Cours · Le cercle donne le sens
1. Un cercle orienté, une mesure en radians
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé. On part de I(1 ; 0). Le sens positif est le sens inverse des aiguilles d’une montre ; un angle négatif se parcourt dans l’autre sens.
Sur le cercle unité, un radian correspond à un arc de longueur 1. En enroulant la droite réelle sur le cercle, chaque réel x, mesuré en radians, détermine un point M. Plusieurs réels peuvent donner le même point.
2. Convertir et mesurer un parcours
Pour passer des degrés aux radians, multiplier par π/180. Dans l’autre sens, multiplier par 180/π.
Sur un cercle de rayon R, une rotation de θ radians, parcourue dans un seul sens, donne une longueur totale :
Exemple : une rotation de −5π/2 sur un cercle de rayon 2 cm représente un parcours de 5π cm. Pour une longueur parcourue, on ne supprime pas les tours complets. Pour retrouver le point d’arrivée, on peut les supprimer.
3. Cosinus : horizontal. Sinus : vertical.
Par définition, M a pour coordonnées (cos x ; sin x). Pour un angle aigu, le triangle rectangle obtenu par projection retrouve les rapports connus : cosinus = côté adjacent / hypoténuse, sinus = côté opposé / hypoténuse.
La dernière identité vient de OM² = 1 et du théorème de Pythagore. Les signes se lisent sur les coordonnées : à gauche le cosinus est négatif ; en dessous le sinus est négatif.
4. Les valeurs remarquables se construisent
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | \(\sqrt3/2\) | \(\sqrt2/2\) | 1/2 | 0 |
| sin x | 0 | 1/2 | \(\sqrt2/2\) | \(\sqrt3/2\) | 1 |
Démonstration exigible · sin(π/4)
À l’angle π/4, le triangle rectangle de côtés parallèles aux axes est isocèle. Les coordonnées positives du point M sont donc égales : cos(π/4) = sin(π/4) = t. Comme M est sur le cercle unité :
\[2t^2=1,\]\[ t>0.\]Donc \(t=1/\sqrt2=\sqrt2/2.\) En particulier, \(\sin(\pi/4)=\sqrt2/2.\)
Démonstration exigible · cos(π/3) et sin(π/3)
On coupe un triangle équilatéral de côté 1 par une hauteur. On obtient un triangle rectangle d’hypoténuse 1, d’angle π/3 à la base et de côté adjacent 1/2. Ainsi cos(π/3) = 1/2. La hauteur h est positive et vérifie :
\[h^2=1-(1/2)^2=3/4.\]Donc h = √3/2 et sin(π/3) = √3/2. Les angles aigus étant complémentaires, le même triangle fournit aussi les valeurs en π/6.
5. Retrouver les angles associés
Les symétries du cercle évitent de mémoriser une table immense. Par rapport à l’axe horizontal, l’abscisse reste identique et l’ordonnée change de signe :
\[\cos(-x)=\cos x.\]\[\sin(-x)=-\sin x.\]Le cosinus est pair et le sinus est impair. La symétrie par rapport à l’axe vertical donne :
\[\cos(\pi-x)=-\cos x.\]\[\sin(\pi-x)=\sin x.\]Enfin, le point diamétralement opposé a ses deux coordonnées opposées :
\[\cos(\pi+x)=-\cos x.\]\[\sin(\pi+x)=-\sin x.\]6. Périodicité et lecture des courbes
Ajouter un nombre entier de tours conserve le point M. Pour tout entier relatif k :
\[\cos(x+2k\pi)=\cos x.\]\[\sin(x+2k\pi)=\sin x.\]Les deux fonctions sont périodiques de période 2π. Leurs courbes se répètent par translation horizontale de 2π. La courbe du cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; celle du sinus par rapport à l’origine.
À la calculatrice, utiliser le mode radians lorsque l’angle est donné en radians. Une valeur exacte comme √2/2 n’est pas égale à son arrondi 0,707 : lire la précision demandée.
Méthode · Angle, point ou longueur ?
- Repérer l’unité. Convertir en radians si nécessaire, sans perdre le signe.
- Pour un sinus ou un cosinus, enlever des multiples de 2π afin de retrouver un angle connu.
- Placer le point dans le bon quadrant, puis lire le signe et la valeur remarquable.
- Pour une longueur totale, conserver tous les tours et calculer R|θ|.
- Ne faire un arrondi que si l’énoncé le demande.
Exemple : −7π/6 et 5π/6 ont le même point image. Ainsi cos(−7π/6) = −√3/2 et sin(−7π/6) = 1/2. Ce sont les coordonnées du point du deuxième quadrant.
Visualisation · Du cercle aux deux courbes
Déplace l’angle, exprimé en multiples de π/12. Le point sur le cercle et les points sur les courbes représentent le même réel x. Les valeurs affichées avec ≈ sont approchées.
Bleu : cosinus (abscisse). Vert : sinus (ordonnée). L’angle peut dépasser un tour.
Bleu : cos x ; vert : sin x. La droite verticale indique x. + un tour déplace les points sur les courbes mais conserve leurs ordonnées et le point du cercle.
Exercices
Respecte la précision de chaque exercice : valeur exacte, arrondi au millième ou entier. Les fractions et décimaux équivalents sont acceptés.
Exercice 1 · Degrés et radians Niveau 1
Exercice 2 · Une valeur au millième Niveau 2
Exercice 3 · Une longueur parcourue Niveau 3
QCM
Quatre questions tirées dans une banque de douze. Une seule réponse correcte par question.