ✓.)
1. \(\mathcal D_f=\mathbb R.\)
2. \(c<0\) : c'est en \(-\infty\) que l'exponentielle explose. \(3x+6\to-\infty\) et \(\mathrm e^{-x}\to+\infty\), donc par produit \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.\)
3. En \(+\infty\) : \(f(x)=3x\,\mathrm e^{-x}+6\,\mathrm e^{-x}=3\frac{x}{\mathrm e^{x}}+\frac{6}{\mathrm e^{x}}.\) Par croissance comparée les deux termes tendent vers \(0\), donc \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\) : la droite \(y=0\) est asymptote horizontale à \(\mathcal C_f\) en \(+\infty.\)
4. \(f'(x)=3\mathrm e^{-x}-(3x+6)\mathrm e^{-x}=(-3x-3)\mathrm e^{-x}.\)
5. \(\mathrm e^{-x}>0\) donc \(f'(x)\) est du signe de \(-3x-3\), qui s'annule en \(x_{0}=-1\) : positif pour \(x<-1\), négatif pour \(x>-1.\) Donc \(f\) croît puis décroît : maximum en \(-1.\)
6. \(f(-1)=3\,\mathrm e^{1}=3\mathrm e\approx 8{,}15.\) (Contrôle : \(-\frac ac=-\frac{3}{-1}=3\) et \(\mathrm e^{cx_0}=\mathrm e^{1}\) ✓.)
Cas voisins traités pareil. \(f(x)=(ax^{2}+bx+c)\mathrm e^{kx}\) : même plan, la dérivée reste un polynôme fois l'exponentielle, et le signe se fait avec le discriminant. \(f(x)=\frac{P(x)}{\mathrm e^{x}}\) : écrire \(P(x)\mathrm e^{-x}\) et se ramener au cas ci-dessus.
Déterminer une tangente, et la position de la courbe par rapport à elle
- Équation de la tangente en \(x_{0}\) : \(y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).\) Calculer d'abord \(f(x_{0})\) puis \(f'(x_{0})\), séparément, sans se presser.
- Position : on étudie le signe de la différence \(d(x)=f(x)-\big(f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})\big).\)
- Conclure : si \(d(x)>0\), \(\mathcal C_f\) est au-dessus de la tangente ; si \(d(x)<0\), elle est en dessous. Là où \(d(x)=0\), elles se touchent.
- Si le signe de \(d\) n'est pas évident, on étudie \(d\) comme une fonction : \(d'\), tableau de variations, et on montre par exemple que \(d\) admet un minimum égal à \(0.\)
Exemple. \(f(x)=\mathrm e^{x}\), tangente en \(x_{0}=0.\)
\(f(0)=1\) et \(f'(0)=\mathrm e^{0}=1\), donc la tangente \(T\) a pour équation \(y=1\times(x-0)+1\), soit \(y=x+1.\)
Position : \(d(x)=\mathrm e^{x}-x-1\), donc \(d'(x)=\mathrm e^{x}-1.\) Or \(\mathrm e^{x}-1>0\iff \mathrm e^{x}>\mathrm e^{0}\iff x>0.\) Donc \(d\) décroît sur \(\left]-\infty\,;0\right]\) et croît sur \(\left[0\,;+\infty\right[\) : \(d\) admet un minimum en \(0\), égal à \(d(0)=1-0-1=0.\)
Conclusion : \(d(x)\geq0\) pour tout \(x\), donc \(\mathcal C_f\) est toujours au-dessus de sa tangente en \(0\), qu'elle ne touche qu'en \(x=0.\) (C'est l'inégalité classique \(\mathrm e^{x}\geq x+1.\))
\(f(0)=1\) et \(f'(0)=\mathrm e^{0}=1\), donc la tangente \(T\) a pour équation \(y=1\times(x-0)+1\), soit \(y=x+1.\)
Position : \(d(x)=\mathrm e^{x}-x-1\), donc \(d'(x)=\mathrm e^{x}-1.\) Or \(\mathrm e^{x}-1>0\iff \mathrm e^{x}>\mathrm e^{0}\iff x>0.\) Donc \(d\) décroît sur \(\left]-\infty\,;0\right]\) et croît sur \(\left[0\,;+\infty\right[\) : \(d\) admet un minimum en \(0\), égal à \(d(0)=1-0-1=0.\)
Conclusion : \(d(x)\geq0\) pour tout \(x\), donc \(\mathcal C_f\) est toujours au-dessus de sa tangente en \(0\), qu'elle ne touche qu'en \(x=0.\) (C'est l'inégalité classique \(\mathrm e^{x}\geq x+1.\))
Lien avec la convexité (fiche 4E). \(f''(x)=\mathrm e^{x}>0\) : la fonction exponentielle est convexe sur \(\mathbb R\), et une fonction convexe est toujours au-dessus de chacune de ses tangentes. Cela redonne le résultat sans calcul de signe.
Erreurs fréquentes
Passer de \(\mathrm e^{A}=\mathrm e^{B}\) à \(A=B\) sans rien dire. Ce n'est pas une simplification automatique : c'est une conséquence de la stricte croissance (donc de l'injectivité) de l'exponentielle. Une copie qui ne l'écrit pas perd le point de justification. Formule à recopier : « la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb R\), donc… ».
Chercher des racines là où il n'y en a pas. \(\mathrm e^{u(x)}\) ne s'annule jamais. Dans \((x-4)\mathrm e^{2x}=0\), la seule solution est \(x=4.\) Et pour un tableau de signes, le facteur exponentiel n'apporte aucune colonne : il est positif partout.
Se tromper de croissance comparée. En \(+\infty\) : \(\frac{x^{n}}{\mathrm e^{x}}\to0\) et \(\frac{\mathrm e^{x}}{x^{n}}\to+\infty.\) Le petit contrôle mental : à \(x=10\), \(\mathrm e^{10}\approx22\,000\) alors que \(10^{3}=1\,000\) — l'exponentielle a déjà pris le dessus. Et \(x\,\mathrm e^{x}\to0\) vaut en \(-\infty\), jamais en \(+\infty.\)
Oublier le facteur \(u'.\) \(\big(\mathrm e^{-2x}\big)'=-2\mathrm e^{-2x}\), pas \(\mathrm e^{-2x}\) ni \(-2x\,\mathrm e^{-2x}.\) Conséquence sournoise : avec le mauvais \(u'\), le signe de la dérivée est faux, donc tout le tableau de variations l'est aussi.
Annoncer l'asymptote du mauvais côté. Pour \(x\mapsto\mathrm e^{x}\) et pour \((ax+b)\mathrm e^{x}\), l'asymptote \(y=0\) est en \(-\infty\) ; pour \(\mathrm e^{-x}\) et \((ax+b)\mathrm e^{-x}\), elle est en \(+\infty.\) Réflexe : l'asymptote est du côté où l'exponentielle s'écrase, c'est-à-dire là où son exposant tend vers \(-\infty.\)
Conclure « \(f\) est croissante » à partir du seul \(\mathrm e^{u}>0.\) \(\mathrm e^{u}>0\) donne le signe du facteur exponentiel, pas celui de \(f'.\) Il reste toujours à étudier le signe de \(u'\) ou du polynôme en facteur.
3. Visualisation
Règle \(a\), \(b\) et \(c\) : la courbe, la dérivée calculée symboliquement, l'extremum, l'asymptote et le tableau de variations se mettent à jour en temps réel. Change le signe de \(c\) et observe de quel côté part l'asymptote.
courbe de fasymptote y = 0extremum
Sur le même graphique : \(x^{n}\) et \(\mathrm e^{x}.\) Pour les petites valeurs de \(x\), la puissance peut être très au-dessus. Élargis la fenêtre : l'exponentielle finit toujours par passer devant, et le rapport \(\frac{\mathrm e^{x}}{x^{n}}\) explose.
x^neˣcroisement
Deux situations concrètes gouvernées par une exponentielle. Règle la constante de temps \(\tau\) et lis les repères directement sur la courbe.
grandeur étudiéevaleur limiterepère lu
4. Exercices
Trois exercices à valeurs aléatoires : le bouton « Nouvel exercice » change les nombres. Écris les décimaux avec une virgule ou un point, au choix.
Exercice 1 — Équations et inéquations Niveau 1
L'ensemble des solutions est de la forme
Réponse
Exercice 2 — Dérivée d'un produit avec exponentielle Niveau 2
\(\alpha=\)
\(\beta=\)
\(f'(x_0)\approx\)
Exercice 3 — Étude complète guidée Niveau 3
\(\lim_{x\to-\infty}f(x)\)
\(\lim_{x\to+\infty}f(x)\)
Abscisse \(x_0\) de l'extremum
C'est un
5. QCM
Quatre questions tirées au hasard dans une banque de 19. Une seule bonne réponse par question.