6A — La fonction exponentielle

1Une fonction égale à sa propre dérivée

On admet le résultat suivant.

Autrement dit : \(\exp'(x) = \exp(x)\) pour tout réel \(x,\) et \(\exp(0) = 1.\) L'existence et l'unicité sont admises en Première.

Conséquence à retenir : en un point de la courbe d'ordonnée \(3,\) la pente de la tangente vaut aussi \(3.\) Plus la courbe est haute, plus elle monte vite : c'est toute l'idée de la croissance exponentielle.

Transformer une expression avec les propriétés algébriques

1. Remplacer chaque \(\dfrac{1}{\mathrm{e}^{a}}\) par \(\mathrm{e}^{-a}.\)
2. Transformer chaque puissance : \(\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n} = \mathrm{e}^{na}.\)
3. Regrouper : un produit devient une somme d'exposants, un quotient une différence.
4. Réduire l'exposant final.

Exemple : \(A = \dfrac{\mathrm{e}^{5}\,\mathrm{e}^{-2}}{\left(\mathrm{e}^{3}\right)^{2}} = \mathrm{e}^{5 - 2 - 6} = \mathrm{e}^{-3}.\)

Résoudre \(\mathrm{e}^{f(x)} = \mathrm{e}^{g(x)}\) ou l'inéquation correspondante

1. Tout ramener à la forme \(\mathrm{e}^{A} = \mathrm{e}^{B}\) (ou \(\mathrm{e}^{A} \le \mathrm{e}^{B}\)) en utilisant les propriétés algébriques.
2. Invoquer la stricte croissance : \(\mathrm{e}^{A} = \mathrm{e}^{B} \iff A = B\) et \(\mathrm{e}^{A} \le \mathrm{e}^{B} \iff A \le B\) (le sens est conservé).
3. Résoudre l'équation ou l'inéquation obtenue, qui est ordinaire.
4. Si on divise par un nombre négatif, ne pas oublier de changer le sens de l'inégalité.

Exemple : \(\mathrm{e}^{2x+1} = \mathrm{e}^{5-x}\) équivaut à \(2x + 1 = 5 - x,\) puis à \(3x = 4,\) donc \(x = \dfrac{4}{3}.\)

Exemple : \(\mathrm{e}^{-2x+3} \leqslant \mathrm{e}^{x}\) équivaut à \(-2x + 3 \leqslant x,\) puis à \(3 \leqslant 3x,\) donc \(x \geqslant 1.\)

Dériver une expression contenant \(\mathrm{e}^{x}\)

1. Dérivées de base : \(\left(\mathrm{e}^{x}\right)' = \mathrm{e}^{x}\) et \(\left(\mathrm{e}^{ax+b}\right)' = a\,\mathrm{e}^{ax+b}\) — le facteur \(a\) sort devant.
2. Produit \(u v :\) \((uv)' = u'v + uv'.\) Avec \(v = \mathrm{e}^{x},\) on met toujours \(\mathrm{e}^{x}\) en facteur à la fin.
3. Quotient \(\dfrac{u}{v} :\) \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}.\)
4. Pour le signe de la dérivée : \(\mathrm{e}^{\text{quelque chose}} > 0\) toujours, donc seul l'autre facteur décide.

Exemple : pour \(f(x) = (2x - 3)\mathrm{e}^{x},\) on a \(f'(x) = 2\mathrm{e}^{x} + (2x-3)\mathrm{e}^{x},\) soit \(f'(x) = (2x - 1)\mathrm{e}^{x},\) du signe de \(2x - 1.\)

Exemple : pour \(g(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[,\) on a \(g'(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x}x - \mathrm{e}^{x}}{x^{2}},\) soit \(g'(x) = \dfrac{(x-1)\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}.\)

Modéliser une évolution par une exponentielle

1. Repérer la valeur initiale : \(f(0) = N_0.\) Le modèle est \(f(t) = N_0\,\mathrm{e}^{kt}.\)
2. Choisir le signe de \(k :\) \(k > 0\) si la grandeur augmente, \(k < 0\) si elle diminue.
3. Facteur sur un pas de temps : \(\mathrm{e}^{k}.\) Taux d'évolution : \(\left(\mathrm{e}^{k} - 1\right) \times 100\) en pourcentage.
4. Si l'énoncé donne le taux \(p\ \% :\) écrire \(\mathrm{e}^{k} = 1 + \dfrac{p}{100}\) et garder cette écriture, soit \(f(t) = N_0\left(1 + \tfrac{p}{100}\right)^{t}.\)
5. Si l'énoncé donne la demi-vie \(T :\) \(\mathrm{e}^{-kT} = 0{,}5,\) donc \(f(t) = N_0 \times 0{,}5^{\,t/T}.\)
6. Pour un seuil, faire un tableau de valeurs et repérer le premier entier qui convient.

Reconnaître une suite géométrique derrière une exponentielle

1. Écrire le terme sous la forme \(u_n = \mathrm{e}^{an + b}.\)
2. Séparer : \(u_n = \mathrm{e}^{b}\left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n}.\)
3. Conclure : suite géométrique de premier terme \(u_0 = \mathrm{e}^{b}\) et de raison \(q = \mathrm{e}^{a}.\)
4. Vérifier par le quotient : \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \mathrm{e}^{a},\) constant.

Exemple : \(u_n = 3\,\mathrm{e}^{0{,}2n}\) est géométrique de raison \(\mathrm{e}^{0{,}2} \approx 1{,}221\,4\) et de premier terme \(3.\) Comme \(q > 1,\) la suite est croissante : \(+22{,}14\ \%\) par pas.