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Cours
Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) est un nombre réel, noté \(\vec u\cdot\vec v\). Il y a trois façons de le calculer : elles donnent toujours le même résultat.
1Définition par projection orthogonale
On place \(\vec u=\vec{OA}\) et \(\vec v=\vec{OB}\). Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\).
\[\vec u\cdot\vec v = OA\times OH \text{ si } \vec{OH} \text{ et } \vec{OA} \text{ sont de même sens},\qquad \vec u\cdot\vec v = -\,OA\times OH \text{ sinon.}\]
Exemple. Si \(OA = 4\), \(OH = 3\) et que \(H\) est du côté de \(A\) : \(\vec u\cdot\vec v = 4\times 3 = 12\). Si \(H\) est de l'autre côté de \(O\) : \(\vec u\cdot\vec v = -12\). Si \(H = O\) (angle droit) : \(\vec u\cdot\vec v = 0\).
2Définition avec le cosinus
Pour deux vecteurs non nuls, avec \((\vec u,\vec v)\) l'angle entre eux :
\[\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\vec u,\vec v)\]
Exemple. \(\|\vec u\| = 3\), \(\|\vec v\| = 2\), angle de \(60^\circ\) : \(\vec u\cdot\vec v = 3\times 2\times\cos 60^\circ = 6\times\tfrac12 = 3\).
Avec un angle de \(120^\circ\) : \(\vec u\cdot\vec v = 6\times\left(-\tfrac12\right) = -3\).
Avec un angle de \(120^\circ\) : \(\vec u\cdot\vec v = 6\times\left(-\tfrac12\right) = -3\).
Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut \(0\).
3Expression dans une base orthonormée
Si \(\vec u\,(x\,;\,y)\) et \(\vec v\,(x'\,;\,y')\) dans un repère orthonormé :
\[\vec u\cdot\vec v = xx' + yy'\]
Exemple. \(\vec u\,(2\,;\,3)\) et \(\vec v\,(4\,;\,-1)\) : \(\vec u\cdot\vec v = 2\times 4 + 3\times(-1) = 8 - 3 = 5\).
\(\vec u\,(-1\,;\,5)\) et \(\vec v\,(3\,;\,2)\) : \(\vec u\cdot\vec v = -3 + 10 = 7\).
\(\vec u\,(-1\,;\,5)\) et \(\vec v\,(3\,;\,2)\) : \(\vec u\cdot\vec v = -3 + 10 = 7\).
La formule \(xx'+yy'\) n'est valable que si le repère est orthonormé (axes perpendiculaires, même unité). C'est le cas dans presque tous les exercices, mais il faut le vérifier dans l'énoncé.
4Norme et carré scalaire
\[\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2 = x^2 + y^2 \qquad\text{donc}\qquad \|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2}\]
Exemple. \(\vec u\,(3\,;\,4)\) : \(\|\vec u\|^2 = 9 + 16 = 25\), donc \(\|\vec u\| = 5\).
\(\vec v\,(1\,;\,-2)\) : \(\|\vec v\| = \sqrt{1+4} = \sqrt5 \approx 2{,}24\). On garde \(\sqrt5\) en valeur exacte.
\(\vec v\,(1\,;\,-2)\) : \(\|\vec v\| = \sqrt{1+4} = \sqrt5 \approx 2{,}24\). On garde \(\sqrt5\) en valeur exacte.
Pour un segment : \(AB = \|\vec{AB}\|\). C'est la formule de la distance vue en Seconde.
5Symétrie et bilinéarité
\[\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u \qquad \vec u\cdot(\vec v+\vec w) = \vec u\cdot\vec v + \vec u\cdot\vec w \qquad (k\vec u)\cdot\vec v = k\,(\vec u\cdot\vec v)\]
On peut donc « développer » comme avec des nombres, en gardant les points \(\cdot\).
Exemple. Si \(\vec u\cdot\vec v = 5\), alors \((2\vec u)\cdot(3\vec v) = 2\times 3\times 5 = 30\) et \(\vec u\cdot(-\vec v) = -5\).
Si \(\vec u\cdot\vec v = 5\) et \(\vec u\cdot\vec w = -2\), alors \(\vec u\cdot(\vec v + \vec w) = 5 + (-2) = 3\).
Si \(\vec u\cdot\vec v = 5\) et \(\vec u\cdot\vec w = -2\), alors \(\vec u\cdot(\vec v + \vec w) = 5 + (-2) = 3\).
6Caractérisation de l'orthogonalité
\[\vec u \perp \vec v \iff \vec u\cdot\vec v = 0 \qquad\text{(en coordonnées : } xx'+yy' = 0\text{)}\]
Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.
Exemple. \(\vec u\,(2\,;\,3)\) et \(\vec v\,(-3\,;\,2)\) : \(\vec u\cdot\vec v = -6 + 6 = 0\), donc \(\vec u\perp\vec v\).
Astuce : \((x\,;\,y)\) est toujours orthogonal à \((-y\,;\,x)\).
Astuce : \((x\,;\,y)\) est toujours orthogonal à \((-y\,;\,x)\).
7Le signe renseigne sur l'angle
Comme \(\|\vec u\|\) et \(\|\vec v\|\) sont positives, le signe de \(\vec u\cdot\vec v\) est celui de \(\cos(\vec u,\vec v)\) :
\(\vec u\cdot\vec v > 0\) : angle aigu (moins de \(90^\circ\)). \(\vec u\cdot\vec v = 0\) : angle droit. \(\vec u\cdot\vec v < 0\) : angle obtus (plus de \(90^\circ\)).
Exemple. \(\vec u\,(1\,;\,2)\), \(\vec v\,(-4\,;\,1)\) : \(\vec u\cdot\vec v = -4 + 2 = -2 < 0\), l'angle \((\vec u,\vec v)\) est obtus. Et pour \(\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\) (cosinus égal à 1), les vecteurs sont colinéaires de même sens.
Méthode
Choisir la bonne formule selon les données
- On connaît les coordonnées (repère orthonormé) → \(\vec u\cdot\vec v = xx'+yy'\). C'est le cas le plus fréquent.
- On connaît les normes et l'angle → \(\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)\). Penser aux valeurs : \(\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}\), \(\cos 45^\circ = \tfrac{\sqrt2}{2}\), \(\cos 60^\circ = \tfrac12\), \(\cos 90^\circ = 0\), \(\cos 120^\circ = -\tfrac12\).
- Figure avec un angle droit (carré, rectangle, triangle rectangle, hauteur) → projection orthogonale : on remplace un vecteur par son projeté sur l'autre, puis \(\pm OA\times OH\).
Exemple (projection). Dans un carré \(ABCD\) de côté \(4\) : \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\). Le projeté de \(C\) sur \((AB)\) est \(B\), donc \(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \vec{AB}\cdot\vec{AB} = AB^2 = 16\). Pas besoin de l'angle de \(45^\circ\) !
Démontrer une orthogonalité
- Écrire les coordonnées des deux vecteurs (\(\vec{AB} = (x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\)).
- Calculer \(xx' + yy'\).
- Conclure : si le résultat est \(0\), les vecteurs sont orthogonaux (les droites sont perpendiculaires) ; sinon, ils ne le sont pas.
Exemple. \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,3)\), \(C(0\,;\,5)\). \(\vec{AB}\,(3\,;\,1)\), \(\vec{AC}\,(-1\,;\,3)\), \(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = -3 + 3 = 0\) : le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
Calculer un angle
- Calculer \(\vec u\cdot\vec v\) avec les coordonnées.
- Calculer \(\|\vec u\|\) et \(\|\vec v\|\) (garder les racines carrées exactes).
- En déduire \(\cos(\vec u,\vec v) = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\).
- Utiliser la calculatrice (\(\arccos\) ou \(\cos^{-1}\), en mode degrés) et arrondir comme demandé.
Exemple. \(\vec u\,(3\,;\,1)\), \(\vec v\,(1\,;\,2)\) : \(\vec u\cdot\vec v = 5\), \(\|\vec u\| = \sqrt{10}\), \(\|\vec v\| = \sqrt5\), \(\cos(\vec u,\vec v) = \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{\sqrt2}{2}\), donc l'angle vaut \(45^\circ\).
Erreurs fréquentes
Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur. Écrire \(\vec u\cdot\vec v = (8\,;\,-3)\) est faux : il faut additionner, \(8 + (-3) = 5\).
Ne pas confondre \(\vec u\cdot\vec v\) et \(\|\vec u\|\times\|\vec v\|\). Le produit des normes n'est égal au produit scalaire que si l'angle est nul (\(\cos = 1\)). En général \(\vec u\cdot\vec v \le \|\vec u\|\,\|\vec v\|\).
Angle obtus → cosinus négatif. Si \(\vec u\cdot\vec v < 0\), le cosinus est négatif et l'angle dépasse \(90^\circ\). Un résultat négatif n'est pas une erreur de calcul !
Oublier la racine carrée : \(\|\vec u\|^2 = x^2+y^2\), mais \(\|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2}\).
Visualisation
Déplace les pointes des vecteurs (au doigt ou à la souris) ou utilise les curseurs. Le projeté orthogonal \(H\) de la pointe de \(\vec v\) sur la droite de \(\vec u\) est tracé en pointillés : la zone est verte si \(\vec u\cdot\vec v > 0\), corail si \(\vec u\cdot\vec v < 0\).
u · v
—
angle (u, v)
—
‖u‖
—
‖v‖
—
Les trois formules donnent le même nombre
Coordonnées
Normes et cosinus
Projection
Exercices
Trois exercices de difficulté croissante. Les nombres changent à chaque « Nouvel exercice ». Tu peux écrire les décimaux avec une virgule ou un point.
Exercice 1 Niveau 1 · application directe
Exercice 2 Niveau 2 · orthogonalité avec paramètre
Exercice 3 Niveau 3 · calcul d'un angle
°
QCM
Quatre questions tirées au hasard. Réponds à chacune ; le score s'affiche à la fin.