Cours
1La dérivée seconde \(f''\)
Si \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\) et que sa dérivée \(f'\) est elle-même dérivable, on appelle dérivée seconde de \(f\) la dérivée de \(f'.\) On la note \(f''\) (ou \(f^{(2)}\)). On dit alors que \(f\) est deux fois dérivable sur \(I.\)
On dérive donc deux fois de suite, avec les mêmes formules qu'en Première.
Exemple. \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2.\)
\(f'(x) = 3x^2 - 6x,\) puis on dérive encore : \(f''(x) = 6x - 6.\)
Donc \(f''(0) = -6,\) \(f''(1) = 0\) et \(f''(3) = 12.\)
Autre exemple : \(g(x) = x^4 - 2x\) donne \(g'(x) = 4x^3 - 2\) puis \(g''(x) = 12x^2.\) Et \(h(x)=\dfrac{1}{x}\) sur \(]0;+\infty[\) donne \(h'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\) puis \(h''(x)=\dfrac{2}{x^3}.\)
2Définition : convexe, c'est « sous ses sécantes »
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I,\) de courbe \(\mathcal{C}_f.\) Une sécante est une droite qui coupe la courbe en deux points \(A\) et \(B.\)
\(f\) est convexe sur \(I\) lorsque, pour tous points \(A\) et \(B\) de \(\mathcal{C}_f,\) la courbe reste sous le segment \([AB]\) entre \(A\) et \(B\) (le segment est au-dessus de la courbe).
\(f\) est concave sur \(I\) lorsque la courbe reste au-dessus de toutes ses sécantes.
Moyen mnémotechnique : une fonction convexe a une courbe en forme de cuvette \((\cup),\) une fonction concave a une courbe en forme de colline \((\cap).\)
Exemples. \(x \mapsto x^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) ; \(x\mapsto \sqrt{x}\) est concave sur \([0;+\infty[\) ; une fonction affine \(x\mapsto ax+b\) est à la fois convexe et concave (sa courbe est confondue avec ses sécantes).
Vérification numérique sur \(f(x)=x^2\) avec \(A(0;0)\) et \(B(4;16)\) : la sécante \((AB)\) a pour équation \(y = 4x.\) Au milieu, en \(x = 2,\) la sécante vaut \(8\) alors que \(f(2) = 4.\) On a bien \(4 \leqslant 8\) : la courbe est sous la sécante.
3Les trois caractérisations équivalentes (admises)
Soit \(f\) deux fois dérivable sur un intervalle \(I.\) Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
- \(f\) est convexe sur \(I\) ;
- la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de toutes ses tangentes sur \(I\) ;
- \(f'\) est croissante sur \(I,\) ce qui équivaut à : \(f''(x) \geqslant 0\) pour tout \(x\) de \(I.\)
Ces équivalences sont admises au programme de Terminale (sauf le sens « \(f''\geqslant 0\) donc au-dessus des tangentes », démontré au point 6).
De même, \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si \(\mathcal{C}_f\) est sous toutes ses tangentes, si et seulement si \(f'\) est décroissante, si et seulement si \(f''(x) \leqslant 0\) sur \(I.\)
En pratique, c'est le signe de \(f''\) qui décide de tout.
Exemple. \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) donne \(f''(x) = 6x - 6.\) Or \(6x-6 \geqslant 0 \iff x \geqslant 1.\) Donc \(f\) est concave sur \(]-\infty;1]\) et convexe sur \([1;+\infty[.\)
4Le tableau à connaître par cœur
| Sur \(I\) | \(f\) convexe | \(f\) concave |
|---|---|---|
| Signe de \(f''\) | \(f'' \geqslant 0\) | \(f'' \leqslant 0\) |
| Sens de variation de \(f'\) | \(f'\) croissante | \(f'\) décroissante |
| Par rapport aux tangentes | courbe au-dessus | courbe en dessous |
| Par rapport aux sécantes | courbe en dessous | courbe au-dessus |
| Allure | cuvette \(\cup\) | colline \(\cap\) |
Attention : convexité et variations sont deux choses indépendantes. \(f(x)=x^2\) est convexe et décroissante sur \(]-\infty;0],\) convexe et croissante sur \([0;+\infty[.\) Le signe de \(f'\) donne les variations, le signe de \(f''\) donne la convexité.
5Point d'inflexion
Un point d'inflexion de \(\mathcal{C}_f\) est un point en lequel la courbe change de convexité : elle passe de convexe à concave, ou de concave à convexe. En ce point, la courbe traverse sa tangente.
Pour \(f\) deux fois dérivable : \(\mathcal{C}_f\) admet un point d'inflexion d'abscisse \(a\) si et seulement si \(f''\) s'annule en changeant de signe en \(a.\)
Exemple. \(f(x)=x^3\) : \(f''(x) = 6x,\) négative avant \(0\) et positive après. \(f''\) change bien de signe en \(0\) : le point \(O(0;0)\) est un point d'inflexion. La courbe y traverse sa tangente (l'axe des abscisses).
Erreur classique : \(f''(a)=0\) ne suffit pas ! Prenons \(f(x) = x^4.\) Alors \(f''(x) = 12x^2,\) donc \(f''(0)=0.\) Mais \(12x^2 \geqslant 0\) partout : \(f''\) ne change pas de signe, \(f\) reste convexe sur \(\mathbb{R}\) et l'origine n'est pas un point d'inflexion. Il faut toujours vérifier le changement de signe.
6Démonstration exigible à savoir refaire
Propriété. Si \(f\) est deux fois dérivable sur \(I\) et si \(f''(x) \geqslant 0\) pour tout \(x\) de \(I,\) alors \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de chacune de ses tangentes.
Démonstration. Soit \(a \in I.\) La tangente en \(a\) a pour équation \(y = f'(a)(x-a) + f(a).\)
- On pose, pour \(x \in I,\) \(g(x) = f(x) - \big(f'(a)(x-a) + f(a)\big)\) : c'est l'écart entre la courbe et sa tangente.
- \(g\) est dérivable sur \(I\) et \(g'(x) = f'(x) - f'(a)\) (le terme \(f'(a)\) est une constante, \(f(a)\) aussi).
- Comme \(f'' \geqslant 0\) sur \(I,\) la fonction \(f'\) est croissante sur \(I.\) Donc :
- si \(x \leqslant a\) alors \(f'(x) \leqslant f'(a),\) donc \(g'(x) \leqslant 0\) ;
- si \(x \geqslant a\) alors \(f'(x) \geqslant f'(a),\) donc \(g'(x) \geqslant 0.\)
- Ainsi \(g\) est décroissante avant \(a\) et croissante après : \(g\) admet un minimum en \(a\).
- Or \(g(a) = f(a) - \big(f'(a)\times 0 + f(a)\big) = 0.\)
- Donc \(g(x) \geqslant 0\) pour tout \(x \in I,\) c'est-à-dire \(f(x) \geqslant f'(a)(x-a)+f(a)\) : la courbe est au-dessus de sa tangente en \(a.\) \(\blacksquare\)
La même démonstration avec \(f'' \leqslant 0\) donne \(g \leqslant 0\) : la courbe d'une fonction concave est sous ses tangentes.
7Démontrer une inégalité avec la convexité
C'est l'application reine du point 6 : si \(f\) est convexe, alors pour tout \(x,\) \(f(x) \geqslant f'(a)(x-a)+f(a).\) Il suffit de choisir un \(a\) qui rend la tangente simple.
Montrons que \(e^x \geqslant 1 + x\) pour tout réel \(x.\)
- Soit \(f(x)=e^x.\) On a \(f'(x)=e^x\) puis \(f''(x)=e^x.\)
- Or \(e^x > 0\) pour tout \(x,\) donc \(f'' > 0\) : \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}.\)
- La courbe est donc au-dessus de sa tangente en \(0,\) d'équation \(y = f'(0)(x-0)+f(0) = 1\times x + 1 = x+1.\)
- Conclusion : \(e^x \geqslant x+1\) pour tout \(x \in \mathbb{R}.\)
Contrôle numérique : pour \(x=1,\) \(e \approx 2{,}718 \geqslant 2\) ; pour \(x=-0{,}5,\) \(e^{-0{,}5}\approx 0{,}607 \geqslant 0{,}5.\) L'égalité n'a lieu qu'en \(x=0.\)
Le même raisonnement avec une fonction concave. Pour \(f(x)=\ln x\) sur \(]0;+\infty[\) : \(f'(x)=\dfrac{1}{x}\) et \(f''(x)=-\dfrac{1}{x^2} < 0,\) donc \(\ln\) est concave et sa courbe est sous ses tangentes. La tangente en \(1\) a pour équation \(y = 1\times(x-1)+0 = x-1,\) d'où \(\ln x \leqslant x-1\) pour tout \(x > 0.\)
Remarque. La fonction logarithme népérien est étudiée plus tard dans l'année : garde cet exemple de côté, il tombe souvent au bac une fois le chapitre sur \(\ln\) terminé.
Méthode
Méthode 1 — Étudier la convexité d'une fonction
- Calculer \(f'(x)\) avec les formules de dérivation habituelles.
- Calculer \(f''(x)\) en dérivant \(f'\) (c'est souvent beaucoup plus simple que \(f'\)).
- Étudier le signe de \(f''(x)\) : signe d'une expression affine, d'un trinôme (discriminant), d'un produit ou d'un quotient. Faire un tableau de signes.
- Conclure : \(f\) est convexe là où \(f'' \geqslant 0,\) concave là où \(f'' \leqslant 0.\) Les abscisses où \(f''\) change de signe donnent les points d'inflexion ; calculer alors \(f(a)\) pour donner les coordonnées du point.
Exemple rédigé. \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x + 1\) sur \(\mathbb{R}.\)
1) \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 5.\) 2) \(f''(x) = 6x - 12.\)
3) \(6x - 12 \geqslant 0 \iff x \geqslant 2.\) Donc \(f'' < 0\) sur \(]-\infty;2[\) et \(f'' > 0\) sur \(]2;+\infty[.\)
4) \(f\) est concave sur \(]-\infty;2]\) et convexe sur \([2;+\infty[.\) Comme \(f''\) change de signe en \(2,\) la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse \(2,\) et \(f(2) = 8-24+10+1 = -5\) : le point d'inflexion est \(I(2;-5).\)
Pour un polynôme de degré 3 \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) (avec \(a \neq 0\)), on a toujours \(f''(x) = 6ax + 2b,\) qui s'annule en changeant de signe en \(x = -\dfrac{b}{3a}\) : il y a toujours exactement un point d'inflexion.
Méthode 2 — Lire la convexité sur un graphique
Tout dépend de quelle courbe on te donne. C'est la question la plus piégeuse du chapitre : lis toujours la légende avant de répondre.
| On te donne… | \(f\) est convexe quand… | \(f\) est concave quand… | Point d'inflexion en \(a\) quand… |
|---|---|---|---|
| la courbe de \(f\) | la courbe est en cuvette \(\cup,\) au-dessus de ses tangentes | la courbe est en colline \(\cap,\) sous ses tangentes | la courbure change de sens et la courbe traverse sa tangente |
| la courbe de \(f'\) | \(f'\) est croissante (elle monte) | \(f'\) est décroissante (elle descend) | \(f'\) admet un extremum (maximum ou minimum) en \(a\) |
| la courbe de \(f''\) | \(f''\) est au-dessus de l'axe des abscisses | \(f''\) est en dessous de l'axe | \(f''\) traverse l'axe des abscisses en \(a\) |
Sur la courbe de \(f',\) ce qui compte pour la convexité est le sens de variation de \(f',\) pas son signe. Une \(f'\) qui est négative mais croissante correspond à une fonction \(f\) décroissante et convexe.
Méthode 3 — Esquisser l'allure de \(\mathcal{C}_f\) à partir d'un tableau
On combine deux informations : le signe de \(f'\) donne le sens (ça monte ou ça descend), le signe de \(f''\) donne la courbure (cuvette ou colline). Il y a donc quatre allures possibles :
| \(f'' \geqslant 0\) (convexe) | \(f'' \leqslant 0\) (concave) | |
|---|---|---|
| \(f' \geqslant 0\) (croissante) | monte de plus en plus vite (départ plat, envol) | monte de moins en moins vite (s'aplatit, plafonne) |
| \(f' \leqslant 0\) (décroissante) | descend de moins en moins vite (chute qui s'amortit) | descend de plus en plus vite (effondrement) |
- Si on te donne le tableau de variations de \(f\) : il donne le signe de \(f'\) (donc le sens), mais pas la convexité. Ne pas inventer.
- Si on te donne le tableau de variations de \(f'\) : \(f'\) croissante \(\Rightarrow\) \(f\) convexe ; \(f'\) décroissante \(\Rightarrow\) \(f\) concave ; les extremums de \(f'\) donnent les points d'inflexion. Les valeurs de \(f'\) donnent en plus les pentes des tangentes (et son signe donne les variations de \(f\)).
- Si on te donne le tableau de signes de \(f''\) : tu obtiens directement la convexité et les points d'inflexion, mais rien sur les variations de \(f.\)
- Tracer : placer les points connus, les tangentes remarquables (horizontales aux extremums), puis relier en respectant sens et courbure.
Exemple. On sait que \(f'\) est décroissante sur \([0;3]\) puis croissante sur \([3;6],\) avec \(f'(3)=-2.\) Alors \(f\) est concave sur \([0;3],\) convexe sur \([3;6],\) la courbe a un point d'inflexion d'abscisse \(3,\) et comme \(f'(3) = -2 < 0,\) au voisinage de \(3\) la fonction \(f\) est décroissante : on trace une descente qui s'accélère puis s'amortit.
Méthode 4 — Démontrer une inégalité par la convexité
Pour prouver une inégalité du type \(f(x) \geqslant ux+v\) sur un intervalle :
- Repérer la fonction \(f\) et l'expression affine \(ux+v\) : c'est en général l'équation d'une tangente.
- Trouver le bon point \(a\) : celui où la tangente vaut exactement \(ux+v.\) Souvent \(a=0\) (tangente \(y=f'(0)x+f(0)\)) ou \(a=1.\) On peut aussi vérifier que \(f(a)=ua+v\) pour le repérer.
- Calculer \(f''\) et donner son signe sur l'intervalle : si \(f'' \geqslant 0,\) \(f\) est convexe.
- Conclure : « \(f\) est convexe, donc sa courbe est au-dessus de sa tangente en \(a\) ; or cette tangente a pour équation \(y=ux+v\) ; donc \(f(x) \geqslant ux+v\) pour tout \(x.\) »
Avec une fonction concave, l'inégalité est dans l'autre sens (\(f(x) \leqslant ux+v\)).
Variante possible : on peut toujours repasser par l'étude de \(g(x)=f(x)-(ux+v)\) et montrer que son minimum vaut \(0\) — c'est exactement la démonstration du cours, point 6.
Erreurs fréquentes
- Confondre variations et convexité. « \(f\) est croissante donc convexe » est faux : \(x\mapsto \sqrt{x}\) est croissante et concave. Croissance \(\leftrightarrow\) signe de \(f'\) ; convexité \(\leftrightarrow\) signe de \(f''.\)
- Confondre le signe de \(f'\) et celui de \(f''.\) Sur la courbe de \(f',\) c'est sa croissance (et non son signe) qui donne la convexité de \(f.\)
- Conclure un point d'inflexion sans changement de signe. \(f(x)=x^4\) vérifie \(f''(0)=0\) mais n'a pas de point d'inflexion. Toujours dresser le tableau de signes de \(f''.\)
- Oublier l'ordonnée du point d'inflexion. Si on demande le point \(I,\) il faut calculer \(f(a)\) et écrire \(I(a\,;f(a)).\)
- Dériver une seule fois. Relis l'énoncé : \(f''\) demande deux dérivations successives.
- Croire qu'un extremum de \(f''\) donne un point d'inflexion. Ce qui compte, c'est là où \(f''\) s'annule en changeant de signe (donc les extremums de \(f',\) pas ceux de \(f''\)).
Visualisation
Règle les coefficients de \(f(x)=ax^3+bx^2+cx.\) La courbe est tracée en vert là où \(f\) est convexe et en corail là où elle est concave. Déplace la sécante (points \(A\) et \(B\)) et la tangente (point \(T\)) : quand la courbe est convexe, elle passe sous la sécante et au-dessus de la tangente.
Les trois courbes sont tracées l'une sous l'autre avec la même échelle horizontale. Déplace la ligne verticale et lis les trois informations en même temps : le signe de \(f''\), le sens de variation de \(f'\) et la convexité de \(f.\)
La fonction \(\exp\) vérifie \((e^x)'' = e^x > 0\) : elle est convexe sur \(\mathbb{R},\) donc sa courbe est au-dessus de sa tangente en \(0,\) d'équation \(y = x+1.\) Déplace le point et vérifie que l'écart \(e^x-(1+x)\) est toujours positif ou nul.
Exercices
Exercice 1 Niveau 1
Exercice 2 Niveau 2
Exercice 3 Niveau 3
QCM
Quatre questions tirées au hasard dans une banque de quinze. Une seule bonne réponse par question.