Suites numériques : génération et variations

1Qu'est-ce qu'une suite ?

Une suite numérique est une fonction définie sur \(\mathbb N\) (ou à partir d'un certain rang) et à valeurs dans \(\mathbb R\) : à chaque entier \(n\) on associe un nombre réel \(u_n\).

Indice ≠ valeur. Pour la suite \(u_n = 2n + 5\) : le terme de rang \(3\) vaut \(u_3 = 11\). L'indice est \(3\), la valeur est \(11\). Le premier terme est \(u_0 = 5\) (et non \(u_1\)) si la suite est définie sur \(\mathbb N\).

Exemple : \(u_0 = 5,\ u_1 = 7,\ u_2 = 9,\ u_3 = 11,\ \dots\)

2Génération explicite : \(u_n = f(n)\)

Le terme \(u_n\) est donné par une formule en fonction de \(n\). On peut alors calculer directement n'importe quel terme, sans connaître les précédents.

Autre exemple : \(v_n = \dfrac{1}{n}\) pour \(n \geq 1\) : \(v_1 = 1,\ v_2 = 0{,}5,\ v_3 \approx 0{,}33,\ v_{1000} = 0{,}001\).

3Génération par récurrence : \(u_{n+1} = f(u_n)\)

On donne le premier terme et une relation qui permet de passer d'un terme au suivant. On calcule alors de proche en proche : pour connaître \(u_{10}\), il faut d'abord \(u_1, u_2, \dots, u_9\).

4Génération par algorithme et par motif

Algorithme. Une relation de récurrence se traduit naturellement par une boucle :

def u(n):
    x = 3              # u_0
    for k in range(n):  # n passages dans la boucle
        x = 3*x - 4       # u_(k+1) = 3 u_k - 4
    return x

print(u(4))            # affiche 83

Motif géométrique. Les nombres triangulaires comptent les points d'un triangle de côté \(n\) : \(T_1 = 1,\ T_2 = 3,\ T_3 = 6,\ T_4 = 10\). On observe \(T_{n+1} = T_n + (n+1)\) (récurrence) et on peut montrer \(T_n = \dfrac{n(n+1)}{2}\) (explicite).

Autre exemple : pour construire \(n\) carrés alignés avec des allumettes, il en faut \(a_n = 3n + 1\) (\(a_1 = 4\), \(a_2 = 7\), \(a_3 = 10\)) : chaque carré supplémentaire ajoute 3 allumettes.

5Représentation graphique

On représente une suite par le nuage de points de coordonnées \((n\,;\,u_n)\). Ce sont des points isolés : on ne les relie pas, car \(n\) ne prend que des valeurs entières.

Pour \(u_n = n^2 - 3n\) : points \((0;0),\ (1;-2),\ (2;-2),\ (3;0),\ (4;4),\ (5;10)\).

6Sens de variation

\((u_n)\) est croissante si pour tout \(n\), \(u_{n+1} \geq u_n\) ; décroissante si pour tout \(n\), \(u_{n+1} \leq u_n\) ; monotone si elle est l'une ou l'autre. (Inégalités strictes : strictement croissante / décroissante.)

Trois techniques :

1. Signe de la différence \(u_{n+1} - u_n\) (marche toujours).
   \(u_n = n^2 - 3n\) : \(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 3(n+1) - n^2 + 3n = 2n - 2\). Négatif pour \(n = 0\), nul pour \(n = 1\), positif ensuite : la suite n'est ni croissante ni décroissante sur \(\mathbb N\) (elle est croissante à partir du rang 1).
2. Quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) comparé à \(1\), uniquement si tous les termes sont strictement positifs.
   \(u_n = 2^n\) : \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 2 > 1\), donc croissante.
3. Variations de \(f\) si \(u_n = f(n)\) : si \(f\) est croissante sur \([0;+\infty[\), alors \((u_n)\) est croissante.
   \(u_n = \sqrt{n}\) : la fonction racine carrée est croissante, donc \((u_n)\) est croissante.

7Intuition de limite (sur exemples)

En Première, on observe seulement le comportement des termes quand \(n\) devient très grand ; la définition précise est vue en Terminale.

• \(u_n = \dfrac1n\) : \(1 ;\ 0{,}5 ;\ 0{,}1 ;\ 0{,}001 ;\dots\) les termes se rapprochent de \(0\) autant qu'on veut. On dit que la suite tend vers \(0\).
• \(u_n = n^2\) : \(0, 1, 4, 9, \dots, 10^6, \dots\) les termes dépassent n'importe quel nombre : la suite tend vers \(+\infty\).
• \(u_n = (-1)^n\) : \(1, -1, 1, -1, \dots\) la suite oscille sans se stabiliser : elle n'a pas de limite.

Pour calculer les premiers termes

1. Repérer l'indice de départ (\(n = 0\) ou \(n = 1\) ?) : « les trois premiers termes » de \(u_n = n^2 + 1\) pour \(n\geq 0\) sont \(u_0, u_1, u_2\).
2. Suite explicite : remplacer \(n\) par la valeur voulue, en mettant des parenthèses. \(u_n = (2n-1)^2\) ⇒ \(u_4 = (2\times 4 - 1)^2 = 49\).
3. Suite récurrente : partir du premier terme donné et appliquer la relation autant de fois que nécessaire, en écrivant chaque étape. Pour atteindre \(u_4\) depuis \(u_0\) : quatre calculs.

Pour passer d'un mode de génération à l'autre

• Langue naturelle → récurrence : « chaque année, la population augmente de 200 » ⇒ \(p_{n+1} = p_n + 200\). « Diminue de 10 % » ⇒ \(p_{n+1} = 0{,}9\,p_n\).
• Récurrence → explicite (cas simples) : calculer plusieurs termes, repérer une régularité, proposer une formule, puis la vérifier. \(u_0 = 1,\ u_{n+1} = u_n + 2\) donne \(1, 3, 5, 7\) ⇒ \(u_n = 2n + 1\).
• Explicite → récurrence : exprimer \(u_{n+1}\) puis chercher \(u_{n+1} - u_n\). \(u_n = 5n - 2\) ⇒ \(u_{n+1} - u_n = 5\) ⇒ \(u_{n+1} = u_n + 5\) avec \(u_0 = -2\).
• Formule → algorithme : une suite explicite se programme en une ligne (return 5*n - 2) ; une suite récurrente demande une boucle.

Pour étudier le sens de variation

1. \(u_n = f(n)\) avec \(f\) simple (affine, carré, racine, inverse…) : utiliser les variations de \(f\) sur \([0;+\infty[\). Exemple : \(u_n = 3 - 2n\), \(f\) affine de coefficient \(-2 < 0\) ⇒ décroissante.
2. Sinon, calculer \(u_{n+1} - u_n\), simplifier et étudier son signe pour tout \(n\). Exemple : \(u_n = n^2 + n\) ⇒ \(u_{n+1} - u_n = 2n + 2 > 0\) ⇒ croissante.
3. Si les termes sont des produits/puissances positifs : calculer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) et comparer à \(1\). Exemple : \(u_n = \dfrac{3^n}{n+1}\) (termes \(>0\)) ⇒ \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3(n+1)}{n+2} \geq 1\) ⇒ croissante.
4. Conclure avec une phrase : « pour tout \(n\), \(u_{n+1} - u_n \geq 0\) donc \((u_n)\) est croissante ».

Pour écrire l'algorithme Python d'une suite récurrente

def terme(n):
    u = u0            # 1. initialiser avec le premier terme
    for k in range(n): # 2. répéter n fois…
        u = f(u)      # 3. …la relation de récurrence
    return u          # 4. u contient u_n

Si le premier terme est \(u_1\), la boucle doit tourner \(n - 1\) fois : range(n - 1). Pour afficher tous les termes, placer le print dans la boucle.

Erreurs fréquentes

Exercice 1 — Suite explicite niveau 1

Exercice 2 — Suite récurrente niveau 2

Exercice 3 — Sens de variation niveau 3

Quatre questions tirées au hasard. Une seule bonne réponse par question.