13B · Intégration par parties et approximations

1. L’intégration par parties vient du produit

Pour u et v de classe C¹ sur [a,b] (dérivables à dérivées continues), on a :

Ce n’est pas « multiplier les primitives ». L’intérêt est de remplacer une intégrale difficile par une autre plus simple, en conservant le terme aux bornes.

2. Choisir le facteur à dériver

Pour intégrer x eˣ, choisir u = x et v′ = eˣ : alors u′ = 1 et v = eˣ. D’où :

Un polynôme devient souvent plus simple lorsqu’on le dérive. Pour ln x sur [1,2], on peut prendre u = ln x et v′ = 1, donc u′ = 1/x et v = x :

Le logarithme impose un intervalle positif. Garder les valeurs exactes jusqu’à la dernière étape ; arrondir seulement si demandé.

3. Une suite d’intégrales s’étudie aussi par comparaison

Pour n entier naturel, posons :

Pour n = 0, x⁰ représente ici la fonction constante 1 sur [0,1]. Sur cet intervalle, les intégrandes sont positives et xⁿ⁺¹(1−x) ≤ xⁿ(1−x). En intégrant :

Comme 0 ≤ xⁿ(1−x) ≤ xⁿ, on obtient aussi :

Les gendarmes donnent Jₙ → 0. Un calcul direct en développant fournit :

Donc J₀ = 1/2 et la suite vérifie Jₙ₊₁ = ((n+1)/(n+3)) Jₙ. Un calcul explicite peut confirmer une étude faite d’abord par comparaison.

4. Obtenir une récurrence par parties

Autre exemple : Iₙ est l’intégrale de xⁿ eˣ sur [0,1]. On a I₀ = e−1. Pour n ≥ 1, choisir u = xⁿ et v′ = eˣ donne :

La restriction n ≥ 1 compte : à x = 0, le terme xⁿ est alors nul. Par exemple I₁ = 1 et I₂ = e−2. L’intégrande étant positive, un résultat négatif signalerait une erreur.

Comme xⁿ eˣ ≤ e xⁿ sur [0,1], on a 0 ≤ Iₙ ≤ e/(n+1), donc Iₙ → 0. Numériquement, des soustractions répétées dans la récurrence peuvent amplifier les erreurs d’arrondi : conserver la précision.

5. Rectangles : une somme qui approche une intégrale

Pour f continue sur [a,b], a < b, on découpe en n ≥ 1 sous-intervalles de largeur h = (b−a)/n, avec xᵢ = a + ih. Les sommes à gauche et à droite sont :

Chaque terme est « hauteur × largeur ». Les sommes convergent vers l’intégrale quand n tend vers l’infini. Si f est croissante, Lₙ ≤ intégrale ≤ Rₙ ; si elle est décroissante, les rôles sont inversés. Une fonction qui change de signe reste intégrée avec ses hauteurs signées.

Pour f croissante, la largeur de l’encadrement est :

En effet, tous les termes intérieurs se compensent. Pour f(x) = x² sur [0,1] et n = 2 : L₂ = 1/8, R₂ = 5/8, et 1/8 ≤ 1/3 ≤ 5/8. Sans monotonie, on ne peut pas annoncer cet encadrement à partir des seules extrémités.

6. Milieux, trapèzes et contrôle du résultat

La méthode des milieux prend la hauteur au centre de chaque sous-intervalle. La méthode des trapèzes utilise la moyenne des hauteurs aux deux extrémités. Pour une subdivision régulière :

Ces méthodes convergent pour une fonction continue. Sans hypothèse supplémentaire, ni Mₙ ni Tₙ n’est toujours une borne supérieure ou inférieure. Afficher plusieurs décimales ne prouve pas qu’elles sont toutes exactes.

def rectangles_gauche(f, a, b, n):
    if not isinstance(n, int) or n < 1:
        raise ValueError("n doit être un entier naturel non nul")
    h = (b - a) / n
    return h * sum(f(a + i * h) for i in range(n))

1. Essayer une primitive connue. Sinon, pour un produit, choisir u et v′ puis écrire u′ et v avant tout calcul.
2. Écrire la formule d’intégration par parties complète, avec les bornes et le signe moins.
3. Pour une suite d’intégrales : positivité, comparaison des termes, majoration simple, puis limite ; une récurrence peut faciliter les calculs.
4. Pour une approximation : préciser l’intervalle, n, le pas et le point choisi dans chaque sous-intervalle.
5. Distinguer valeur approchée, erreur et largeur d’encadrement. Contrôler les unités et un ordre de grandeur.

Le travail sur les primitives de 12A et sur les propriétés de l’intégrale de 13A reste le point d’appui. La méthode numérique est utile même si aucune primitive explicite n’est connue.

Comparer quatre méthodes numériques

Fonction f(x) = a x² + c sur [0,b]. Elle est monotone sur cet intervalle : les sommes gauche et droite donnent donc un encadrement, même quand a est négatif. Les zones bleues sont positives, les zones corail négatives.

Les valeurs affichées sont approchées. La différence entre l’approximation choisie et la valeur exacte peut être positive, négative ou nulle.

Une famille de courbes, une suite d’aires

Sur [0,1], on dessine xⁿ(1−x) en bleu et xⁿ⁺¹(1−x) en vert. Le graphe suivant ne passe jamais au-dessus du précédent. Son aire Jₙ₊₁ est plus petite.

L’échelle verticale reste fixe pour voir les aires diminuer. Pour n = 0, x⁰ désigne la fonction constante 1.

Exercice 1 · Intégrer par parties Niveau 1

Exercice 2 · Une suite d’intégrales Niveau 2

Exercice 3 · Un encadrement par rectangles Niveau 3

Quatre questions tirées dans une banque de douze. Une seule réponse correcte par question.