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1. Cours
1Le raisonnement par récurrence
C'est un outil nouveau en Terminale. Il sert à démontrer qu'une propriété \(P(n)\) est vraie pour tous les entiers \(n\) à partir d'un certain rang, alors qu'on ne peut évidemment pas vérifier une infinité de cas.
Principe (image des dominos). Si le premier domino tombe (initialisation) et si « chaque domino qui tombe fait tomber le suivant » (hérédité), alors tous les dominos tombent (conclusion).
Modèle de rédaction (type bac) — à recopier à chaque fois
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on note \(P(n)\) la propriété : « …énoncé… ».
Initialisation. Pour \(n=0\) : … On calcule les deux membres séparément et on constate l'égalité (ou l'inégalité). Donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\in\mathbb N\). Supposons \(P(n)\) vraie, c'est-à-dire « … » (hypothèse de récurrence). Montrons que \(P(n+1)\) est vraie, c'est-à-dire « … ». (calcul, en partant de \(u_{n+1}\) et en utilisant l'hypothèse) Donc \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. \(P(0)\) est vraie et \(P\) est héréditaire ; d'après le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\in\mathbb N\).
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on note \(P(n)\) la propriété : « …énoncé… ».
Initialisation. Pour \(n=0\) : … On calcule les deux membres séparément et on constate l'égalité (ou l'inégalité). Donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\in\mathbb N\). Supposons \(P(n)\) vraie, c'est-à-dire « … » (hypothèse de récurrence). Montrons que \(P(n+1)\) est vraie, c'est-à-dire « … ». (calcul, en partant de \(u_{n+1}\) et en utilisant l'hypothèse) Donc \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. \(P(0)\) est vraie et \(P\) est héréditaire ; d'après le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\in\mathbb N\).
Exemple 1 — une égalité. \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=3u_n+2\). Montrons que pour tout \(n\), \(u_n=2\times 3^n-1\).
Initialisation : \(u_0=1\) et \(2\times 3^0-1=2-1=1\). Les deux membres sont égaux, donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité : soit \(n\in\mathbb N\), supposons \(u_n=2\times 3^n-1\). Alors \[u_{n+1}=3u_n+2=3\bigl(2\times 3^n-1\bigr)+2=2\times 3^{n+1}-3+2=2\times 3^{n+1}-1.\] C'est exactement \(P(n+1)\).
Conclusion : pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u_n=2\times 3^n-1\).
Hérédité : soit \(n\in\mathbb N\), supposons \(u_n=2\times 3^n-1\). Alors \[u_{n+1}=3u_n+2=3\bigl(2\times 3^n-1\bigr)+2=2\times 3^{n+1}-3+2=2\times 3^{n+1}-1.\] C'est exactement \(P(n+1)\).
Conclusion : pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u_n=2\times 3^n-1\).
Exemple 2 — une majoration. \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\tfrac12 u_n+3\). Montrons que pour tout \(n\), \(u_n\leq 6\).
Initialisation : \(u_0=0\leq 6\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité : soit \(n\in\mathbb N\), supposons \(u_n\leq 6\). En multipliant par \(\tfrac12>0\) (le sens de l'inégalité est conservé) : \(\tfrac12u_n\leq 3\). En ajoutant \(3\) : \(\tfrac12u_n+3\leq 6\), c'est-à-dire \(u_{n+1}\leq 6\).
Conclusion : pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u_n\leq 6\). La suite est majorée par 6.
Hérédité : soit \(n\in\mathbb N\), supposons \(u_n\leq 6\). En multipliant par \(\tfrac12>0\) (le sens de l'inégalité est conservé) : \(\tfrac12u_n\leq 3\). En ajoutant \(3\) : \(\tfrac12u_n+3\leq 6\), c'est-à-dire \(u_{n+1}\leq 6\).
Conclusion : pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u_n\leq 6\). La suite est majorée par 6.
Trois pièges. (1) L'initialisation n'est pas facultative : sans elle, on peut « démontrer » n'importe quoi. (2) On suppose \(P(n)\) vraie pour un \(n\) fixé, jamais « pour tout \(n\) » (sinon il n'y aurait plus rien à démontrer). (3) On part de \(u_{n+1}\) (ou du membre de gauche de \(P(n+1)\)) et on utilise l'hypothèse ; on ne part pas de ce qu'on veut prouver.
2Limite infinie : \(+\infty\) et \(-\infty\)
Définition. \((u_n)\) tend vers \(+\infty\) si tout intervalle \([A\,;+\infty[\) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Autrement dit : pour tout réel \(A\), il existe un entier \(N\) tel que pour tout \(n\geq N\), \(u_n\geq A\). On note \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).
Autrement dit : pour tout réel \(A\), il existe un entier \(N\) tel que pour tout \(n\geq N\), \(u_n\geq A\). On note \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).
Exemple. \(u_n=n^2\). Prenons \(A=1000\) : dès que \(n\geq 32\) on a \(n^2\geq 1024\geq 1000\). Le rang \(N=32\) convient. Si on prend \(A=10^6\), il faut \(N=1000\) : \(N\) grandit avec \(A\), mais il existe toujours. C'est cela, tendre vers \(+\infty\).
Limite \(-\infty\). \((u_n)\) tend vers \(-\infty\) si tout intervalle \(]-\infty\,;A]\) contient tous les termes à partir d'un certain rang. Équivalent pratique : \(\lim u_n=-\infty\) si et seulement si \(\lim(-u_n)=+\infty\).
« Tendre vers \(+\infty\) » ne veut pas dire « être croissante ». La suite \(u_n=n+(-1)^n\) : \(1,\ 0,\ 3,\ 2,\ 5,\ 4,\dots\) n'est pas croissante et pourtant elle tend vers \(+\infty\).
3Suite convergente : limite finie \(\ell\)
Définition. \((u_n)\) converge vers le réel \(\ell\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Version « avec \(\varepsilon\) » : pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(N\) tel que pour tout \(n\geq N\), \(|u_n-\ell|\leq\varepsilon\) (les termes sont dans la bande \([\ell-\varepsilon\,;\ell+\varepsilon]\)).
Version « avec \(\varepsilon\) » : pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(N\) tel que pour tout \(n\geq N\), \(|u_n-\ell|\leq\varepsilon\) (les termes sont dans la bande \([\ell-\varepsilon\,;\ell+\varepsilon]\)).
Exemple. \(u_n=\dfrac1n\) converge vers \(0\) : pour \(\varepsilon=0{,}01\), tous les termes de rang \(n\geq 100\) vérifient \(|u_n-0|\leq 0{,}01\).
Vocabulaire. Une suite est convergente si elle a une limite finie. Sinon elle est divergente — et il y a deux façons de diverger : tendre vers \(\pm\infty\) (comme \(n^2\)) ou n'avoir aucune limite (comme \((-1)^n\), qui oscille entre \(-1\) et \(1\)).
Limites de référence. \(\displaystyle\lim\frac1n=\lim\frac{1}{n^2}=\lim\frac{1}{\sqrt n}=0\) ; \(\displaystyle\lim n=\lim n^2=\lim\sqrt n=+\infty\). (Unicité de la limite : une suite ne peut pas avoir deux limites différentes.)
4Opérations sur les limites et formes indéterminées
Les limites se combinent « comme on l'espère »… sauf dans quatre cas.
| \(\lim u_n\) | \(\lim v_n\) | \(\lim(u_n+v_n)\) | \(\lim(u_n\times v_n)\) |
|---|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell'\) | \(\ell+\ell'\) | \(\ell\ell'\) |
| \(\ell\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(\pm\infty\) selon le signe de \(\ell\) (\(\ell\neq0\)) |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(+\infty\) | \(-\infty\) | F.I. \(\infty-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(0\) | \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) | F.I. \(0\times\infty\) |
Les quatre formes indéterminées : \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\), \(\dfrac{0}{0}\). « Indéterminée » ne veut pas dire « pas de limite » : cela veut dire on ne peut pas conclure sans transformer l'écriture. Écrire « \(\lim u_n=\infty-\infty=0\) » est une faute grave.
Levée d'une F.I. : on factorise par le terme dominant (celui de plus haut degré, ou la plus grande puissance).
\(u_n=n^2-5n\) : F.I. \(\infty-\infty\). On factorise par \(n^2\) : \(u_n=n^2\Bigl(1-\dfrac5n\Bigr)\). Or \(\dfrac5n\to0\) donc \(1-\dfrac5n\to1\), et \(n^2\to+\infty\) : par produit, \(u_n\to+\infty\).
\(u_n=\dfrac{3n^2-n+1}{2n^2+5}\) : F.I. \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On factorise haut et bas par \(n^2\) :
\[u_n=\frac{n^2\Bigl(3-\frac1n+\frac{1}{n^2}\Bigr)}{n^2\Bigl(2+\frac{5}{n^2}\Bigr)}=\frac{3-\frac1n+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{5}{n^2}}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\frac{3}{2}.\]
Astuce des racines. \(\sqrt{n+1}-\sqrt n\) est une F.I. \(\infty-\infty\). On multiplie par la quantité conjuguée :
\(\sqrt{n+1}-\sqrt n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\to 0\).
5Comparaison et théorème des gendarmes
Théorème de comparaison. Si \(u_n\geq v_n\) à partir d'un certain rang et si \(\lim v_n=+\infty\), alors \(\lim u_n=+\infty\).démonstration exigible
De même, si \(u_n\leq v_n\) à partir d'un certain rang et \(\lim v_n=-\infty\), alors \(\lim u_n=-\infty\).
De même, si \(u_n\leq v_n\) à partir d'un certain rang et \(\lim v_n=-\infty\), alors \(\lim u_n=-\infty\).
Démonstration (minoration par une suite qui tend vers \(+\infty\)). Soit \(A\) un réel quelconque. Comme \(v_n\to+\infty\), il existe \(N_1\) tel que pour tout \(n\geq N_1\), \(v_n\geq A\). Par hypothèse il existe \(N_2\) tel que pour tout \(n\geq N_2\), \(u_n\geq v_n\). Posons \(N=\max(N_1,N_2)\) : pour tout \(n\geq N\), \(u_n\geq v_n\geq A\). Donc tout intervalle \([A\,;+\infty[\) contient tous les \(u_n\) à partir du rang \(N\) : \(u_n\to+\infty\). ∎
Théorème des gendarmes. Si \(v_n\leq u_n\leq w_n\) à partir d'un certain rang et si \(\lim v_n=\lim w_n=\ell\) (même limite finie), alors \((u_n)\) converge et \(\lim u_n=\ell\).
Exemple. \(u_n=2+\dfrac{(-1)^n}{n}\) pour \(n\geq1\). Comme \(-1\leq(-1)^n\leq 1\), on a \(2-\dfrac1n\leq u_n\leq 2+\dfrac1n\). Les deux « gendarmes » tendent vers \(2\), donc \(u_n\to 2\) — alors que la suite n'est ni croissante ni décroissante.
Les deux gendarmes doivent avoir la même limite. Avec \(-1\leq(-1)^n\leq1\) on ne conclut rien : \(((-1)^n)\) n'a pas de limite.
6Comportement de \((q^n)\) et inégalité de Bernoulli
Théorème. Soit \(q\) un réel.
- si \(q>1\) : \(\lim q^n=+\infty\) ;
- si \(q=1\) : \(q^n=1\) pour tout \(n\), la suite est constante, \(\lim q^n=1\) ;
- si \(-1<q<1\) : \(\lim q^n=0\) ;
- si \(q\leq-1\) : la suite \((q^n)\) n'a pas de limite (elle oscille en changeant de signe).
Inégalité de Bernoullidémonstration exigible
Pour tout réel \(a\geq 0\) et tout entier \(n\geq0\) : \((1+a)^n\geq 1+na\).
Récurrence sur \(n\), à \(a\) fixé. \(P(n)\) : « \((1+a)^n\geq1+na\) ».
Initialisation : \((1+a)^0=1\) et \(1+0\times a=1\) : \(1\geq1\), \(P(0)\) est vraie.
Hérédité : soit \(n\in\mathbb N\) ; supposons \((1+a)^n\geq1+na\). Comme \(1+a>0\), on peut multiplier les deux membres par \(1+a\) sans changer le sens : \[(1+a)^{n+1}\geq(1+na)(1+a)=1+(n+1)a+na^2\geq 1+(n+1)a,\] car \(na^2\geq0\). Donc \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion : l'inégalité est vraie pour tout \(n\in\mathbb N\). ∎
Pour tout réel \(a\geq 0\) et tout entier \(n\geq0\) : \((1+a)^n\geq 1+na\).
Récurrence sur \(n\), à \(a\) fixé. \(P(n)\) : « \((1+a)^n\geq1+na\) ».
Initialisation : \((1+a)^0=1\) et \(1+0\times a=1\) : \(1\geq1\), \(P(0)\) est vraie.
Hérédité : soit \(n\in\mathbb N\) ; supposons \((1+a)^n\geq1+na\). Comme \(1+a>0\), on peut multiplier les deux membres par \(1+a\) sans changer le sens : \[(1+a)^{n+1}\geq(1+na)(1+a)=1+(n+1)a+na^2\geq 1+(n+1)a,\] car \(na^2\geq0\). Donc \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion : l'inégalité est vraie pour tout \(n\in\mathbb N\). ∎
Conséquence : \(q>1\Rightarrow q^n\to+\infty\).démonstration exigible On écrit \(q=1+a\) avec \(a=q-1>0\). Bernoulli donne \(q^n\geq 1+na\). Or \(1+na\to+\infty\) (suite arithmétique de raison \(a>0\)), donc par comparaison \(q^n\to+\infty\). ∎
Et si \(-1<q<1\) avec \(q\neq0\) : \(\left|\frac1q\right|>1\) donc \(\left|\frac1q\right|^n\to+\infty\), donc \(|q|^n=\dfrac{1}{|1/q|^n}\to0\), donc \(q^n\to0\).
Et si \(-1<q<1\) avec \(q\neq0\) : \(\left|\frac1q\right|>1\) donc \(\left|\frac1q\right|^n\to+\infty\), donc \(|q|^n=\dfrac{1}{|1/q|^n}\to0\), donc \(q^n\to0\).
Application. Une suite géométrique \(u_n=u_0q^n\) : avec \(q=1{,}05\) (hausse de 5 % par an) elle explose vers \(+\infty\) ; avec \(q=0{,}95\) elle tend vers \(0\) ; avec \(q=-1{,}2\) elle n'a pas de limite.
7Suites monotones et étude de \(u_{n+1}=f(u_n)\)
Théorème de convergence monotoneadmis
Toute suite croissante et majorée converge (vers un réel \(\ell\)). Toute suite décroissante et minorée converge.
Toute suite croissante et majorée converge (vers un réel \(\ell\)). Toute suite décroissante et minorée converge.
Ce théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur : si \(u_n\leq 6\) pour tout \(n\), on sait que \(\ell\leq6\), mais rien ne dit que \(\ell=6\). Exemple : \(u_n=1-\frac1n\) est croissante et majorée par \(10\), et sa limite est \(1\).
Théorème. Toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).démonstration exigible
Démonstration. Soit \(A\) un réel. Comme \((u_n)\) n'est pas majorée, \(A\) n'est pas un majorant : il existe un rang \(N\) tel que \(u_N>A\). Comme \((u_n)\) est croissante, pour tout \(n\geq N\) : \(u_n\geq u_N>A\). Donc l'intervalle \([A\,;+\infty[\) contient tous les termes à partir du rang \(N\). Ceci vaut pour tout \(A\), donc \(u_n\to+\infty\). ∎
Conséquence : une suite croissante a toujours une limite : soit elle est majorée et elle converge, soit elle ne l'est pas et elle tend vers \(+\infty\).
Démonstration. Soit \(A\) un réel. Comme \((u_n)\) n'est pas majorée, \(A\) n'est pas un majorant : il existe un rang \(N\) tel que \(u_N>A\). Comme \((u_n)\) est croissante, pour tout \(n\geq N\) : \(u_n\geq u_N>A\). Donc l'intervalle \([A\,;+\infty[\) contient tous les termes à partir du rang \(N\). Ceci vaut pour tout \(A\), donc \(u_n\to+\infty\). ∎
Conséquence : une suite croissante a toujours une limite : soit elle est majorée et elle converge, soit elle ne l'est pas et elle tend vers \(+\infty\).
Schéma d'étude d'une suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\) — c'est LE grand exercice de fin de chapitre :
- Conjecturer. Calculer \(u_0,u_1,u_2,u_3\) (calculatrice ou programme), tracer la « toile d'araignée » : la suite semble croissante ? majorée ? convergente vers quoi ?
- Démontrer un encadrement par récurrence, par exemple « pour tout \(n\), \(0\leq u_n\leq 6\) ». Dans l'hérédité, on applique \(f\) à l'encadrement en utilisant les variations de \(f\).
- Démontrer la monotonie. Étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\) grâce à l'encadrement de l'étape 2 (ou par une deuxième récurrence).
- Conclure. Croissante + majorée ⟹ la suite converge vers un réel \(\ell\) (théorème de convergence monotone). On détermine ensuite \(\ell\) en résolvant \(\ell=f(\ell)\).
Point de vigilance sur l'étape 4. Le passage de \(u_{n+1}=f(u_n)\) à \(\ell=f(\ell)\) n'est légitime que parce que \(f\) est continue : c'est une notion vue plus tard dans l'année (chapitre « continuité »). En début d'année, cette étape est admise ou l'énoncé la guide. Et il faut vérifier que la valeur trouvée est cohérente avec l'encadrement : si \(\ell=f(\ell)\) a deux solutions, on garde celle qui est dans l'intervalle où vivent les termes.
Exemple complet. \(u_0=0\), \(u_{n+1}=\tfrac12u_n+3\).
(2) Récurrence : \(u_n\leq6\) pour tout \(n\) (faite au point 1).
(3) \(u_{n+1}-u_n=\tfrac12u_n+3-u_n=3-\tfrac12u_n=\tfrac12(6-u_n)\geq0\) car \(u_n\leq6\) : la suite est croissante.
(4) Croissante et majorée par \(6\) : elle converge vers \(\ell\). Comme \(\ell=\tfrac12\ell+3\), on obtient \(\tfrac12\ell=3\), donc \(\ell=6\).
(2) Récurrence : \(u_n\leq6\) pour tout \(n\) (faite au point 1).
(3) \(u_{n+1}-u_n=\tfrac12u_n+3-u_n=3-\tfrac12u_n=\tfrac12(6-u_n)\geq0\) car \(u_n\leq6\) : la suite est croissante.
(4) Croissante et majorée par \(6\) : elle converge vers \(\ell\). Comme \(\ell=\tfrac12\ell+3\), on obtient \(\tfrac12\ell=3\), donc \(\ell=6\).
2. Méthode
Pour rédiger une récurrence — modèle à trous
Exercice type : \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=2u_n-1\) ; démontrer que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u_n=2^n+1\).
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on note \(P(n)\) la propriété : « ».
Initialisation
Pour \(n=0\) : d'une part \(u_0=2\), d'autre part . Les deux valeurs sont égales, donc est vraie.
Hérédité
Soit \(n\in\mathbb N\). Supposons que . Montrons alors que .
\(u_{n+1}=2u_n-1=2\bigl(\)\(\bigr)-1=\). Donc \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion
.
Les trois mots à écrire obligatoirement : Initialisation, Hérédité, Conclusion. Ils rapportent des points même si le calcul coince.
Pour calculer une limite — arbre de décision
1. Je remplace mentalement \(n\) par « très grand ». Est-ce que j'obtiens une valeur ou une forme indéterminée ?
Pas de F.I. → j'applique directement les opérations sur les limites et je conclus (en citant le théorème : « par somme », « par produit », « par quotient »).
F.I. \(\frac{\infty}{\infty}\) (quotient de polynômes) → je factorise le numérateur ET le dénominateur par le terme de plus haut degré, je simplifie, puis je conclus.
\(\dfrac{4n^2+n}{2n^2-3}=\dfrac{4+\frac1n}{2-\frac{3}{n^2}}\to 2\)
F.I. \(\infty-\infty\) (somme) → je factorise par le terme dominant.
\(n^3-7n=n^3\bigl(1-\frac{7}{n^2}\bigr)\to+\infty\). S'il y a des racines carrées : quantité conjuguée.
Il y a un \((-1)^n\) ou un « \(\cos\) », bref un terme qui oscille → je l'encadre (\(-1\leq(-1)^n\leq1\)) puis j'applique les gendarmes ou la comparaison.
Il y a un \(q^n\) → je regarde la position de \(q\) par rapport à \(-1\) et \(1\), et j'applique le théorème sur \((q^n)\). Si plusieurs puissances, je factorise par la plus grande : \(3^n+2^n=3^n\bigl(1+(\frac23)^n\bigr)\to+\infty\).
La suite est définie par récurrence \(u_{n+1}=f(u_n)\) → aucun calcul direct n'est possible : je passe au schéma en 4 étapes (récurrence + monotonie + convergence monotone).
Toujours écrire le théorème utilisé : « par quotient de limites », « d'après le théorème des gendarmes », « d'après le théorème de comparaison ». C'est ce qui est corrigé au bac.
Pour étudier une suite \(u_{n+1}=f(u_n)\)
- Calculer les premiers termes et conjecturer (croissante ? majorée ? limite ?).
- Récurrence pour l'encadrement. Hérédité : partir de l'encadrement supposé, lui appliquer \(f\) en respectant les variations de \(f\), et retrouver l'encadrement au rang \(n+1\). Exemple avec \(f(x)=\sqrt{x+2}\) croissante : \(0\leq u_n\leq2\Rightarrow \sqrt2\leq\sqrt{u_n+2}\leq2\Rightarrow 0\leq u_{n+1}\leq2\).
- Monotonie. Calculer \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\), factoriser, et utiliser l'encadrement pour donner le signe. (Autre méthode : récurrence directe sur « \(u_{n+1}\geq u_n\) ».)
- Conclure par le théorème de convergence monotone, puis résoudre \(\ell=f(\ell)\) et choisir la solution compatible avec l'encadrement.
Pour écrire un algorithme de seuil (Python, boucle while)
Question type : « à partir de quel rang \(u_n\) dépasse-t-il \(A\) ? ». On ne connaît pas le nombre de tours à l'avance : c'est un while, pas un for.
def seuil(A): u = 1 # u_0 n = 0 # rang courant while u < A: # tant que le seuil n'est pas atteint u = 3*u + 2 # on passe de u_n a u_(n+1) n = n + 1 # ...et le rang augmente de 1 return n # premier rang tel que u_n >= A print(seuil(1000)) # affiche 6
Trois réflexes. (1) Initialiser avant la boucle (\(u\) et \(n\)). (2) Mettre à jour \(u\) et \(n\) dans la boucle, sinon boucle infinie. (3) À la sortie, \(n\) est le premier rang qui dépasse le seuil. Pour une suite décroissante vers \(0\), la condition devient
while u > A:.
Cet algorithme n'existe que parce que la suite tend vers \(+\infty\) : le seuil est forcément atteint. Plus tard dans l'année, le logarithme permettra de résoudre l'inéquation \(q^n\geq A\) par le calcul ; pour l'instant, on utilise le programme ou la calculatrice.
Erreurs fréquentes
Oublier l'initialisation. Sans elle, la récurrence ne prouve rien. Exemple : « \(u_n=u_{n-1}+2\) donc \(u_n\) est impair » est héréditaire… mais faux si \(u_0=0\). Toujours vérifier le premier rang (et le bon : parfois \(n=1\), parfois \(n=2\)).
Écrire « supposons que la propriété est vraie pour tout \(n\) ». C'est exactement ce qu'on cherche à démontrer : le raisonnement devient circulaire et vaut 0 point. La formule correcte est : « Soit \(n\in\mathbb N\). Supposons \(P(n)\) vraie. »
Conclure la convergence sans majorant. « La suite est croissante donc elle converge » est faux : \(u_n=n\) est croissante et tend vers \(+\infty\). Il faut croissante et majorée. Et inversement, « majorée donc convergente » est faux aussi : \((-1)^n\) est majorée par 1 et n'a pas de limite.
Traiter \(q^n\) sans regarder le signe de \(q\). \(q=-0{,}5\) : \(|q|<1\) donc \(q^n\to0\) (les termes alternent mais s'écrasent). \(q=-2\) : \(q^n\) vaut \(1,-2,4,-8,\dots\) : pas de limite, surtout pas \(+\infty\).
Écrire une limite comme \(\infty-\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\) ou \(0\times\infty\). Ces symboles ne sont pas des nombres et ne peuvent pas apparaître dans une égalité. On écrit : « on reconnaît une forme indéterminée, on factorise par… ».
Confondre \(\ell\) et le majorant. Une suite majorée par 10 peut converger vers 3. Le théorème donne l'existence de \(\ell\), la valeur vient de \(\ell=f(\ell)\).
3. Visualisation
Choisis une suite. Si elle converge vers \(\ell\), règle la largeur \(\varepsilon\) de la bande \([\ell-\varepsilon\,;\ell+\varepsilon]\) ; si elle tend vers \(+\infty\), règle le seuil \(A\) de la demi-droite \([A\,;+\infty[\). Le rang \(N\) affiché est le premier rang à partir duquel tous les termes suivants restent dans la zone.
terme dans la zoneterme hors de la zonelimite / seuil
Les 21 premiers termes de la suite \((q^n)\). Fais glisser \(q\) et observe les quatre régimes : explosion, constante, écrasement vers \(0\), oscillation.
Suite définie par \(u_0\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\). On monte verticalement jusqu'à la courbe de \(f\) (on obtient \(u_{n+1}\) en ordonnée) puis horizontalement jusqu'à la droite \(y=x\) (\(u_{n+1}\) passe en abscisse), et on recommence.
y = f(x)y = xtoile d'araignée
4. Exercices
Exercice 1 — Limite d'une suite explicite niveau 1
La suite :
ℓ =
Exercice 2 — Une récurrence, pas à pas niveau 2
a. On suppose \(P(n)\) vraie. En remplaçant \(u_n\) par son expression dans la relation de récurrence, on obtient \(u_{n+1}\) sous la forme . Donne \(\alpha\) et \(\beta\).
α =
β =
b.
Exercice 3 — Gendarmes et comparaison niveau 3
On en déduit :
ℓ =
5. QCM
Quatre questions tirées au hasard dans une banque de 18. Une seule bonne réponse par question.