Orthogonalité et distances dans l'espace

1. Produit scalaire, norme et distance en repère orthonormé Terminale

Dans un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\) de l'espace, si \(\vec u\,(x;y;z)\) et \(\vec v\,(x';y';z')\) :

Exemple. \(\vec u\,(2;-1;3)\) et \(\vec v\,(1;4;2)\) : \(\vec u\cdot\vec v = 2\times1+(-1)\times4+3\times2 = 2-4+6 = 4\) et \(\|\vec u\| = \sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}\).
Avec \(A(1;0;2)\) et \(B(3;-2;3)\) : \(\vec{AB}\,(2;-2;1)\) donc \(AB=\sqrt{4+4+1}=3\).

Même formule qu'en Première, avec une troisième coordonnée en plus. C'est aussi vrai que \(\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)\), ce qui permet de calculer un angle.

2. Propriétés (identiques au plan) Première

• Symétrie : \(\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u\).
• Bilinéarité : \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w\) et \((k\vec u)\cdot\vec v = k\,(\vec u\cdot\vec v)\).
• Carré scalaire : \(\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2\).
• Développement : \(\|\vec u+\vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v + \|\vec v\|^2\).
• Polarisation : \(\vec u\cdot\vec v = \tfrac12\left(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\right) = \tfrac14\left(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\right)\).

Exemple. Si \(\|\vec u\|=2\), \(\|\vec v\|=3\) et \(\|\vec u+\vec v\|=4\), alors \(\vec u\cdot\vec v = \tfrac12(16-4-9)=\tfrac32\).

3. Orthogonalité : vecteurs, droites, droite et plan Terminale

• \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux \(\iff \vec u\cdot\vec v = 0\) (le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur).
• Deux droites sont orthogonales \(\iff\) leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux (elles ne se coupent pas forcément : « orthogonales » n'est pas « perpendiculaires »).
• Une droite est orthogonale à un plan \(\iff\) son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. Elle est alors orthogonale à toutes les droites du plan.

Exemple. \(\vec n\,(1;-2;1)\), \(\vec u_1\,(2;1;0)\), \(\vec u_2\,(1;1;1)\) : \(\vec n\cdot\vec u_1 = 2-2+0=0\) et \(\vec n\cdot\vec u_2 = 1-2+1=0\). Comme \(\vec u_1\) et \(\vec u_2\) ne sont pas colinéaires, \(\vec n\) est orthogonal au plan dirigé par \(\vec u_1,\vec u_2\).

4. Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan Terminale Démonstration exigible

Un vecteur normal à un plan \(\mathcal P\) est un vecteur non nul orthogonal à \(\mathcal P\). Un plan est entièrement déterminé par un point \(A\) et un vecteur normal \(\vec n\).

Démonstration. \(M(x;y;z)\in\mathcal P \iff \vec{AM}\perp\vec n \iff \vec{AM}\cdot\vec n = 0 \iff a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0 \iff ax+by+cz\underbrace{-(ax_A+by_A+cz_A)}_{d}=0.\)

Exemple. Plan passant par \(A(1;2;-1)\) de vecteur normal \(\vec n\,(3;-1;2)\) : \(3(x-1)-(y-2)+2(z+1)=0\), soit \(3x-y+2z+1=0\). Vérification : \(3\times1-2+2\times(-1)+1 = 0\) ✓.

Attention : une équation de plan n'est pas unique. \(6x-2y+4z+2=0\) décrit le même plan (on peut multiplier par un réel non nul).

5. Représentation paramétrique d'une droite Terminale

La droite \(\mathcal D\) passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\) et de vecteur directeur \(\vec u\,(\alpha;\beta;\gamma)\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{AM} = t\,\vec u\), \(t\in\mathbb R\) :

Chaque valeur du paramètre \(t\) donne un point de la droite ; \(t=0\) donne \(A\), \(t=1\) donne \(A+\vec u\).

Exemple. \(A(2;0;-1)\), \(\vec u\,(1;3;-2)\) : \(\mathcal D : x=2+t,\ y=3t,\ z=-1-2t\). Le point \(B(4;6;-5)\) est-il sur \(\mathcal D\) ? \(x=4\Rightarrow t=2\) ; alors \(y=6\) ✓ et \(z=-1-4=-5\) ✓ : oui.

Un plan n'a pas d'équation paramétrique au programme : on le décrit par une équation cartésienne. Une droite n'a pas d'équation cartésienne unique dans l'espace : on la décrit par une représentation paramétrique.

6. Projeté orthogonal et distance d'un point à un plan Terminale Démonstration exigible

Le projeté orthogonal de \(M\) sur le plan \(\mathcal P\) est le point \(H\in\mathcal P\) tel que \(\vec{MH}\) soit normal à \(\mathcal P\), c'est-à-dire \(\vec{MH}\) colinéaire à \(\vec n\).

Théorème. \(H\) est le point de \(\mathcal P\) le plus proche de \(M\) : pour tout \(N\in\mathcal P\), \(MN\ge MH\). La distance de \(M\) au plan est \(d(M,\mathcal P)=MH\).

Démonstration. Soit \(N\in\mathcal P\). \(\vec{HN}\) est dans le plan et \(\vec{MH}\) est normal, donc \(\vec{MH}\cdot\vec{HN}=0\). Alors \(MN^2 = \|\vec{MH}+\vec{HN}\|^2 = MH^2 + 2\,\vec{MH}\cdot\vec{HN} + HN^2 = MH^2+HN^2 \ge MH^2\) (théorème de Pythagore). Égalité si et seulement si \(N=H\).

Exemple. \(\mathcal P : 2x+y+2z-3=0\) (donc \(\vec n\,(2;1;2)\), \(\|\vec n\|=\sqrt{4+1+4}=3\)) et \(M(1;2;4)\). On pose \(H(1+2t;\,2+t;\,4+2t)\). \(H\in\mathcal P\iff 2(1+2t)+(2+t)+2(4+2t)-3=0\iff 9t+9=0\iff t=-1\). Donc \(H(-1;1;2)\) (vérification : \(-2+1+4-3=0\) ✓) et \(MH=|t|\,\|\vec n\| = 1\times3 = 3\).

7. Projeté orthogonal sur une droite, distance point-droite Terminale

Le projeté orthogonal de \(M\) sur la droite \(\mathcal D\) (point \(A\), vecteur directeur \(\vec u\)) est le point \(H\in\mathcal D\) tel que \(\vec{MH}\cdot\vec u = 0\).

Exemple. \(\mathcal D\) : \(A(1;0;0)\), \(\vec u\,(1;1;0)\) ; \(M(3;1;2)\). \(H(1+t;\,t;\,0)\), \(\vec{MH}\,(t-2;\,t-1;\,-2)\). \(\vec{MH}\cdot\vec u = (t-2)+(t-1) = 2t-3 = 0 \iff t=\tfrac32\). Donc \(H\left(\tfrac52;\tfrac32;0\right)\) et \(MH=\sqrt{\tfrac14+\tfrac14+4}=\sqrt{\tfrac92}=\tfrac{3\sqrt2}{2}\).

Approfondissement (hors programme, facultatif) : on peut montrer que \(d(M,\mathcal P) = \dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\). Au bac, on attend la méthode par projeté ; cette formule ne sert qu'à vérifier un résultat.

Montrer qu'un vecteur \(\vec n\) est normal à un plan

1. Choisir deux vecteurs non colinéaires du plan (par exemple \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) si le plan est \((ABC)\)) ; vérifier qu'ils ne sont pas colinéaires (coordonnées non proportionnelles).
2. Calculer \(\vec n\cdot\vec{AB}\) et \(\vec n\cdot\vec{AC}\).
3. Si les deux produits scalaires sont nuls, conclure : \(\vec n\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, donc \(\vec n\) est normal au plan.

Pour trouver un vecteur normal quand on connaît \(A,B,C\) : on cherche \((a;b;c)\) tel que \(\vec n\cdot\vec{AB}=0\) et \(\vec n\cdot\vec{AC}=0\) (deux équations, trois inconnues : on fixe une coordonnée, par exemple \(c=1\), et on résout).

Équation cartésienne d'un plan

1. Identifier un point \(A\) du plan et un vecteur normal \(\vec n\,(a;b;c)\).
2. Écrire \(ax+by+cz+d=0\) : les coefficients de \(x,y,z\) sont les coordonnées de \(\vec n\).
3. Trouver \(d\) en utilisant que \(A\) est dans le plan : \(a x_A+b y_A+c z_A + d = 0\).
4. Vérifier en remplaçant les coordonnées de \(A\) (ou d'un autre point connu) dans l'équation.

Représentation paramétrique d'une droite

1. Identifier un point \(A\) de la droite et un vecteur directeur \(\vec u\) (par exemple \(\vec{AB}\) pour la droite \((AB)\)).
2. Écrire \(x = x_A+\alpha t,\ y=y_A+\beta t,\ z=z_A+\gamma t\), \(t\in\mathbb R\).
3. Pour savoir si un point appartient à la droite : résoudre une des trois équations en \(t\), puis vérifier les deux autres avec la même valeur de \(t\).

Intersection d'une droite et d'un plan

1. Vérifier que la droite n'est pas parallèle au plan : \(\vec u\cdot\vec n\neq0\) (sinon, la droite est contenue dans le plan ou strictement parallèle).
2. Substituer les expressions paramétriques \(x(t),y(t),z(t)\) dans l'équation du plan.
3. Résoudre l'équation du premier degré obtenue en \(t\).
4. Reporter cette valeur de \(t\) dans la représentation paramétrique pour obtenir les coordonnées du point d'intersection ; vérifier qu'il satisfait l'équation du plan.

Projeté orthogonal et distance d'un point \(M\) à un plan

1. Lire le vecteur normal \(\vec n\,(a;b;c)\) dans l'équation du plan.
2. Écrire la droite \(\Delta\) passant par \(M\) et dirigée par \(\vec n\) : \(x=x_M+at,\ y=y_M+bt,\ z=z_M+ct\).
3. Le projeté \(H\) est l'intersection de \(\Delta\) et du plan : substituer, résoudre en \(t\), calculer \(H\).
4. Calculer \(MH = \|\vec{MH}\| = |t|\,\|\vec n\| = |t|\sqrt{a^2+b^2+c^2}\). C'est la distance de \(M\) au plan.

Pour une droite : \(H=A+t\vec u\) et on impose \(\vec{MH}\cdot\vec u=0\) au lieu de substituer dans une équation.

Erreurs fréquentes

Vue 1 · Plan \(ax+by+cz+d=0\), point \(M\) et son projeté \(H\)

Le cube a pour arêtes \([0;4]\). Le plan est dessiné en bleu (sa trace dans le cube), le vecteur normal \(\vec n\) en violet depuis \(H\), le point \(M\) en corail et le projeté \(H\) en vert. Fais tourner la vue avec les deux premiers curseurs.

Vue 2 · Droite paramétrée \(M(t) = A + t\,\vec u\)

Le point \(A\) est en bleu, le vecteur directeur \(\vec u\) en violet, le point courant \(M(t)\) en corail. Fais varier \(t\) pour parcourir la droite ; \(t=0\) donne \(A\), \(t=1\) donne \(A+\vec u\).

Exercice 1 Niveau 1 · Équation cartésienne d'un plan

Exercice 2 Niveau 2 · Intersection d'une droite et d'un plan

Exercice 3 Niveau 3 · Projeté orthogonal et distance d'un point à un plan

Quatre questions tirées au hasard dans une banque. Une seule réponse par question ; feedback immédiat.