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1. Cours
Tu as déjà étudié les limites de suites (fiche 3C) : la définition, les opérations, les formes indéterminées, les gendarmes. Tout cela se transpose aux fonctions, avec une nouveauté importante : pour une suite, \(n\) ne peut tendre que vers \(+\infty\) ; pour une fonction, \(x\) peut tendre vers \(+\infty\), vers \(-\infty\), mais aussi vers un nombre réel \(a\), et même vers \(a\) par la gauche ou par la droite. C'est là que se trouvent presque toutes les difficultés du chapitre.
1Limite finie en \(+\infty\) et en \(-\infty\) : asymptote horizontale
Définition. \(f\) a pour limite le réel \(\ell\) en \(+\infty\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient toutes les valeurs \(f(x)\) pour \(x\) assez grand.
Avec \(\varepsilon\) : pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un réel \(m\) tel que pour tout \(x\geq m\), \(|f(x)-\ell|\leq\varepsilon.\) On note \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell.\)
Avec \(\varepsilon\) : pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un réel \(m\) tel que pour tout \(x\geq m\), \(|f(x)-\ell|\leq\varepsilon.\) On note \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell.\)
Exemple. \(f(x)=2+\frac{3}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[.\) Prenons \(\varepsilon=0{,}01\) : \(|f(x)-2|=\frac{3}{x}\leq 0{,}01\) dès que \(x\geq 300.\) Quelle que soit la bande choisie autour de \(2\), la courbe finit par y entrer et n'en ressort plus : \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=2.\)
| \(x\) | \(10\) | \(100\) | \(1\,000\) | \(10^6\) |
|---|---|---|---|---|
| \(2+\frac3x\) | \(2{,}3\) | \(2{,}03\) | \(2{,}003\) | \(2{,}000003\) |
Interprétation graphique. Si \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\), la droite d'équation \(y=\ell\) est asymptote horizontale à la courbe \(\mathcal C_f\) en \(+\infty\) : la courbe s'en approche d'aussi près que l'on veut. Même définition en \(-\infty.\)
Exemple. \(f(x)=\frac{3x}{x+1}\) a pour limite \(3\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\) : la droite \(y=3\) est asymptote horizontale aux deux bouts. En \(x=-1000\) : \(f(x)=\frac{-3000}{-999}\approx 3{,}003.\)
Une courbe a parfaitement le droit de couper son asymptote horizontale. Pour \(f(x)=2+\frac{x-3}{x^2+1}\), on a \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=2\) et pourtant \(f(3)=2\) : la courbe traverse la droite \(y=2\) en \(x=3\), puis s'en rapproche. « Asymptote » veut dire « s'approche indéfiniment », pas « ne touche jamais ».
2Limite infinie en \(+\infty\) et en \(-\infty\)
Définition. \(f\) a pour limite \(+\infty\) en \(+\infty\) si tout intervalle \([A\,;+\infty[\) contient toutes les valeurs \(f(x)\) pour \(x\) assez grand : pour tout réel \(A\), il existe \(m\) tel que pour tout \(x\geq m\), \(f(x)\geq A.\)
Exemple. \(f(x)=x^2\) : pour \(A=10^6\), tout \(x\geq 1000\) convient. Pour \(A=10^{12}\), il faut \(x\geq 10^6.\) Le seuil grandit, mais il existe toujours : \(\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty.\)
On définit de la même façon \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\) (avec les intervalles \(]-\infty\,;A]\)) et les deux limites en \(-\infty.\)
Exemples numériques. \(\lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty\) (car \((-1000)^2=10^6\)) mais \(\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty\) (car \((-1000)^3=-10^9\)). Le signe dépend de la parité de l'exposant.
Une limite infinie ne donne aucune asymptote horizontale : la courbe s'échappe vers le haut ou vers le bas. Et une fonction peut très bien n'avoir aucune limite en \(+\infty\) : la fonction cosinus (étudiée plus tard dans l'année) oscille indéfiniment entre \(-1\) et \(1\) sans se stabiliser.
3Limite en un point : infinie (asymptote verticale) ou finie
Limite infinie en \(a.\) \(f\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(a\) si tout intervalle \([A\,;+\infty[\) contient toutes les valeurs \(f(x)\) pour \(x\) assez proche de \(a\). On note \(\lim_{x\to a}f(x)=+\infty.\)
Interprétation graphique. Si \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(a\) (d'un côté au moins), la droite d'équation \(x=a\) est asymptote verticale à \(\mathcal C_f.\) En général \(f\) n'est pas définie en \(a\) : c'est une valeur interdite.
L'exemple à connaître par cœur : la fonction inverse en \(0.\)
| \(x\) | \(-0{,}1\) | \(-0{,}01\) | \(-0{,}001\) | \(0{,}001\) | \(0{,}01\) | \(0{,}1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\frac1x\) | \(-10\) | \(-100\) | \(-1000\) | \(1000\) | \(100\) | \(10\) |
Limite à gauche et limite à droite.
\(\lim_{x\to 0^-}\frac1x=-\infty\) : on n'approche \(0\) que par des \(x<0\) (on écrit aussi \(\lim_{\substack{x\to 0 \\ x<0}}\)).
\(\lim_{x\to 0^+}\frac1x=+\infty\) : on n'approche \(0\) que par des \(x>0.\)
Les deux limites sont différentes : la fonction inverse n'a pas de limite en \(0\). La droite \(x=0\) (l'axe des ordonnées) est malgré tout asymptote verticale.
\(\lim_{x\to 0^-}\frac1x=-\infty\) : on n'approche \(0\) que par des \(x<0\) (on écrit aussi \(\lim_{\substack{x\to 0 \\ x<0}}\)).
\(\lim_{x\to 0^+}\frac1x=+\infty\) : on n'approche \(0\) que par des \(x>0.\)
Les deux limites sont différentes : la fonction inverse n'a pas de limite en \(0\). La droite \(x=0\) (l'axe des ordonnées) est malgré tout asymptote verticale.
Comparaison. Pour \(g(x)=\frac{1}{x^2}\), le dénominateur est toujours positif : \(\lim_{x\to 0^-}g(x)=\lim_{x\to 0^+}g(x)=+\infty\), donc cette fois \(\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty\) tout court. \(g(-0{,}01)=g(0{,}01)=10\,000.\)
Limite finie en un point. \(f\) a pour limite \(\ell\) en \(a\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient toutes les valeurs \(f(x)\) pour \(x\) assez proche de \(a.\)
En pratique, pour toutes les fonctions usuelles et tout \(a\) de leur ensemble de définition : \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) — on remplace \(x\) par \(a\). C'est la continuité, étudiée dans la fiche 5C.
En pratique, pour toutes les fonctions usuelles et tout \(a\) de leur ensemble de définition : \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) — on remplace \(x\) par \(a\). C'est la continuité, étudiée dans la fiche 5C.
Exemples. \(\lim_{x\to 3}(x^2+1)=3^2+1=10.\) \(\lim_{x\to 2}\frac{x+4}{x-5}=\frac{6}{-3}=-2.\)
Le cas intéressant est celui où \(f\) n'est pas définie en \(a.\) Pour \(f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}\), on ne peut pas remplacer \(x\) par \(3\) (c'est la forme indéterminée \(\frac00\)). Mais pour \(x\neq3\) : \(\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), donc \(\lim_{x\to3}f(x)=6.\) La limite est finie alors que la fonction n'existe pas en \(3\) : il n'y a pas d'asymptote verticale ici.
4Limites des fonctions de référence
Ce tableau est la base de tous les calculs. Il n'y a rien à démontrer, mais tout à savoir.
| \(f(x)\) | en \(-\infty\) | en \(0^-\) | en \(0^+\) | en \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x^n\), \(n\) pair | \(+\infty\) | \(0\) | \(0\) | \(+\infty\) |
| \(x^n\), \(n\) impair | \(-\infty\) | \(0\) | \(0\) | \(+\infty\) |
| \(\frac{1}{x^n}\), \(n\) pair | \(0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(0\) |
| \(\frac{1}{x^n}\), \(n\) impair | \(0\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(0\) |
| \(\sqrt{x}\) | — | — | \(0\) | \(+\infty\) |
| \(\frac{1}{\sqrt x}\) | — | — | \(+\infty\) | \(0\) |
| \(\mathrm{e}^{x}\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) | \(+\infty\) |
À retenir sur l'exponentielle. \(\lim_{x\to-\infty}\mathrm e^{x}=0\) : la droite \(y=0\) (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe de l'exponentielle en \(-\infty.\) Et \(\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^{x}=+\infty\), très vite : \(\mathrm e^{10}\approx 22\,026\), \(\mathrm e^{20}\approx 4{,}85\times 10^{8}\), alors que \(\mathrm e^{-10}\approx 0{,}0000454.\)
Attention aux quatre colonnes de \(\frac{1}{x^n}\) : en \(0^-\), \(\frac{1}{x^2}\to+\infty\) (le carré est positif) mais \(\frac1x\to-\infty\) et \(\frac{1}{x^3}\to-\infty.\) Toujours regarder le signe du dénominateur.
5Opérations sur les limites admises
Les trois tableaux ci-dessous valent en \(+\infty\), en \(-\infty\) et en un point \(a\) : le raisonnement est toujours le même. \(\ell\) et \(\ell'\) désignent des réels.
Somme \(f+g\)
| \(\lim f\) \ \(\lim g\) | \(\ell'\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell+\ell'\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | F.I. |
| \(-\infty\) | \(-\infty\) | F.I. | \(-\infty\) |
Produit \(f\times g\)
| \(\lim f\) \ \(\lim g\) | \(\ell'\neq0\) | \(0\) | \(\pm\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(\ell\neq0\) | \(\ell\ell'\) | \(0\) | \(\pm\infty\) (règle des signes) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | F.I. |
| \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) (règle des signes) | F.I. | \(\pm\infty\) (règle des signes) |
Quotient \(\frac{f}{g}\)
| \(\lim f\) \ \(\lim g\) | \(\ell'\neq0\) | \(0\) | \(\pm\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(\ell\neq 0\) | \(\frac{\ell}{\ell'}\) | \(\pm\infty\) (signe de \(\ell\) et de \(g\)) | \(0\) |
| \(0\) | \(0\) | F.I. | \(0\) |
| \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) (règle des signes) | \(\pm\infty\) (règle des signes) | F.I. |
Les quatre formes indéterminées : \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}.\)
« Indéterminée » ne veut pas dire « il n'y a pas de limite » : cela veut dire on ne peut pas conclure tant qu'on n'a pas transformé l'écriture. Écrire \(\lim f=\infty-\infty=0\) est une faute grave : \(\infty\) n'est pas un nombre.
« Indéterminée » ne veut pas dire « il n'y a pas de limite » : cela veut dire on ne peut pas conclure tant qu'on n'a pas transformé l'écriture. Écrire \(\lim f=\infty-\infty=0\) est une faute grave : \(\infty\) n'est pas un nombre.
Exemple sans forme indéterminée. \(\lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac1x\right)\mathrm e^{x}\) : le premier facteur tend vers \(2\), le second vers \(+\infty\), donc par produit la limite est \(+\infty.\)
Exemple d'un cas \(\frac{\ell}{0}\) (qui n'est PAS une F.I.). \(\lim_{x\to 5^+}\frac{1}{x-5}\) : le numérateur vaut \(1\), le dénominateur tend vers \(0\) en restant positif, donc la limite est \(+\infty.\) À gauche, le dénominateur est négatif : la limite est \(-\infty.\)
Exemple d'un cas \(\frac{\ell}{0}\) (qui n'est PAS une F.I.). \(\lim_{x\to 5^+}\frac{1}{x-5}\) : le numérateur vaut \(1\), le dénominateur tend vers \(0\) en restant positif, donc la limite est \(+\infty.\) À gauche, le dénominateur est négatif : la limite est \(-\infty.\)
6Lever une forme indéterminée : factoriser le terme prépondérant
Dans une somme, quand \(x\) devient très grand, un terme écrase tous les autres : c'est le terme prépondérant (celui de plus haut degré pour un polynôme). On le met en facteur, ce qui fait apparaître des quotients qui tendent vers \(0.\)
Exemple 1 (somme, F.I. \(\infty-\infty\)). \(\lim_{x\to+\infty}\left(x^3-4x^2+7\right).\)
\(x^3\to+\infty\) et \(-4x^2\to-\infty\) : forme indéterminée. On factorise par \(x^3\) : \[x^3-4x^2+7=x^3\left(1-\frac{4}{x}+\frac{7}{x^3}\right).\] Or \(\frac4x\to0\) et \(\frac{7}{x^3}\to0\), donc la parenthèse tend vers \(1\), et \(x^3\to+\infty\) : par produit, la limite est \(+\infty.\)
Contrôle numérique : en \(x=100\), \(x^3-4x^2+7=1\,000\,000-40\,000+7=960\,007\), soit \(96\,\%\) de \(x^3.\)
\(x^3\to+\infty\) et \(-4x^2\to-\infty\) : forme indéterminée. On factorise par \(x^3\) : \[x^3-4x^2+7=x^3\left(1-\frac{4}{x}+\frac{7}{x^3}\right).\] Or \(\frac4x\to0\) et \(\frac{7}{x^3}\to0\), donc la parenthèse tend vers \(1\), et \(x^3\to+\infty\) : par produit, la limite est \(+\infty.\)
Contrôle numérique : en \(x=100\), \(x^3-4x^2+7=1\,000\,000-40\,000+7=960\,007\), soit \(96\,\%\) de \(x^3.\)
Exemple 2 (quotient de polynômes, F.I. \(\frac{\infty}{\infty}\)) — traité en entier.
Soit \(f(x)=\frac{3x^2-5x+2}{x^2+4x-1}.\) Cherchons \(\lim_{x\to+\infty}f(x).\)
Étape 1. \(3x^2-5x+2\to+\infty\) et \(x^2+4x-1\to+\infty\) : c'est la forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}.\)
Étape 2. On factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré, ici \(x^2\) dans les deux cas : \[f(x)=\frac{x^2\left(3-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{4}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}.\] Étape 3. Pour \(x\neq0\) on simplifie par \(x^2\) : \[f(x)=\frac{3-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{4}{x}-\frac{1}{x^2}}.\] Étape 4. \(\frac5x\to0\), \(\frac{2}{x^2}\to0\), \(\frac4x\to0\), \(\frac{1}{x^2}\to0.\) Le numérateur tend vers \(3\), le dénominateur vers \(1\) (non nul), donc par quotient : \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{3}{1}=3.\] Étape 5 (lecture graphique). La droite d'équation \(y=3\) est asymptote horizontale à \(\mathcal C_f\) en \(+\infty.\)
Contrôle numérique : \(f(1000)=\frac{2\,995\,002}{1\,003\,999}\approx 2{,}983.\)
Soit \(f(x)=\frac{3x^2-5x+2}{x^2+4x-1}.\) Cherchons \(\lim_{x\to+\infty}f(x).\)
Étape 1. \(3x^2-5x+2\to+\infty\) et \(x^2+4x-1\to+\infty\) : c'est la forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}.\)
Étape 2. On factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré, ici \(x^2\) dans les deux cas : \[f(x)=\frac{x^2\left(3-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{4}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}.\] Étape 3. Pour \(x\neq0\) on simplifie par \(x^2\) : \[f(x)=\frac{3-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{4}{x}-\frac{1}{x^2}}.\] Étape 4. \(\frac5x\to0\), \(\frac{2}{x^2}\to0\), \(\frac4x\to0\), \(\frac{1}{x^2}\to0.\) Le numérateur tend vers \(3\), le dénominateur vers \(1\) (non nul), donc par quotient : \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{3}{1}=3.\] Étape 5 (lecture graphique). La droite d'équation \(y=3\) est asymptote horizontale à \(\mathcal C_f\) en \(+\infty.\)
Contrôle numérique : \(f(1000)=\frac{2\,995\,002}{1\,003\,999}\approx 2{,}983.\)
Règle pratique (à justifier par la factorisation dans une copie). En \(\pm\infty\), un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré, et un quotient de polynômes la même limite que le quotient des termes de plus haut degré : \(\frac{3x^2}{x^2}=3.\) Ce raccourci ne vaut qu'en \(\pm\infty\), jamais en un point.
Autres techniques de levée.
• Racines carrées, F.I. \(\infty-\infty\) : multiplier par la quantité conjuguée. \(\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to0\) en \(+\infty.\)
• F.I. \(\frac00\) en un point \(a\) : factoriser par \((x-a)\) en haut et en bas, puis simplifier (exemple du point 3).
• Exponentielle contre puissance : croissances comparées, point 7.
• Racines carrées, F.I. \(\infty-\infty\) : multiplier par la quantité conjuguée. \(\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to0\) en \(+\infty.\)
• F.I. \(\frac00\) en un point \(a\) : factoriser par \((x-a)\) en haut et en bas, puis simplifier (exemple du point 3).
• Exponentielle contre puissance : croissances comparées, point 7.
7Limites et comparaison ; croissances comparées
Théorème de comparaison. Si \(f(x)\geq g(x)\) pour \(x\) assez grand et si \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\), alors \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.\)
De même, si \(f(x)\leq g(x)\) pour \(x\) assez grand et \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\), alors \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.\)
De même, si \(f(x)\leq g(x)\) pour \(x\) assez grand et \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\), alors \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.\)
Théorème des gendarmes (fonctions). Si \(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\) pour \(x\) assez grand et si \(g\) et \(h\) ont la même limite finie \(\ell\) en \(+\infty\), alors \(f\) admet une limite en \(+\infty\) et \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell.\)
Les mêmes énoncés valent en \(-\infty\) et en un point \(a\) (avec « pour \(x\) assez proche de \(a\) »).
Les mêmes énoncés valent en \(-\infty\) et en un point \(a\) (avec « pour \(x\) assez proche de \(a\) »).
Exemple (gendarmes). On sait que pour tout \(x\geq 1\), \(3-\frac{2}{x}\leq f(x)\leq 3+\frac{1}{x^2}.\) Comme \(\lim_{x\to+\infty}\left(3-\frac2x\right)=3\) et \(\lim_{x\to+\infty}\left(3+\frac{1}{x^2}\right)=3\), le théorème des gendarmes donne \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=3.\) La droite \(y=3\) est asymptote horizontale.
Exemple (comparaison). Si \(f(x)\geq x-100\) pour tout \(x\geq0\), alors comme \(x-100\to+\infty\), on a \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.\)
Exemple (comparaison). Si \(f(x)\geq x-100\) pour tout \(x\geq0\), alors comme \(x-100\to+\infty\), on a \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.\)
Les deux gendarmes doivent avoir la même limite, et elle doit être finie. Avec \(-1\leq f(x)\leq 1\) on ne conclut rien du tout. Et une seule inégalité ne suffit jamais pour une limite finie : \(f(x)\leq 3\) ne donne pas \(\lim f=3.\)
Croissances comparées. En \(+\infty\), l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de \(x\) : pour tout entier \(n\geq1\),
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^{x}}{x^{n}}=+\infty\]
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{n}}{\mathrm e^{x}}=0.\]
Conséquence utile en \(-\infty\) : \(\lim_{x\to-\infty}x\,\mathrm e^{x}=0\) (poser \(t=-x\) : \(x\mathrm e^{x}=-\frac{t}{\mathrm e^{t}}\to0\)).
| \(x\) | \(5\) | \(10\) | \(20\) | \(30\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x^3\) | \(125\) | \(1\,000\) | \(8\,000\) | \(27\,000\) |
| \(\mathrm e^{x}\) | \(148\) | \(22\,026\) | \(4{,}85\times10^{8}\) | \(1{,}07\times10^{13}\) |
| \(\frac{\mathrm e^{x}}{x^3}\) | \(1{,}2\) | \(22\) | \(60\,600\) | \(4\times10^{8}\) |
Seule la ligne \(x^3\) est exacte : les deux dernières sont arrondies (\(\mathrm e^{5}\approx148{,}4\), \(\frac{\mathrm e^{5}}{125}\approx1{,}19\)).
Démonstration : \(\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^{x}}{x^{n}}=+\infty\)démonstration exigible
Étape 1 : pour tout \(x\geq 0\), \(\mathrm e^{x}>x.\) Posons \(u(x)=\mathrm e^{x}-x\) sur \([0\,;+\infty[.\) Alors \(u'(x)=\mathrm e^{x}-1\geq0\) pour \(x\geq0\), donc \(u\) est croissante sur \([0\,;+\infty[.\) Comme \(u(0)=1\), on a \(u(x)\geq 1>0\), c'est-à-dire \(\mathrm e^{x}>x.\)
Étape 2 : le cas \(n=1.\) Pour \(x>0\), appliquons l'étape 1 à \(\frac x2\) : \(\mathrm e^{x/2}>\frac x2.\) Les deux membres sont positifs, on peut élever au carré : \[\mathrm e^{x}=\left(\mathrm e^{x/2}\right)^{2}>\frac{x^{2}}{4},\quad\text{donc}\quad \frac{\mathrm e^{x}}{x}>\frac{x}{4}.\] Or \(\frac x4\to+\infty\), donc par comparaison \(\frac{\mathrm e^{x}}{x}\to+\infty.\)
Étape 3 : le cas général. Pour \(x>0\), on écrit \[\frac{\mathrm e^{x}}{x^{n}}=\left(\frac{\mathrm e^{x/n}}{x}\right)^{n}=\left(\frac1n\cdot\frac{\mathrm e^{t}}{t}\right)^{n}\ \text{ avec } t=\frac xn.\] Quand \(x\to+\infty\), \(t\to+\infty\), donc \(\frac{\mathrm e^{t}}{t}\to+\infty\) d'après l'étape 2, donc \(\frac1n\cdot\frac{\mathrm e^{t}}{t}\to+\infty\), et sa puissance \(n\)-ième aussi : \(\frac{\mathrm e^{x}}{x^{n}}\to+\infty.\) ∎
Conséquence : \(\frac{x^{n}}{\mathrm e^{x}}\) est l'inverse d'une quantité qui tend vers \(+\infty\), donc \(\frac{x^{n}}{\mathrm e^{x}}\to0.\)
Étape 1 : pour tout \(x\geq 0\), \(\mathrm e^{x}>x.\) Posons \(u(x)=\mathrm e^{x}-x\) sur \([0\,;+\infty[.\) Alors \(u'(x)=\mathrm e^{x}-1\geq0\) pour \(x\geq0\), donc \(u\) est croissante sur \([0\,;+\infty[.\) Comme \(u(0)=1\), on a \(u(x)\geq 1>0\), c'est-à-dire \(\mathrm e^{x}>x.\)
Étape 2 : le cas \(n=1.\) Pour \(x>0\), appliquons l'étape 1 à \(\frac x2\) : \(\mathrm e^{x/2}>\frac x2.\) Les deux membres sont positifs, on peut élever au carré : \[\mathrm e^{x}=\left(\mathrm e^{x/2}\right)^{2}>\frac{x^{2}}{4},\quad\text{donc}\quad \frac{\mathrm e^{x}}{x}>\frac{x}{4}.\] Or \(\frac x4\to+\infty\), donc par comparaison \(\frac{\mathrm e^{x}}{x}\to+\infty.\)
Étape 3 : le cas général. Pour \(x>0\), on écrit \[\frac{\mathrm e^{x}}{x^{n}}=\left(\frac{\mathrm e^{x/n}}{x}\right)^{n}=\left(\frac1n\cdot\frac{\mathrm e^{t}}{t}\right)^{n}\ \text{ avec } t=\frac xn.\] Quand \(x\to+\infty\), \(t\to+\infty\), donc \(\frac{\mathrm e^{t}}{t}\to+\infty\) d'après l'étape 2, donc \(\frac1n\cdot\frac{\mathrm e^{t}}{t}\to+\infty\), et sa puissance \(n\)-ième aussi : \(\frac{\mathrm e^{x}}{x^{n}}\to+\infty.\) ∎
Conséquence : \(\frac{x^{n}}{\mathrm e^{x}}\) est l'inverse d'une quantité qui tend vers \(+\infty\), donc \(\frac{x^{n}}{\mathrm e^{x}}\to0.\)
La croissance comparée ne vaut qu'en \(+\infty\), et dans ce sens-là. « \(\mathrm e^{x}\) l'emporte » ne veut pas dire « \(\mathrm e^{x}\geq x^{n}\) pour tout \(x\) » : pour \(n=5\), on a \(x^{5}>\mathrm e^{x}\) seulement entre \(x\approx 1{,}3\) et \(x\approx 12{,}7\) (avant \(1{,}3\), c'est déjà l'exponentielle qui est au-dessus, puisque \(\mathrm e^{0}=1>0=0^{5}\)). Le théorème décrit le comportement au bout, quand \(x\) devient très grand, pas ce qui se passe pour les petites valeurs.
2. Méthode
Déterminer une limite — arbre de décision
0. Où tend \(x\) ? Vers \(+\infty\), vers \(-\infty\), ou vers un réel \(a\) (et dans ce cas : à gauche, à droite, ou les deux ?).
1. J'applique les limites usuelles et les opérations. Je remplace chaque morceau par sa limite (tableau du point 4), puis j'utilise les tableaux somme / produit / quotient.
Pas de forme indéterminée → je conclus en citant l'opération : « par somme », « par produit », « par quotient ».
2. J'obtiens une F.I. (\(\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac00\)) → je choisis une technique.
Polynôme ou quotient de polynômes, en \(\pm\infty\) → factoriser le terme prépondérant (plus haut degré) en haut et en bas, simplifier, conclure.
\(\frac{4x^2+x}{2x^2-3}=\frac{4+\frac1x}{2-\frac{3}{x^2}}\to 2.\)
\(\frac{4x^2+x}{2x^2-3}=\frac{4+\frac1x}{2-\frac{3}{x^2}}\to 2.\)
Mélange d'exponentielle et de puissances, en \(+\infty\) → croissance comparée : factoriser par \(\mathrm e^{x}\) et utiliser \(\frac{x^{n}}{\mathrm e^{x}}\to0.\)
\(\mathrm e^{x}-x^{4}=\mathrm e^{x}\left(1-\frac{x^4}{\mathrm e^{x}}\right)\to+\infty.\)
\(\mathrm e^{x}-x^{4}=\mathrm e^{x}\left(1-\frac{x^4}{\mathrm e^{x}}\right)\to+\infty.\)
Racine carrée dans une différence → quantité conjuguée.
F.I. \(\frac00\) en un point \(a\) → factoriser par \((x-a)\) en haut et en bas, simplifier, puis remplacer.
Un morceau encadré (borné) → encadrer puis appliquer les gendarmes ou la comparaison.
3. Quotient dont le dénominateur tend vers \(0\) avec un numérateur non nul → ce n'est pas une F.I. : j'étudie le signe du dénominateur de part et d'autre de \(a\) et je conclus \(\pm\infty\) côté par côté.
Toujours écrire le théorème utilisé : « par quotient de limites », « d'après le théorème des gendarmes », « par croissance comparée ». C'est ce qui rapporte les points.
Lire et justifier une asymptote — dans les deux sens
Sens 1 : de la limite vers l'asymptote (on a calculé, on conclut sur le graphique).
- \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) (ou en \(-\infty\)) \(\Rightarrow\) la droite d'équation \(y=\ell\) est asymptote horizontale à \(\mathcal C_f\) en \(+\infty.\)
- \(\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty\) ou \(\lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty\) \(\Rightarrow\) la droite d'équation \(x=a\) est asymptote verticale à \(\mathcal C_f.\) Un seul côté suffit.
Rédaction type. « Comme \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=3\), la droite d'équation \(y=3\) est asymptote horizontale à \(\mathcal C_f\) en \(+\infty.\) Comme \(\lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty\), la droite d'équation \(x=2\) est asymptote verticale à \(\mathcal C_f.\) »
Sens 2 : de l'asymptote vers la limite (on lit un graphique, on écrit la limite).
- La courbe se rapproche d'une droite horizontale \(y=k\) quand \(x\) part vers la droite \(\Rightarrow\) \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=k.\)
- La courbe « longe » une droite verticale \(x=a\) \(\Rightarrow\) il faut préciser de quel côté et vers le haut ou vers le bas : par exemple \(\lim_{x\to a^-}f(x)=-\infty\) et \(\lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty.\)
- Sur un tableau de variations, les limites sont écrites aux bornes ouvertes : ce sont elles qui donnent les asymptotes.
Ne jamais confondre : \(y=\ell\) est horizontale (elle vient d'une limite en \(\pm\infty\)) ; \(x=a\) est verticale (elle vient d'une limite infinie en un point). Et une courbe peut couper une asymptote horizontale, jamais une asymptote verticale (elle n'est pas définie en \(a\)).
Traiter une limite en un point où le dénominateur s'annule
- Limite du numérateur en \(a.\) Si elle est non nulle, ce n'est pas une forme indéterminée : passer à l'étape 2. Si elle est nulle, c'est la F.I. \(\frac00\) : factoriser par \((x-a)\) et simplifier.
- Signe du dénominateur de part et d'autre de \(a\) : faire un petit tableau de signes, ou tester une valeur juste à gauche et une juste à droite.
- Conclure côté par côté avec la règle des signes : un nombre non nul divisé par un nombre qui tend vers \(0\) donne \(\pm\infty.\)
- Nommer l'asymptote : la droite \(x=a\) est asymptote verticale.
Exemple complet. \(f(x)=\frac{2x+1}{x-3}\) en \(3.\)
1. \(\lim_{x\to3}(2x+1)=7\neq0\) : pas de F.I.
2. \(x-3<0\) pour \(x<3\) et \(x-3>0\) pour \(x>3\), et \(x-3\to0.\)
3. \(\lim_{x\to3^-}f(x)=-\infty\) (positif divisé par « \(0\) négatif ») et \(\lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty.\)
4. La droite \(x=3\) est asymptote verticale à \(\mathcal C_f.\)
Contrôle : \(f(2{,}99)=\frac{6{,}98}{-0{,}01}=-698\) et \(f(3{,}01)=\frac{7{,}02}{0{,}01}=702.\)
1. \(\lim_{x\to3}(2x+1)=7\neq0\) : pas de F.I.
2. \(x-3<0\) pour \(x<3\) et \(x-3>0\) pour \(x>3\), et \(x-3\to0.\)
3. \(\lim_{x\to3^-}f(x)=-\infty\) (positif divisé par « \(0\) négatif ») et \(\lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty.\)
4. La droite \(x=3\) est asymptote verticale à \(\mathcal C_f.\)
Contrôle : \(f(2{,}99)=\frac{6{,}98}{-0{,}01}=-698\) et \(f(3{,}01)=\frac{7{,}02}{0{,}01}=702.\)
Si le dénominateur est un carré, par exemple \(\frac{2x+1}{(x-3)^2}\), il est positif des deux côtés : les deux limites sont égales à \(+\infty\), et on peut écrire \(\lim_{x\to3}f(x)=+\infty\) sans distinguer les côtés.
Utiliser le théorème des gendarmes pour une fonction
- Partir d'un encadrement : soit donné par l'énoncé (« on admet que pour tout \(x\geq1\)… »), soit venant d'un terme borné.
- Transformer l'encadrement jusqu'à faire apparaître \(f(x)\) au milieu. Attention au sens : multiplier ou diviser par un nombre négatif renverse les inégalités ; diviser par \(x\) n'est légitime qu'en précisant \(x>0.\)
- Calculer les limites des deux membres et vérifier qu'elles sont égales et finies.
- Conclure en citant le théorème : « d'après le théorème des gendarmes, \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) ».
Exemple. On admet que pour tout \(x\geq1\), \(|f(x)-4|\leq\frac3x.\)
\(|f(x)-4|\leq\frac3x\) équivaut à \(-\frac3x\leq f(x)-4\leq\frac3x\), donc \(4-\frac3x\leq f(x)\leq 4+\frac3x.\)
\(\lim_{x\to+\infty}\left(4-\frac3x\right)=4\) et \(\lim_{x\to+\infty}\left(4+\frac3x\right)=4\) : d'après le théorème des gendarmes, \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=4.\)
\(|f(x)-4|\leq\frac3x\) équivaut à \(-\frac3x\leq f(x)-4\leq\frac3x\), donc \(4-\frac3x\leq f(x)\leq 4+\frac3x.\)
\(\lim_{x\to+\infty}\left(4-\frac3x\right)=4\) et \(\lim_{x\to+\infty}\left(4+\frac3x\right)=4\) : d'après le théorème des gendarmes, \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=4.\)
Si l'encadrement n'est que d'un côté et que la borne tend vers \(\pm\infty\), ce n'est plus les gendarmes mais le théorème de comparaison — il ne demande qu'une seule inégalité.
Erreurs fréquentes
Écrire un résultat pour une forme indéterminée. « \(\lim(x^2-x)=\infty-\infty=0\) » vaut \(0\) point : ici la limite est \(+\infty.\) Dès qu'on reconnaît une F.I., on écrit « forme indéterminée » et on transforme l'expression.
Oublier de distinguer la limite à gauche et la limite à droite. Pour \(\frac1x\) en \(0\), répondre « \(+\infty\) » est faux : c'est \(-\infty\) à gauche et \(+\infty\) à droite, donc pas de limite en \(0.\) Réflexe : dès que le dénominateur s'annule, étudier son signe des deux côtés.
Confondre asymptote horizontale et asymptote verticale. \(y=\ell\) vient d'une limite finie en \(\pm\infty\) ; \(x=a\) vient d'une limite infinie en \(a.\) Écrire « la droite \(x=3\) est asymptote horizontale » est une faute classique.
Croire qu'une courbe ne peut pas couper son asymptote. Rien ne l'interdit : \(f(x)=2+\frac{x-3}{x^2+1}\) coupe la droite \(y=2\) en \(x=3\) tout en ayant \(y=2\) pour asymptote en \(+\infty.\)
Appliquer une croissance comparée dans le mauvais sens. En \(+\infty\), c'est l'exponentielle qui gagne : \(\frac{x^{5}}{\mathrm e^{x}}\to0\) et \(\frac{\mathrm e^{x}}{x^{5}}\to+\infty.\) Écrire « \(\frac{x^5}{\mathrm e^x}\to+\infty\) car \(x^5\) est un polynôme de haut degré » est faux, même si \(x^5>\mathrm e^{x}\) pour les petites valeurs de \(x.\)
Utiliser la « règle du plus haut degré » en un point. \(\frac{x^2-9}{x-3}\) en \(3\) ne vaut pas \(\frac{x^2}{x}\) : ce raccourci n'est valable qu'en \(\pm\infty.\) En un point, on factorise par \((x-a).\)
3. Visualisation
Choisis une fonction qui admet une limite finie \(\ell\) en \(+\infty\), puis règle la demi-largeur \(\varepsilon\) de la bande \([\ell-\varepsilon\,;\ell+\varepsilon].\) La figure indique à partir de quelle valeur de \(x\) la courbe reste dans la bande : c'est exactement la définition de la limite.
courbe de fbande autour de ℓseuil x₀
Ici la valeur interdite est \(x=a.\) Fais glisser \(a\), puis rapproche le point mobile de \(a\) : les valeurs de \(f\) explosent. Compare bien le côté gauche et le côté droit.
courbe de fasymptote x = apoints mobiles
Les courbes de \(x^{n}\) et de \(\mathrm e^{x}\) sur \([0\,;x_{\max}].\) Au début, \(x^{n}\) peut être bien au-dessus ; augmente le zoom et regarde le rapport \(\frac{\mathrm e^{x}}{x^{n}}\) s'envoler.
y = xⁿy = eˣpoint de croisement
4. Exercices
Exercice 1 — Quotient de polynômes en \(+\infty\) Niveau 1
La limite est
ℓ =
Exercice 2 — Limite en un point où le dénominateur s'annule Niveau 2
Limite à gauche
Limite à droite
Exercice 3 — Croissance comparée et terme prépondérant Niveau 3
La limite est
ℓ =
5. QCM
Quatre questions tirées au hasard dans une banque de 17. Une seule bonne réponse par question.