Cours
Tout le calcul vectoriel de Première reste vrai dans l'espace. La seule vraie nouveauté de Terminale est la coplanarité, et ce qu'elle permet : les bases et les repères de l'espace.
1. Un vecteur de l'espace, c'est exactement comme dans le plan
Un vecteur \(\vec u\) de l'espace est défini par une direction, un sens et une longueur (sa norme \(\|\vec u\|\)). Deux couples de points donnent le même vecteur quand ils décrivent le même déplacement :
Autrement dit, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) si et seulement si \(ABDC\) est un parallélogramme.
À chaque vecteur \(\vec u\) est associée la translation de vecteur \(\vec u\) : elle envoie tout point \(M\) sur l'unique point \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'} = \vec u.\)
Exemple sur un cube \(ABCDEFGH\). Les arêtes \([AB]\), \([DC]\), \([EF]\) et \([HG]\) sont parallèles, de même longueur et parcourues dans le même sens, donc
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}.\]
La translation de vecteur \(\overrightarrow{AE}\) envoie la face \(ABCD\) sur la face \(EFGH.\)
2. Chasles et toutes les règles de calcul se transportent
Rien ne change par rapport au plan :
- Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) de l'espace.
- Vecteur opposé : \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\), et \(\overrightarrow{AA} = \vec 0.\)
- Règles algébriques : \(\vec u + \vec v = \vec v + \vec u\), \(k(\vec u + \vec v) = k\vec u + k\vec v\), \((k+k')\vec u = k\vec u + k'\vec u\), \(k(k'\vec u) = (kk')\vec u.\)
- Milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AI} = \tfrac12\overrightarrow{AB}\), ou encore \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec 0.\)
Exemple. Dans le cube \(ABCDEFGH\), en marchant le long des arêtes de \(B\) vers \(H\) :
\[\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DH},\]
\[\overrightarrow{BH} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}.\]
On a remplacé \(\overrightarrow{DH}\) par \(\overrightarrow{AE}\) : ce sont deux arêtes parallèles, de même longueur et de même sens.
3. Combinaison linéaire
Un vecteur \(\vec w\) est une combinaison linéaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) s'il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que
\[\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v.\]
De même avec trois vecteurs : \(\vec t = a\,\vec u + b\,\vec v + c\,\vec w.\) Les réels \(a\), \(b\), \(c\) s'appellent les coefficients.
Exemple numérique. Avec \(\vec u(1;2;-1)\) et \(\vec v(3;0;2)\) :
\[2\vec u\ (2\,;\,4\,;\,-2),\qquad \vec v\ (3\,;\,0\,;\,2),\]
\[2\vec u - \vec v\ (2-3\,;\,4-0\,;\,-2-2),\]
\[2\vec u - \vec v \;=\; (-1\,;\,4\,;\,-4).\]
4. Colinéarité : deux vecteurs, une même direction
\(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires lorsqu'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec v = k\,\vec u\) (avec \(\vec u \neq \vec 0\)). Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
- Alignement : \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés \(\iff\) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
- Parallélisme : les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles \(\iff\) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Exemple. \(\vec u(2;-4;6)\) et \(\vec v(-1;2;-3)\) vérifient \(\vec u = -2\,\vec v\) : ils sont colinéaires.
En revanche \(\vec u(1;1;0)\) et \(\vec v(1;1;1)\) ne le sont pas : aucun réel \(k\) ne donne à la fois \(1 = k\times 1\) et \(1 = k\times 0.\)
Dans l'espace, deux droites non parallèles peuvent très bien ne pas se couper : elles sont alors non coplanaires. « Non parallèles » ne veut pas dire « sécantes ».
5. Coplanarité : la nouveauté de Terminale nouveau
Trois vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) sont coplanaires lorsqu'il existe des représentants de ces trois vecteurs situés dans un même plan. Le critère de calcul est le suivant :
Critère. Si \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires, alors
\(\vec u,\ \vec v,\ \vec w\) sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que
\[\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v.\]
Autrement dit : l'un des trois est combinaison linéaire des deux autres.
Quatre points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\) sont coplanaires. On ramène donc toujours une question sur des points à une question sur des vecteurs.
Exemple numérique. \(\vec u(1;0;1)\), \(\vec v(0;1;1)\), \(\vec w(2;3;5)\). On cherche \(a\) et \(b\) avec \(\vec w = a\vec u + b\vec v\) :
\[\begin{cases} a = 2 \\ b = 3 \\ a + b = 5 \end{cases}\]
Les deux premières lignes donnent \(a = 2\) et \(b = 3\), et la troisième est bien vérifiée : \(2 + 3 = 5.\) Donc \(\vec w = 2\vec u + 3\vec v\) et les trois vecteurs sont coplanaires.
Avec \(\vec w'(2;3;4)\) au contraire, la troisième ligne donnerait \(2+3 = 4\), ce qui est faux : le système n'a pas de solution, donc \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w'\) ne sont pas coplanaires.
Ne pas confondre. La colinéarité concerne deux vecteurs (même droite de direction) ; la coplanarité concerne trois vecteurs (même plan de direction). Deux vecteurs colinéaires forment, avec n'importe quel troisième vecteur, un triplet coplanaire.
6. Base de l'espace et décomposition unique
Trois vecteurs \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\) forment une base de l'espace lorsqu'ils ne sont pas coplanaires.
Propriété fondamentale. Si \((\vec i,\vec j,\vec k)\) est une base, alors tout vecteur \(\vec u\) de l'espace s'écrit d'une seule et unique manière
\[\vec u = x\,\vec i + y\,\vec j + z\,\vec k,\]
et le triplet \((x\,;y\,;z)\) s'appelle le triplet de coordonnées de \(\vec u\) dans cette base.
Deux vecteurs seulement ne suffisent pas : ils n'atteignent qu'un plan. Quatre vecteurs sont toujours de trop : l'écriture ne serait plus unique.
Exemple sur le cube. \((\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AE})\) est une base de l'espace : ce sont trois arêtes issues du même sommet \(A\), elles ne sont pas dans un même plan. Alors
\[\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE},\]
\[\overrightarrow{CE} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}.\]
En revanche \((\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AC})\) n'est pas une base : les trois vecteurs sont dans le plan \((ABC)\), et d'ailleurs \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.\)
7. Repère de l'espace, coordonnées, formules
Un repère de l'espace est un quadruplet \((O\,;\vec i,\vec j,\vec k)\) où \(O\) est un point et \((\vec i,\vec j,\vec k)\) une base. Les coordonnées d'un point \(M\) sont celles du vecteur \(\overrightarrow{OM}.\)
Avec \(\vec u(x;y;z)\), \(\vec v(x';y';z')\), \(A(x_A;y_A;z_A)\) et \(B(x_B;y_B;z_B)\) :
| Somme | \(\vec u + \vec v\ (x+x'\,;\,y+y'\,;\,z+z')\) |
|---|---|
| Produit par un réel | \(k\vec u\ (kx\,;\,ky\,;\,kz)\) |
| Vecteur \(\overrightarrow{AB}\) | \((x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,z_B - z_A)\) |
| Milieu de \([AB]\) | \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\,;\,\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\) |
| Colinéarité | si \(\vec u \neq \vec 0\) : \(\vec u\) et \(\vec v\) colinéaires \(\iff\) il existe \(k\) tel que \(x' = kx\), \(y' = ky\), \(z' = kz.\) (Le vecteur nul, lui, est colinéaire à tout vecteur.) |
Exemple numérique. \(A(1;-2;3)\) et \(B(4;0;-1)\) donnent \(\overrightarrow{AB}\,(3\,;2\,;-4)\), et le milieu de \([AB]\) est \(I\left(\tfrac52\,;-1\,;1\right).\)
Lire une décomposition sur une figure. Sur un cube, un pavé ou un tétraèdre, on choisit presque toujours comme repère un sommet et les trois arêtes qui en partent, par exemple \((A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}).\) Les huit sommets du cube ont alors des coordonnées immédiates :
\[A(0;0;0),\quad B(1;0;0),\quad C(1;1;0),\]
\[D(0;1;0),\quad E(0;0;1),\quad F(1;0;1),\]
\[G(1;1;1),\quad H(0;1;1).\]
Le centre \(K\) du cube, milieu de \([AG]\), a pour coordonnées \(\left(\tfrac12;\tfrac12;\tfrac12\right)\), donc \(\overrightarrow{AK} = \tfrac12\overrightarrow{AB} + \tfrac12\overrightarrow{AD} + \tfrac12\overrightarrow{AE}.\)
Attention : ce repère n'est ni orthogonal ni normé en général (il l'est sur un cube d'arête 1, pas sur un pavé quelconque). Pour les longueurs et le produit scalaire, il faut un repère orthonormé : c'est l'objet de la fiche 2D.
Méthode
A. Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire à partir d'une figure
- Repérer la base imposée par l'énoncé, en général trois arêtes issues d'un même sommet, par exemple \(\vec i = \overrightarrow{AB}\), \(\vec j = \overrightarrow{AD}\), \(\vec k = \overrightarrow{AE}.\)
- Aller du point de départ au point d'arrivée en suivant les arêtes, et écrire le chemin avec la relation de Chasles.
- Remplacer chaque arête parcourue par \(\pm\) un vecteur de la base : deux arêtes parallèles, de même longueur et de même sens sont le même vecteur.
- Réduire et vérifier le nombre de termes : au plus trois.
Exemple. Décomposer \(\overrightarrow{CE}\) dans la base \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}).\)
\[\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE},\]
\[\overrightarrow{CE} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}.\]
En effet \(\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}.\)
Si le point d'arrivée est un milieu, on s'arrête d'abord au sommet le plus proche, puis on ajoute la moitié de l'arête : \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AF} + \tfrac12\overrightarrow{FG}\) pour \(I\) milieu de \([FG].\)
B. Montrer que trois vecteurs sont coplanaires
- Vérifier d'abord que \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires (sinon, le triplet est coplanaire d'office).
- Poser l'égalité \(\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v\) avec \(a\) et \(b\) inconnus, et l'écrire coordonnée par coordonnée : on obtient un système de trois équations à deux inconnues.
- Résoudre avec deux des trois équations (choisir les plus simples).
- Reporter le couple trouvé dans la troisième équation.
- Elle est vérifiée : le système a une solution, les vecteurs sont coplanaires, et on donne \(a\) et \(b.\)
- Elle est fausse : le système n'a aucune solution, les vecteurs ne sont pas coplanaires.
Exemple. \(\vec u(2;1;0)\), \(\vec v(1;-1;3)\), \(\vec w(4;-1;6).\) On résout
\[\begin{cases} 2a + b = 4 \\ a - b = -1 \\ 3b = 6 \end{cases}\]
La troisième ligne donne \(b = 2\), la deuxième \(a = 1\), et la première est vérifiée : \(2\times 1 + 2 = 4.\) Donc \(\vec w = \vec u + 2\vec v\) : les trois vecteurs sont coplanaires.
C. Montrer que quatre points sont coplanaires
- Choisir un point de référence, par exemple \(A\), et calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\) par la formule des coordonnées.
- Appliquer la méthode B à ces trois vecteurs.
- Conclure : \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\) le sont.
Rédaction attendue : « \(\overrightarrow{AD} = a\,\overrightarrow{AB} + b\,\overrightarrow{AC}\), donc \(D\) appartient au plan \((ABC)\) : les quatre points sont coplanaires. »
D. Montrer que trois vecteurs forment une base
- Vérifier que deux d'entre eux, \(\vec u\) et \(\vec v\), ne sont pas colinéaires.
- Supposer que \(\vec w = a\,\vec u + b\,\vec v\) et écrire le système.
- Montrer qu'il est impossible : deux équations imposent \(a\) et \(b\), et la troisième est alors fausse.
- Conclure : les trois vecteurs ne sont pas coplanaires, donc \((\vec u,\vec v,\vec w)\) est une base de l'espace.
Sur une figure, le raisonnement est souvent direct : trois arêtes issues d'un même sommet d'un cube, d'un pavé ou d'un tétraèdre ne sont jamais dans un même plan, donc elles forment une base.
E. Lire une décomposition sur une figure
- Placer le repère : le sommet choisi devient l'origine, les trois arêtes deviennent \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k.\)
- Lire les coordonnées des deux points concernés (elles ne valent que \(0\), \(1\) ou \(\tfrac12\) sur un cube d'arête \(1\)).
- Soustraire : \(\overrightarrow{XY}\) a pour coordonnées celles de \(Y\) moins celles de \(X.\)
- Réécrire le résultat comme combinaison linéaire, et vérifier sur la figure que le chemin obtenu mène bien de \(X\) à \(Y.\)
Erreurs fréquentes
Confondre colinéaires et coplanaires. Colinéaire se dit de deux vecteurs, coplanaire de trois. Trois vecteurs peuvent être coplanaires sans qu'aucun couple ne soit colinéaire : c'est même le cas intéressant.
Croire que trois vecteurs quelconques forment une base. Il faut vérifier qu'ils ne sont pas coplanaires. \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC})\) sur un cube n'est pas une base.
Oublier qu'un système sans solution prouve la non-coplanarité. Écrire « je ne trouve pas \(a\) et \(b\) » ne démontre rien ; il faut écrire que la troisième équation est fausse, donc que le système n'admet aucune solution.
Se tromper de sens dans Chasles. C'est \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) : le point d'arrivée du premier est le point de départ du second. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}\) ne se simplifie pas.
Confondre coordonnées d'un point et d'un vecteur. \(\overrightarrow{AB}\) se calcule par une soustraction : arrivée moins départ, jamais l'inverse.
Visualisation
Vue 1 · Décomposer un vecteur du cube
Le cube \(ABCDEFGH\) d'arête \(1\). Choisis une base formée de trois arêtes issues d'un même sommet, puis un vecteur à décomposer. Le chemin en trois étapes est tracé en couleurs le long des arêtes : première composante, deuxième, troisième. Le vecteur lui-même est en violet. Les deux premiers curseurs font tourner la figure.
Vue 2 · Coplanaires ou base ?
Trois vecteurs réglables. Le parallélépipède qu'ils engendrent est dessiné en pointillés : quand il s'aplatit, les trois vecteurs sont coplanaires et le plan qu'ils engendrent apparaît en bleu transparent.
hors programme Le déterminant est ici un simple outil de contrôle : il vaut \(0\) exactement quand les trois vecteurs sont coplanaires. Au bac, on ne l'utilise pas : on cherche \(a\) et \(b\) tels que \(\vec w = a\vec u + b\vec v\), et on conclut sur l'existence ou non d'une solution.
Exercices
Exercice 1 Niveau 1
Exercice 2 Niveau 2
Exercice 3 Niveau 3
QCM
Quatre questions tirées au hasard dans une banque de quatorze. Une seule bonne réponse par question.