Cours · De l’aire au calcul exact
1. Une aire sous une courbe positive
Soit f continue et positive ou nulle sur [a,b], avec a < b. L’intégrale de f entre a et b est l’aire, en unités d’aire, entre la courbe, l’axe horizontal et les droites x = a et x = b :
\[I=\int_a^b f(x)\,dx.\]La lettre x est une variable muette : on peut écrire t à sa place. Exemple : l’intégrale de la constante 3 sur [1,5] vaut 3 × 4 = 12, aire d’un rectangle.
Les aires du collège servent de point de départ. Le calcul intégral est une notion de Terminale ; le chapitre 12 fournit les primitives nécessaires.
2. Une aire qui varie devient une primitive
Théorème : si f est continue positive sur [a,b], la fonction A définie par l’aire accumulée de a à x est la primitive de f qui s’annule en a :
\[A(x)=\int_a^x f(t)\,dt.\]\[A'(x)=f(x),\]\[ A(a)=0.\]Aux extrémités, la dérivée se comprend du côté de l’intervalle. L’unicité vient du chapitre 12 : deux primitives diffèrent d’une constante.
Démonstration exigible · cas où f est croissante
Supposons f continue, positive et croissante. Pour x intérieur à [a,b], notons Δₕ = A(x+h) − A(x). Pour h > 0 assez petit, cette aire ajoutée est comprise entre deux rectangles :
\[hf(x)\leq \Delta_h.\]\[\Delta_h\leq hf(x+h).\]En divisant par h > 0 :
\[f(x)\leq\frac{\Delta_h}h\leq f(x+h).\]Pour h < 0, on considère l’aire retirée entre x+h et x. La division par le nombre négatif inverse les inégalités et donne :
\[f(x+h)\leq\frac{\Delta_h}h\leq f(x).\]Par continuité, les deux bornes tendent vers f(x). Les gendarmes donnent A′(x) = f(x), par la droite et par la gauche. A(a) = 0 car l’aire est nulle. Le cas continu positif non monotone est admis ici.
3. Calculer grâce au chapitre 12
Si F est une primitive de f sur un intervalle contenant a et b :
\[\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).\]On note aussi cette différence \([F(x)]_a^b.\) La constante de la primitive disparaît à la soustraction. Exemple :
\[\int_1^3 2x\,dx=[x^2]_1^3=9-1=8.\]Démonstration exigible · formule aux bornes
Dans le cadre positif précédent, A et F sont deux primitives de f, donc F − A est constante. Ainsi F(b) − F(a) = A(b) − A(a). Comme A(a) = 0 et A(b) est l’intégrale de a à b, on obtient la formule. Le raisonnement reste valable dans le cas positif général dès lors que le théorème de la primitive est admis.
Vérifier une primitive en la dérivant avant de remplacer les bornes : chercher une primitive n’est pas simplement recopier f.
4. Signe quelconque et orientation
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives. Pour une fonction de signe quelconque, on définit son intégrale par F(b) − F(a), avec F une primitive. Cette définition ne dépend pas du choix de F.
\[\int_a^a f(x)\,dx=0.\]\[\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx.\]Pour a < b, les régions au-dessus de l’axe contribuent positivement, celles en dessous négativement. Une intégrale signée n’est donc pas toujours une aire géométrique.
Exemple : l’intégrale de x sur [−1,1] vaut 0, mais l’aire géométrique vaut 1, somme de deux triangles d’aire 1/2.
5. Additionner, comparer et encadrer
Pour f et g continues sur un même intervalle et λ réel, la linéarité donne :
\[\int_a^b(\lambda f+g)=\lambda\int_a^b f+\int_a^b g.\]La relation de Chasles vaut pour a, b, c dans cet intervalle, quel que soit leur ordre :
\[\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f.\]En revanche, pour intégrer une inégalité dans le même sens, il faut a < b. Si f ≤ g sur [a,b], alors l’intégrale de f est inférieure ou égale à celle de g. En particulier, si m ≤ f(x) ≤ M :
\[m(b-a)\leq\int_a^b f(x)\,dx.\]\[\int_a^b f(x)\,dx\leq M(b-a).\]Exemple : si 2 ≤ f ≤ 5 sur [1,4], son intégrale est comprise entre 6 et 15. Ne pas oublier de multiplier par la longueur 3.
6. Aire entre deux courbes
Pour a < b, si f et g sont continues et f ≥ g sur [a,b], l’aire entre leurs courbes vaut :
\[\mathcal A=\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx.\]Si les courbes se croisent, chercher les intersections puis découper l’intervalle. Sur chaque morceau, intégrer « courbe du haut moins courbe du bas ». Autrement dit, l’aire est l’intégrale de |f − g|.
Exemple : entre y = x et y = 0 sur [−1,1], on calcule séparément l’intégrale de −x sur [−1,0] et celle de x sur [0,1]. Prendre seulement la valeur absolue de l’intégrale totale donnerait 0 : ce serait faux.
7. Une valeur moyenne avec la bonne unité
Pour f continue sur [a,b], avec a < b, la valeur moyenne est :
\[\mu=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.\]Le rectangle de largeur b−a et de hauteur μ a la même aire signée que l’intégrale. Si m ≤ f ≤ M, alors m ≤ μ ≤ M.
Si q(t) est un débit en litres par minute, son intégrale sur un intervalle de temps est un volume en litres ; ce volume divisé par la durée est un débit moyen en L/min. Pour q(t) = 2t + 3 sur [0,4], le volume vaut 28 L et le débit moyen 7 L/min.
Une moyenne sur un intervalle de longueur nulle n’est pas définie par cette formule. Ce n’est pas non plus, en général, la moyenne des seules valeurs aux deux extrémités.
Méthode · Choisir la bonne quantité
- Identifier ce qui est demandé : intégrale signée, aire géométrique, volume ou moyenne.
- Vérifier la continuité et le domaine. Une expression avec 1/x ne s’intègre pas sur un intervalle qui traverse 0 dans le cadre de cette fiche.
- Si une aire est demandée, étudier les signes ou la position relative des courbes et découper si nécessaire.
- Trouver une primitive, la contrôler par dérivation, puis calculer F(b) − F(a) dans cet ordre.
- Pour une moyenne, diviser par b−a. Vérifier le signe, un encadrement simple et l’unité.
Repères utiles : une primitive de eˣ est eˣ ; sur ]0,+∞[, une primitive de 1/x est ln x. Ainsi l’intégrale de eˣ sur [0,1] vaut e−1 et celle de 1/x sur [1,2] vaut ln 2. Les primitives se révisent dans la fiche 12A.
Visualisation · Intégrale et aire ne sont pas synonymes
On étudie f(x) = p x² + c. Bleu : aire au-dessus de l’axe ; corail : aire en dessous. La droite verte représente la moyenne lorsque a ≠ b. Les grandeurs affichées sont approchées.
L’aire géométrique concerne l’intervalle entre les deux bornes, même lorsqu’elles sont inversées. Inverser a et b change le signe de l’intégrale, pas l’aire. Pour a = b, intégrale et aire valent 0, mais la moyenne n’est pas définie.
Exercices
Les trois exercices demandent une valeur exacte : écris-la en fraction (par exemple 28/3) ou en décimal si elle tombe juste (par exemple 3,5). Une valeur arrondie n’est pas acceptée.
Exercice 1 · Calculer avec une primitive Niveau 1
Exercice 2 · Une aire entre deux courbes Niveau 2
Exercice 3 · Un débit moyen Niveau 3
QCM
Quatre questions tirées dans une banque de douze. Une seule réponse correcte par question.