1. Cours
1Une fonction, trois écritures
Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x)=ax^{2}+bx+c,\qquad a\neq0.\] Sa courbe est une parabole : tournée vers le haut si \(a>0\), vers le bas si \(a<0.\)
La même fonction s'écrit de trois façons, qui contiennent exactement la même information mais ne la donnent pas avec la même facilité.
| Écriture | Forme | Ce qu'elle donne tout de suite |
|---|---|---|
| développée | \(ax^{2}+bx+c\) | \(f(0)=c\), les coefficients, le discriminant |
| canonique | \(a(x-\alpha)^{2}+\beta\) | le sommet \(S(\alpha\,;\beta)\), l'extremum, l'axe de symétrie |
| factorisée | \(a(x-x_1)(x-x_2)\) | les racines, le signe |
Un exemple filé. La fonction \(f(x)=2x^{2}-8x+6\) s'écrit aussi
\[f(x)=2(x-2)^{2}-2\qquad\text{et}\qquad f(x)=2(x-1)(x-3).\]
Vérification de la forme canonique : \(2(x-2)^{2}-2=2(x^{2}-4x+4)-2=2x^{2}-8x+6.\)
Vérification de la forme factorisée : \(2(x-1)(x-3)=2(x^{2}-4x+3)=2x^{2}-8x+6.\)
Attention. La forme développée et la forme canonique existent toujours. La forme factorisée, elle, n'existe que si l'équation \(f(x)=0\) a des solutions : c'est le discriminant qui le dira (point 4).
2La forme factorisée : racines, signe, somme et produit
Si \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\), alors un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est (et \(a\neq0\)) : \[f(x)=0\iff x=x_1\ \text{ou}\ x=x_2.\] Les racines se lisent dans l'écriture, sans aucun calcul.
Le signe s'obtient alors par un tableau : on place les racines dans l'ordre croissant, on donne le signe de chaque facteur, puis on multiplie.
| \(x\) | \(\left]-\infty\,;x_1\right[\) | \(x_1\) | \(\left]x_1\,;x_2\right[\) | \(x_2\) | \(\left]x_2\,;+\infty\right[\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x-x_1\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-x_2\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f(x)\) si \(a>0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Somme et produit des racines. En développant la forme factorisée, \[a(x-x_1)(x-x_2)=ax^{2}-a(x_1+x_2)\,x+a\,x_1x_2.\] En comparant avec \(ax^{2}+bx+c\), on identifie \(b=-a(x_1+x_2)\) et \(c=a\,x_1x_2\), donc \[x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\qquad\text{et}\qquad x_1x_2=\dfrac{c}{a}.\]
Exemple. \(g(x)=3x^{2}-15x+18=3(x-2)(x-3).\) On lit \(x_1=2\) et \(x_2=3.\)
Somme : \(2+3=5\) et \(-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-15}{3}=5.\) Produit : \(2\times3=6\) et \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{18}{3}=6.\)
Le sens pratique. Chercher deux nombres dont on connaît la somme et le produit est souvent plus rapide qu'un discriminant. Pour \(x^{2}-7x+12\) : somme \(7\), produit \(12\), donc \(3\) et \(4\), et \(x^{2}-7x+12=(x-3)(x-4).\)
3La forme canonique : le sommet et l'extremum
La forme canonique est \(f(x)=a(x-\alpha)^{2}+\beta\), avec \[\alpha=-\dfrac{b}{2a}\qquad\text{et}\qquad \beta=f(\alpha).\]
Le carré \((x-\alpha)^{2}\) est toujours positif ou nul, et il est nul uniquement en \(x=\alpha.\) Donc :
- si \(a>0\) : \(f(x)\geqslant\beta\) pour tout \(x\), et \(f\) atteint son minimum \(\beta\) en \(x=\alpha\) ;
- si \(a<0\) : \(f(x)\leqslant\beta\) pour tout \(x\), et \(f\) atteint son maximum \(\beta\) en \(x=\alpha.\)
Le point \(S(\alpha\,;\beta)\) est le sommet de la parabole, et la droite d'équation \(x=\alpha\) est son axe de symétrie.
Exemple. \(h(x)=-3x^{2}+12x-5.\) On calcule \(\alpha=-\dfrac{12}{2\times(-3)}=2\), puis \(\beta=h(2)=-12+24-5=7.\)
Donc \(h(x)=-3(x-2)^{2}+7\) : vérification, \(-3(x^{2}-4x+4)+7=-3x^{2}+12x-12+7=-3x^{2}+12x-5.\)
Comme \(a=-3<0\), \(h\) admet un maximum égal à \(7\), atteint en \(x=2.\)
Le programme demande de savoir compléter le carré dans des cas simples ; le calcul de la forme canonique dans le cas général n'est pas exigible. Mais on retiendra la formule \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\), qui suffit presque toujours.
4Le discriminant et les trois cas
On appelle discriminant de \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) le nombre \[\Delta=b^{2}-4ac.\]
| Cas | Solutions de \(f(x)=0\) | Forme factorisée |
|---|---|---|
| \(\Delta>0\) | deux racines \(x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) | \(a(x-x_1)(x-x_2)\) |
| \(\Delta=0\) | une racine double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\) | \(a(x-x_0)^{2}\) |
| \(\Delta<0\) | aucune racine réelle | pas de factorisation dans \(\mathbb{R}\) |
Trois exemples, un par cas.
- \(2x^{2}-8x+6\) : \(\Delta=(-8)^{2}-4\times2\times6=64-48=16>0\), \(\sqrt{\Delta}=4\), donc \(x_1=\dfrac{8-4}{4}=1\) et \(x_2=\dfrac{8+4}{4}=3.\)
- \(x^{2}-6x+9\) : \(\Delta=36-36=0\), racine double \(x_0=\dfrac{6}{2}=3\), et \(x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.\)
- \(x^{2}+x+1\) : \(\Delta=1-4=-3<0\), aucune racine. En effet \(x^{2}+x+1=\left(x+\dfrac12\right)^{2}+\dfrac34\), qui est toujours strictement positif.
5Résoudre \(ax^{2}+bx+c=0\) Démonstration exigible
Tout part de la forme canonique. Pour \(a\neq0\) :
\[ax^{2}+bx+c=a\left(x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right) =a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}}{4a^{2}}+\dfrac{c}{a}\right).\]
Or \(-\dfrac{b^{2}}{4a^{2}}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{-b^{2}+4ac}{4a^{2}}=-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}\), donc \[f(x)=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}\right).\]
Comme \(a\neq0\), l'équation \(f(x)=0\) équivaut à \[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}=\dfrac{\Delta}{4a^{2}}.\]
- Si \(\Delta<0\) : le membre de droite est strictement négatif ; or un carré ne l'est jamais. Aucune solution.
- Si \(\Delta=0\) : l'équation devient \(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}=0\), donc \(x+\dfrac{b}{2a}=0\) : une seule solution, \(x_0=-\dfrac{b}{2a}.\)
- Si \(\Delta>0\) : on écrit \(\dfrac{\Delta}{4a^{2}}=\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^{2}\) et on reconnaît une différence de deux carrés : \[f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right).\] Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : deux solutions, \[x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\]
Le même calcul donne la factorisation : quand \(\Delta>0\), \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\), et quand \(\Delta=0\), \(f(x)=a(x-x_0)^{2}.\) La factorisation n'est pas un résultat séparé : c'est la démonstration elle-même.
6Le signe : « du signe de \(a\), sauf entre les racines »
Reprenons \(f(x)=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}\right).\) Le signe de \(f\) se lit directement selon celui de \(\Delta\) :
| \(\Delta\) | Signe de \(f(x)\) |
|---|---|
| \(\Delta<0\) | du signe de \(a\) pour tout réel \(x\) (la parenthèse est toujours \(>0\)) |
| \(\Delta=0\) | du signe de \(a\), sauf en \(x_0\) où \(f(x_0)=0\) |
| \(\Delta>0\) | du signe de \(a\) à l'extérieur de l'intervalle d'extrémités \(x_1\) et \(x_2\), du signe de \(-a\) entre les racines |
La phrase à retenir : \(f(x)\) est du signe de \(a\), sauf entre les racines (et nul en les racines). S'il n'y a pas de racine, il n'y a pas d'exception : le signe de \(a\) partout.
Deux exemples.
- \(f(x)=x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\), avec \(a=1>0.\) Donc \(f(x)>0\) sur \(\left]-\infty\,;2\right[\cup\left]3\,;+\infty\right[\) et \(f(x)<0\) sur \(\left]2\,;3\right[.\) Contrôle : \(f(2{,}5)=6{,}25-12{,}5+6=-0{,}25<0.\)
- \(g(x)=-x^{2}+2x-5\) : \(\Delta=4-20=-16<0\) et \(a=-1<0\), donc \(g(x)<0\) pour tout \(x.\) Contrôle : \(g(1)=-1+2-5=-4.\)
7Choisir la forme adaptée La capacité centrale
C'est le vrai savoir-faire du chapitre : avant de calculer quoi que ce soit, regarder ce que la question demande et choisir l'écriture qui répond presque sans calcul.
| La question porte sur… | Forme à viser |
|---|---|
| \(f(0)\), les coefficients, le discriminant | développée |
| les racines, le signe, une inéquation, une intersection avec l'axe des abscisses | factorisée |
| le sommet, l'extremum, l'axe de symétrie, le sens de variation | canonique |
Un même polynôme, trois questions. Soit \(f(x)=-2x^{2}+12x-10.\)
- « Combien vaut \(f(0)\) ? » — forme développée : \(f(0)=-10.\)
- « Où la courbe coupe-t-elle l'axe des abscisses ? » — forme factorisée. \(\Delta=144-4\times(-2)\times(-10)=144-80=64\), \(\sqrt{\Delta}=8\), donc \(x_1=\dfrac{-12-8}{-4}=5\) et \(x_2=\dfrac{-12+8}{-4}=1\), d'où \(f(x)=-2(x-1)(x-5).\)
- « Quel est le bénéfice maximal ? » — forme canonique. \(\alpha=-\dfrac{12}{-4}=3\), \(\beta=f(3)=-18+36-10=8\), donc \(f(x)=-2(x-3)^{2}+8\) : maximum \(8\) atteint en \(x=3.\)
Contrôle de la forme factorisée : \(-2(x-1)(x-5)=-2(x^{2}-6x+5)=-2x^{2}+12x-10.\) Contrôle de la forme canonique : \(-2(x^{2}-6x+9)+8=-2x^{2}+12x-18+8=-2x^{2}+12x-10.\)
Se tromper de forme n'est pas faux, mais coûte cher : chercher le sommet à partir de la forme factorisée, ou le signe à partir de la forme canonique, c'est se donner trois fois plus de travail.
2. Méthode
A — Choisir la bonne forme : l'arbre de décision
- Je cherche une racine (résoudre \(f(x)=0\), trouver une intersection avec l'axe des abscisses) → forme factorisée. Si je ne l'ai pas, je factorise (méthode B).
- Je cherche un signe (résoudre \(f(x)\geqslant0\), étudier le signe d'une dérivée, comparer deux courbes) → forme factorisée + tableau de signes, ou directement la règle « du signe de \(a\) sauf entre les racines ».
- Je cherche un extremum (maximum, minimum, optimisation, sommet, axe de symétrie) → forme canonique, ou au minimum \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) puis \(\beta=f(\alpha).\)
- Je cherche une intersection avec une droite \(y=mx+p\) → je ramène tout d'un côté, j'obtiens un nouveau polynôme du second degré, et je repars à la ligne « racine ».
- Je cherche \(f(0)\), un coefficient, le discriminant → forme développée.
B — Factoriser en diversifiant les stratégies
Le discriminant marche toujours, mais il est souvent le plus lent. On l'essaie en dernier.
- Racine évidente. On teste \(x=0\) (racine si \(c=0\)), \(x=1\) (racine si \(a+b+c=0\)), \(x=-1\) (racine si \(a-b+c=0\)). Dès qu'une racine \(x_1\) est connue, l'autre s'obtient par le produit \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\) ou par la somme \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}.\)
Exemple : \(3x^{2}-5x+2\) : \(a+b+c=3-5+2=0\), donc \(x_1=1.\) Produit \(=\dfrac{2}{3}\), donc \(x_2=\dfrac{2}{3}\), et \(3x^{2}-5x+2=3(x-1)\left(x-\dfrac23\right)=(x-1)(3x-2).\) - Somme et produit. Quand \(a=1\), on cherche deux nombres de somme \(-b\) et de produit \(c.\)
Exemple : \(x^{2}-9x+20\) : somme \(9\), produit \(20\), donc \(4\) et \(5\), et \(x^{2}-9x+20=(x-4)(x-5).\) - Identité remarquable. On reconnaît \(A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)\) ou \(A^{2}\pm2AB+B^{2}=(A\pm B)^{2}.\)
Exemples : \(4x^{2}-25=(2x-5)(2x+5)\) ; \(x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}\) ; \(9x^{2}-12x+4=(3x-2)^{2}.\) - Formules générales. Seulement si rien n'a marché : \(\Delta=b^{2}-4ac\), puis \(x_{1,2}=\dfrac{-b\mp\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).\)
Exemple : \(2x^{2}+3x-4\) : \(\Delta=9+32=41\), qui n'est pas un carré parfait, donc \(x_1=\dfrac{-3-\sqrt{41}}{4}\) et \(x_2=\dfrac{-3+\sqrt{41}}{4}.\)
Le réflexe de contrôle : redévelopper. Si la forme factorisée ne redonne pas le polynôme de départ, c'est qu'une racine ou le coefficient \(a\) est faux.
C — Résoudre une inéquation du second degré
- Tout ramener d'un côté pour obtenir \(ax^{2}+bx+c\) comparé à \(0.\) Ne jamais « diviser par \(x\) ».
- Chercher les racines (méthode B) et noter le signe de \(a.\)
- Tableau de signes, ou directement la règle : du signe de \(a\) à l'extérieur des racines, du signe de \(-a\) entre elles.
- Lire l'ensemble des solutions : crochets ouverts pour une inégalité stricte, fermés sinon ; \(\cup\) si la partie gardée est extérieure.
Exemple 1. Résoudre \(-x^{2}+4x-3\geqslant0.\) \(\Delta=16-12=4\), \(\sqrt{\Delta}=2\), racines \(\dfrac{-4-2}{-2}=3\) et \(\dfrac{-4+2}{-2}=1.\) Ici \(a=-1<0\), donc le polynôme est positif entre les racines : \(S=\left[1\,;3\right].\) Contrôle : en \(x=2\), \(-4+8-3=1\geqslant0.\)
Exemple 2. Résoudre \(x^{2}\geqslant3x+4.\) On ramène : \(x^{2}-3x-4\geqslant0.\) \(\Delta=9+16=25\), racines \(\dfrac{3-5}{2}=-1\) et \(\dfrac{3+5}{2}=4.\) Ici \(a=1>0\), donc \(S=\left]-\infty\,;-1\right]\cup\left[4\,;+\infty\right[.\)
D — Trouver le sommet
Deux chemins, au choix.
- Par la formule : \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\), puis \(\beta=f(\alpha)\) en remplaçant dans la forme développée.
- Par la complétion du carré : on met \(a\) en facteur, on complète le carré, on lit \(\alpha\) et \(\beta\) dans \(a(x-\alpha)^{2}+\beta.\)
Exemple. \(f(x)=x^{2}-6x+11.\) Formule : \(\alpha=\dfrac{6}{2}=3\) et \(\beta=f(3)=9-18+11=2.\) Complétion : \(x^{2}-6x+11=(x-3)^{2}-9+11=(x-3)^{2}+2.\) Même sommet \(S(3\,;2)\), et \(f\) admet un minimum égal à \(2.\)
On peut aussi retenir \(\beta=-\dfrac{\Delta}{4a}\), utile quand \(\Delta\) est déjà calculé. Sur l'exemple : \(\Delta=36-44=-8\), et \(-\dfrac{-8}{4}=2.\)
E — Déterminer un polynôme connaissant ses deux racines
- Écrire \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) avec \(a\) inconnu : les racines ne suffisent jamais à déterminer \(f.\)
- Utiliser une condition supplémentaire (une valeur \(f(x_0)\), le sommet, un point de la courbe) pour trouver \(a.\)
- Développer si l'énoncé demande la forme développée.
Exemple. \(f\) a pour racines \(-2\) et \(5\), et \(f(0)=-20.\) Alors \(f(x)=a(x+2)(x-5)\), donc \(f(0)=a\times2\times(-5)=-10a.\) De \(-10a=-20\) on tire \(a=2\), d'où \(f(x)=2(x+2)(x-5)=2x^{2}-6x-20.\)
Les cinq erreurs fréquentes
- Oublier le coefficient \(a\) dans la forme factorisée. \(2x^{2}-10x+12\) ne vaut pas \((x-2)(x-3)\) mais \(2(x-2)(x-3).\) Contrôle : \(2(x-2)(x-3)=2x^{2}-10x+12.\)
- Se tromper de signe dans le discriminant. Pour \(x^{2}-3x-4\) : \(\Delta=(-3)^{2}-4\times1\times(-4)=9+16=25\), et non \(9-16.\) Le \(-4ac\) devient un \(+\) quand \(c\) est négatif.
- Conclure « pas de solution » quand \(\Delta=0.\) Il y a bien une solution, la racine double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}.\) « Pas de solution », c'est \(\Delta<0.\)
- Inverser la règle de signe. Entre les racines, \(f\) est du signe de \(-a\), pas de \(a.\) Le contrôle en dix secondes : calculer \(f\) en un point situé entre les deux racines.
- Diviser une inéquation par un nombre négatif sans changer le sens. \(-2x>6\) équivaut à \(x<-3\), et non à \(x>-3.\)
3. Visualisation
Fais descendre \(\Delta\) sous zéro : la forme factorisée disparaît, alors que les deux autres restent. C'est tout le chapitre en une image.
4. Exercices
Exercice 1 — Factoriser sans discriminant Niveau 1
L'ordre n'a pas d'importance. Si la racine est double, écris-la dans les deux cases. Les fractions s'écrivent \(3/2\), les décimaux \(1{,}5.\)
Exercice 2 — Discriminant, puis racines Niveau 2
S'il n'y a pas de racine, écris aucune dans les deux cases. Si la racine est double, écris-la dans les deux cases.
Exercice 3 — Signe et optimisation Niveau 3
5. QCM
Quatre questions tirées au hasard dans une banque de dix-sept. Une seule bonne réponse par question.