Cours
1Signe de \(f'\) et sens de variation
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
- \(f'(x) \ge 0\) pour tout \(x\) de \(I\) \(\iff\) \(f\) est croissante sur \(I.\)
- \(f'(x) \le 0\) pour tout \(x\) de \(I\) \(\iff\) \(f\) est décroissante sur \(I.\)
- Si \(f'(x) > 0\) sur \(I\) (sauf en des valeurs isolées), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I.\)
Exemple. \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) donne \(f'(x) = 2x - 6.\) Or \(2x - 6 \ge 0 \iff x \ge 3.\) Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;3]\) et croissante sur \([3\,;+\infty[.\)
2Dérivée nulle et fonctions constantes
\(f\) est constante sur un intervalle \(I\) \(\iff\) \(f'(x) = 0\) pour tout \(x\) de \(I.\)
Exemple. \(f(x) = (x+3)^2 - x^2 - 6x\) a pour dérivée \(f'(x) = 2(x+3) - 2x - 6 = 0,\) donc \(f\) est constante : en calculant \(f(0) = 9,\) on obtient \(f(x) = 9\) pour tout \(x.\)
3Le tableau de variations
Il rassemble en trois lignes tout ce qu'on a trouvé : les valeurs remarquables de \(x,\) le signe de \(f',\) puis les variations de \(f.\)
Exemple. \(f(x) = x^3 - 3x\) sur \(\mathbb{R},\) donc \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1).\) Ce produit est positif à l'extérieur des racines \(-1\) et \(1,\) négatif entre elles.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(1\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | + | 0 | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | ↗ | 2 | ↘ | −2 | ↗ |
Lecture : \(f\) croît jusqu'à \(x = -1,\) où elle vaut \(f(-1) = 2\) (maximum local), décroît jusqu'à \(x = 1,\) où \(f(1) = -2\) (minimum local), puis croît à nouveau.
4Extremum local et nombre dérivé nul piège classique
Condition nécessaire. Si \(f\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) et admet un extremum local en \(a\) intérieur à \(I,\) alors \(f'(a) = 0.\)
5Tangente horizontale en un extremum
La tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation \(y = f'(a)(x-a) + f(a).\) En un extremum local intérieur, \(f'(a) = 0,\) donc cette tangente est horizontale : \(y = f(a).\)
Exemple. \(f(x) = x^2 - 4x + 7,\) \(f'(x) = 2x - 4\) s'annule en \(2\) en changeant de signe (\(-\) puis \(+\)). Le minimum est \(f(2) = 3\) et la tangente en ce point est la droite d'équation \(y = 3.\)
6Le second degré vu par la dérivation à savoir refaire
Pour \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0,\) on a \(f'(x) = 2ax + b,\) qui s'annule en \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}.\)
- Si \(a > 0\) : \(f'\) est négative puis positive, donc \(f\) décroît puis croît — la parabole est tournée vers le haut et \(f(\alpha)\) est le minimum.
- Si \(a < 0\) : \(f'\) est positive puis négative, donc \(f\) croît puis décroît — la parabole est tournée vers le bas et \(f(\alpha)\) est le maximum.
Exemple. \(f(x) = -2x^2 + 12x - 7,\) \(f'(x) = -4x + 12\) s'annule en \(\alpha = 3.\) Comme \(a = -2 < 0,\) \(f\) admet un maximum en \(3,\) égal à \(f(3) = 11.\)
7Inégalités et position de deux courbes à savoir démontrer
Démontrer une inégalité \(f(x) \ge k\) : on étudie les variations de \(f\) et on montre que son minimum vaut \(k.\)
Exemple : pour \(x > 0,\) posons \(f(x) = x + \dfrac{1}{x}.\) Alors \(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2-1}{x^2},\) du signe de \(x^2 - 1\) donc négatif sur \(]0\,;1]\) et positif sur \([1\,;+\infty[.\) Le minimum est \(f(1) = 2,\) d'où \(x + \dfrac{1}{x} \ge 2\) pour tout \(x > 0.\)
Comparer deux courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) : on étudie le signe de \(d(x) = f(x) - g(x).\) Là où \(d(x) > 0,\) \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) ; là où \(d(x) < 0,\) elle est en dessous ; \(d(x) = 0\) donne les points d'intersection.
Exemple : \(f(x) = x^3\) et \(g(x) = x^2\) donnent \(d(x) = x^3 - x^2 = x^2(x-1).\) Le facteur \(x^2\) est positif et ne s'annule qu'en \(0,\) donc \(d\) est du signe de \(x - 1,\) sauf en \(0\) où \(d\) s'annule sans changer de signe. Donc \(\mathcal{C}_f\) est strictement en dessous de \(\mathcal{C}_g\) sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;1[,\) au-dessus sur \(]1\,;+\infty[,\) et les deux courbes se coupent en \(x = 0\) (où elles se touchent sans se traverser) et en \(x = 1.\)
Méthode
Étudier les variations d'une fonction — 5 étapes
- Ensemble de définition. Préciser \(I\) (attention aux dénominateurs et aux racines carrées).
- Dérivée. Calculer \(f'(x)\) et la mettre sous une forme dont le signe se lit : factorisée ou réduite au même dénominateur.
- Signe de \(f'\). Résoudre \(f'(x) > 0\) puis \(f'(x) < 0\) (voir la fiche ci-dessous).
- Tableau de variations. Trois lignes : \(x,\) signe de \(f'(x),\) variations de \(f\) — avec les valeurs \(f\) aux valeurs remarquables.
- Conclusion rédigée. « \(f\) est croissante sur … et décroissante sur … ; elle admet un maximum en \(x = \dots\) valant … ».
Étudier le signe d'une dérivée, selon sa forme
- Affine \(f'(x) = mx + p\) : une seule racine \(x_0 = -\dfrac{p}{m}.\) Signe de \(m\) après \(x_0,\) signe contraire avant. Exemple : \(f'(x) = -3x + 12\) est positive avant \(4,\) négative après.
- Second degré \(f'(x) = ax^2 + bx + c\) : calculer \(\Delta = b^2 - 4ac.\) Si \(\Delta < 0,\) signe de \(a\) partout ; si \(\Delta \ge 0,\) signe de \(a\) à l'extérieur des racines, signe contraire entre elles. Exemple : \(f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2)\) est positive à l'extérieur de \([-2\,;2].\)
- Produit \(f'(x) = (x-1)(x+4)\) : tableau de signes avec une ligne par facteur, puis la ligne du produit (règle des signes).
- Quotient \(f'(x) = \dfrac{N(x)}{D(x)}\) : le signe est celui de \(N(x)\) quand \(D(x) > 0.\) Un carré au dénominateur (\(x^2\) ou \((x+2)^2\)) est toujours positif : le signe est alors entièrement donné par le numérateur.
Résoudre un problème d'optimisation
- Choisir la variable \(x\) et préciser l'intervalle où elle vit (souvent \([0\,;\ell]\) pour des raisons géométriques).
- Exprimer la grandeur à optimiser (aire, volume, coût) en fonction de \(x\) seul — éliminer les autres inconnues avec les contraintes de l'énoncé.
- Dériver et étudier le signe de la dérivée sur l'intervalle.
- Tableau de variations : il donne la valeur de \(x\) qui rend la grandeur maximale (ou minimale).
- Revenir à la question posée : calculer la grandeur optimale, donner les dimensions demandées, avec l'unité.
Démontrer une inégalité par l'étude d'une fonction
- Tout ramener d'un même côté : montrer \(A(x) \ge B(x)\) revient à montrer \(f(x) \ge 0\) avec \(f = A - B.\)
- Étudier les variations de \(f\) sur l'intervalle demandé.
- Trouver le minimum de \(f\) grâce au tableau.
- Conclure : si ce minimum est \(\ge 0,\) alors \(f(x) \ge 0\) partout, donc \(A(x) \ge B(x).\)
Exemple : montrer que \(x^3 + 4 \ge 3x^2\) pour \(x \ge 0.\) On pose \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4,\) alors \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2),\) négative sur \([0\,;2]\) puis positive. Le minimum sur \([0\,;+\infty[\) est \(f(2) = 0 \ge 0,\) donc l'inégalité est vraie.
Comparer deux courbes
- Poser \(d(x) = f(x) - g(x).\)
- Factoriser \(d(x)\) si possible, sinon étudier ses variations avec \(d'.\)
- Dresser le tableau de signes de \(d.\)
- Conclure : \(d(x) > 0\) signifie « \(\mathcal{C}_f\) au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) », \(d(x) = 0\) donne les abscisses des points d'intersection.
Erreurs fréquentes
- Confondre le signe de \(f\) et celui de \(f'.\) Une fonction peut être négative et croissante (par exemple \(f(x) = x - 10\) en \(x = 0\)). C'est le signe de \(f',\) jamais celui de \(f,\) qui donne les variations.
- Conclure à un extremum sans changement de signe. \(f'(a) = 0\) ne suffit pas : revoir \(f(x) = x^3\) en \(0.\)
- Oublier de préciser l'intervalle. « \(f\) est décroissante » ne veut rien dire : il faut « décroissante sur \(]-\infty\,;3]\) ».
- Oublier de revenir à la question posée. Dans un problème d'optimisation, trouver \(x = 2\) n'est pas la réponse : il faut donner l'aire maximale, le volume maximal ou les dimensions, avec l'unité.
- Lire les flèches à l'envers. Dans un tableau, la flèche décrit \(f,\) pas \(f'\) : la ligne des signes est au-dessus.
Visualisation
Déplace les curseurs : la courbe de \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) est tracée en bleu, et la bande sous l'axe donne le signe de \(f'\).
Dans un carton rectangulaire, on découpe un carré de côté \(x\) à chaque coin, puis on relève les bords : on obtient une boîte sans couvercle de volume \(V(x) = x(L-2x)(\ell-2x).\)
Exercices
Exercice 1 Niveau 1
Exercice 2 Niveau 2
Exercice 3 Niveau 3
QCM
Quatre questions tirées au hasard. Une seule bonne réponse par question.