Cours
Tout le chapitre « géométrie dans l'espace » repose sur ces outils. Ils viennent de Seconde et de Première : on les remet en place ici, dans le plan, avant de les transporter dans l'espace (fiche 7B).
1Un vecteur : direction, sens, longueur
Un vecteur \(\vec{u}\) est entièrement déterminé par trois données :
- sa direction : celle d'une droite (horizontale, verticale, oblique…) ;
- son sens : l'un des deux sens de parcours de cette direction ;
- sa longueur (ou norme) \(\|\vec{u}\|.\)
Un vecteur n'a pas de position : on peut le représenter par une flèche partant de n'importe quel point. C'est pourquoi deux flèches différentes peuvent représenter le même vecteur.
2Relation de Chasles
Pour trois points \(A,\ B,\ C\) quelconques (même alignés, même confondus) :
\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.\]Elle sert dans les deux sens.
- Recoller : une somme de vecteurs « bout à bout » se réduit au vecteur qui va du premier point au dernier.
- Décomposer : on choisit un point intermédiaire \(P\) utile et on écrit \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PC}.\) C'est le geste de base de toute démonstration vectorielle.
3Somme, vecteur nul, opposé, différence
Règle du parallélogramme. On place les deux vecteurs à partir du même point : si \(\overrightarrow{AB}=\vec{u}\) et \(\overrightarrow{AD}=\vec{v}\), alors
\[\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AC},\]où \(ABCD\) est le parallélogramme construit sur \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) : la somme est la diagonale issue de \(A.\) (C'est la même chose que Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\), car \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{v}.\))
- Vecteur nul \(\vec{0}=\overrightarrow{AA}\) : il est neutre, \(\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}.\)
- Opposé \(-\vec{u}\) : même direction, même longueur, sens contraire, et \(\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}.\)
- Différence \(\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})\) : c'est l'autre diagonale du parallélogramme, orientée de l'extrémité de \(\vec{v}\) vers celle de \(\vec{u}.\)
4Multiplication par un réel
Pour un réel \(k\ne 0\) et un vecteur \(\vec{u}\ne\vec{0}\), le vecteur \(k\vec{u}\) a :
- la même direction que \(\vec{u}\) — quel que soit le signe de \(k\) ;
- le même sens si \(k>0\), le sens contraire si \(k<0\) ;
- pour longueur \(\|k\vec{u}\|=|k|\times\|\vec{u}\|.\)
Le cas \(k=0\) est à part : \(0\times\vec{u}=\vec{0},\) et le vecteur nul n’a ni direction ni sens. On calcule comme en algèbre : \(k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}\) et \((k+k')\vec{u}=k\vec{u}+k'\vec{u}.\)
5Colinéarité et déterminant
Définition. Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v}=k\vec{u}\) (ou \(\vec{u}=k\vec{v}\)). Géométriquement : ils ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
Le calcul se fait « en croix » : on multiplie la première coordonnée de \(\vec{u}\) par la seconde de \(\vec{v}\), puis on retranche le produit des deux autres.
- \(A,\ B,\ C\) sont alignés \(\iff\) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
- Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles \(\iff\) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires. (Elles sont alors confondues si en plus \(C\) appartient à \((AB)\), strictement parallèles sinon.)
Exemple 2. \(\vec{u}\,(2\,;\,5)\) et \(\vec{v}\,(3\,;\,7)\) : \(2\times 7-3\times 5=14-15=-1\ne 0\), donc ils ne sont pas colinéaires : ils forment une base du plan.
6Base, repère, coordonnées
Base du plan. Deux vecteurs \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) non colinéaires forment une base du plan : tout vecteur \(\vec{w}\) du plan s'écrit alors d'une seule manière
\[\vec{w}=x\,\vec{i}+y\,\vec{j},\]et le couple \((x\,;\,y)\) est le couple de coordonnées de \(\vec{w}\) dans cette base. C'est l'unicité qui rend les calculs possibles : deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées.
Repère. Un repère \((O\,;\,\vec{i},\vec{j})\) est une base plus une origine. Les coordonnées d'un point \(M\) sont celles du vecteur \(\overrightarrow{OM}.\)
- \(\vec{u}+\vec{v}\ \ (x+x'\,;\,y+y')\) ;
- \(k\vec{u}\ \ (kx\,;\,ky)\) ;
- \(\overrightarrow{AB}\ \ (x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)\) — arrivée moins départ ;
- milieu \(I\) de \([AB]\) : \(I\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right).\)
7Démontrer sans repère à savoir démontrer
Beaucoup de propriétés se démontrent sans aucune coordonnée : on traduit les hypothèses en égalités vectorielles, puis on calcule avec Chasles.
Démonstration. On traduit d'abord les hypothèses :
- \(I\) milieu de \([AB]\) donne \(\overrightarrow{IA}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}\,;\)
- \(J\) milieu de \([AC]\) donne \(\overrightarrow{AJ}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\)
On décompose ensuite le vecteur cherché en passant par \(A\) (relation de Chasles) :
\[\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\tfrac{1}{2}\overrightarrow{AC},\]puis on regroupe et on applique Chasles une seconde fois :
\[\overrightarrow{IJ}=\tfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}.\]Le schéma de preuve est toujours le même : traduire les hypothèses → décomposer par Chasles jusqu'à ne garder que les vecteurs de l'hypothèse → lire la conclusion (colinéarité pour un parallélisme, égalité de vecteurs pour un parallélogramme, \(\vec{0}\) pour un milieu).
Méthode
1. Décomposer un vecteur avec la relation de Chasles
- Repérer le point intermédiaire utile : c'est presque toujours un point qui apparaît déjà dans les vecteurs donnés par l'énoncé (souvent \(A\), ou le centre de la figure).
- Écrire \(\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{XP}+\overrightarrow{PY}\) avec ce point \(P.\)
- Remplacer chaque morceau par ce que l'énoncé fournit, en utilisant si besoin \(\overrightarrow{PX}=-\overrightarrow{XP}.\)
- Réduire : regrouper les termes semblables comme en algèbre.
\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{OA}=-\tfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=-\tfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right),\) donc \(\overrightarrow{OB}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\tfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}.\)
2. Montrer que trois points sont alignés
- Choisir un point de départ commun, par exemple \(A\), et calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) (arrivée moins départ).
- Calculer le déterminant \(xy'-x'y\) de ces deux vecteurs.
- S'il vaut \(0\), les vecteurs sont colinéaires, donc \(A,\ B,\ C\) sont alignés. Sinon, ils ne le sont pas.
- Sans repère : chercher un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}\), en décomposant par Chasles.
3. Montrer que deux droites sont parallèles
- Prendre un vecteur directeur de chaque droite : \(\overrightarrow{AB}\) pour \((AB)\), \(\overrightarrow{CD}\) pour \((CD).\)
- Calculer le déterminant des deux vecteurs.
- S'il vaut \(0\) : les droites sont parallèles. Sinon elles sont sécantes.
- Si l'énoncé demande de distinguer : tester si \(C\) appartient à \((AB)\), c'est-à-dire si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires. Oui \(\Rightarrow\) droites confondues ; non \(\Rightarrow\) strictement parallèles.
4. Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire, à partir d'une figure
On donne deux vecteurs de base sur la figure (par exemple \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{AD}\)) et on demande d'écrire un troisième vecteur sous la forme \(a\vec{u}+b\vec{v}.\)
- Partir du point de départ du vecteur cherché et avancer le long des côtés de la figure par Chasles, jusqu'au point d'arrivée.
- Traduire chaque déplacement en fonction de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) : un côté parallèle à \(\vec{u}\) donne un multiple de \(\vec{u}\) (attention au sens, donc au signe), un milieu donne un coefficient \(\tfrac{1}{2}.\)
- Additionner et regrouper : \(a\vec{u}+b\vec{v}.\)
- Vérifier sur la figure que le résultat a le bon ordre de grandeur et le bon sens.
5. Démontrer une propriété géométrique sans repère
- Traduire les hypothèses en égalités vectorielles : « \(I\) milieu de \([AB]\) » devient \(\overrightarrow{AI}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) ; « \(ABCD\) parallélogramme » devient \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) ; « \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM}=\tfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) » se garde tel quel.
- Choisir le vecteur à calculer : celui qui apparaît dans la conclusion.
- Le décomposer par Chasles pour ne faire apparaître que les vecteurs des hypothèses.
- Lire la conclusion : une colinéarité \(\Rightarrow\) parallélisme ou alignement ; une égalité de vecteurs \(\Rightarrow\) parallélogramme ; \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\Rightarrow\) milieu.
Avantage de cette méthode : aucune coordonnée à choisir, la démonstration vaut pour toutes les figures, et elle se transpose telle quelle dans l'espace (fiche 7B).
Erreurs fréquentes
- Confondre \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}.\) Ce sont des vecteurs opposés : \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}.\) Dans Chasles, les lettres doivent se « recoller » : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) marche, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\) ne marche pas tel quel.
- Additionner les longueurs. \(\|\vec{u}+\vec{v}\|\ne\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|\) en général : on additionne les coordonnées, pas les longueurs. L'égalité n'a lieu que si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont de même sens.
- Tester la colinéarité coordonnée par coordonnée. Voir que \(x\ne x'\) ou que \(y\ne y'\) ne prouve rien du tout. Le seul test est le déterminant \(xy'-x'y=0.\) Et chercher « le même coefficient » à la main échoue dès qu'une coordonnée est nulle.
- Confondre point et vecteur. Écrire \(D=\overrightarrow{AB}\) ou \(A+\overrightarrow{AB}\) n'a pas de sens dans une égalité vectorielle. On écrit \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) puis on en déduit les coordonnées de \(D.\)
Visualisation
Fais glisser le bout des flèches. \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont les deux vecteurs de base ; \(\vec{w}\) est le vecteur à décomposer. Les pointillés montrent les deux morceaux \(a\vec{u}\) et \(b\vec{v}\) dont la somme donne \(\vec{w}.\)
Le vecteur \(\vec{w}\) affiché vaut \(a\vec{u}+b\vec{v}\) pour deux entiers \(a\) et \(b.\) Lis-les sur la figure (les pointillés comptent les « pas » de \(\vec{u}\) puis de \(\vec{v}\)), puis vérifie.
Déplace les quatre points \(A,\ B,\ C,\ D.\) Le déterminant de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) décide de tout : nul, les droites sont parallèles ; non nul, elles sont sécantes.
Exercices
Exercice 1 — Coordonnées, somme, multiple Niveau 1
Exercice 2 — Colinéarité Niveau 2
Exercice 3 — Alignement et parallélogramme Niveau 3
QCM
Quatre questions tirées au hasard dans une banque de quinze. Une seule bonne réponse par question.