Suites arithmétiques et géométriques

1Suite arithmétique : on ajoute toujours le même nombre

Exemple. \(u_0 = 5\), \(r = 3\) : \(5,\ 8,\ 11,\ 14,\ 17,\ \dots\) — on ajoute 3 à chaque fois.
Exemple. Une salle de cinéma vend 200 places le premier jour et 15 de moins chaque jour : \(u_0 = 200\), \(r = -15\) : \(200,\ 185,\ 170,\ \dots\)

Avec \(u_0 = 5\), \(r = 3\) : \(u_{10} = 5 + 10\times 3 = 35\). Si on connaît \(u_4 = 17\) : \(u_{10} = 17 + (10-4)\times 3 = 35\). Même résultat.

2Suite géométrique : on multiplie toujours par le même nombre

Exemple. \(u_0 = 3\), \(q = 2\) : \(3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48,\ \dots\) — on double à chaque fois.
Exemple. \(u_0 = 80\), \(q = \tfrac12\) : \(80,\ 40,\ 20,\ 10,\ 5,\ \dots\)

Avec \(u_0 = 3\), \(q = 2\) : \(u_{10} = 3\times 2^{10} = 3\times 1024 = 3072\). Si on connaît \(u_3 = 24\) : \(u_{10} = 24 \times 2^{7} = 24\times 128 = 3072\).

3Somme des premiers entiers et somme arithmétique

\(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{100\times 101}{2} = 5050\).

Exemple. \(u_n = 5 + 3n\). Calculer \(u_3 + u_4 + \dots + u_{10}\) : il y a \(10 - 3 + 1 = 8\) termes, \(u_3 = 14\), \(u_{10} = 35\), donc \(S = 8\times\dfrac{14+35}{2} = 8\times 24{,}5 = 196\).

Pourquoi ça marche : la même astuce « écrire dans les deux sens » ; chaque colonne vaut \(u_{\text{premier}} + u_{\text{dernier}}\).

4Somme des puissances et somme géométrique

\(1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 2048}{-1} = 2047\).   (Si \(q = 1\), la somme vaut simplement \(n+1\).)

Exemple. \(u_n = 3\times 2^n\). \(u_0 + \dots + u_5 = 3\times\dfrac{1-2^6}{1-2} = 3\times 63 = 189\). Vérification : \(3+6+12+24+48+96 = 189\). ✓

5Sens de variation

Exemples. \(u_n = 200 - 15n\) est décroissante (\(r = -15 < 0\)). \(C_n = 1000\times 1{,}03^n\) est croissante (\(q = 1{,}03 > 1\)). \(v_n = 80\times 0{,}5^n\) est décroissante. \(w_n = (-2)^n = 1, -2, 4, -8, \dots\) n'est ni croissante ni décroissante.

Si \(u_0 < 0\), les variations d'une suite géométrique sont inversées : \(u_n = -5\times 2^n\) est décroissante.

6Intuition de limite (sans formalisme)

Conséquence : une suite arithmétique de raison \(r > 0\) et une suite géométrique de raison \(q > 1\) finissent toutes deux par dépasser tout seuil, mais la géométrique le fait beaucoup plus vite : avec \(u_n = 5 + 3n\) et \(v_n = 3\times 2^n\), \(u_{20} = 65\) alors que \(v_{20} = 3\,145\,728\).

Aucune formalisation en Première : on observe, on conjecture. La définition rigoureuse de la limite et l'étude complète de \((q^n)\) sont au programme de Terminale (fiche 3C).

7Récapitulatif

AReconnaître une suite arithmétique ou géométrique

1. Calculer \(u_{n+1} - u_n\) pour tout \(n\) (avec l'expression générale, pas seulement sur trois valeurs). Si le résultat est une constante \(r\) : arithmétique de raison \(r\).
2. Sinon, calculer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\). Si c'est une constante \(q\) : géométrique de raison \(q\).
3. Sinon, la suite n'est ni l'une ni l'autre ; un contre-exemple numérique suffit pour le prouver.

BTrouver le terme général

1. Identifier la nature (méthode A) et la raison.
2. Repérer le terme connu : est-ce \(u_0\) ? \(u_1\) ? \(u_p\) ?
3. Appliquer \(u_n = u_p + (n-p)\,r\) ou \(u_n = u_p\,q^{\,n-p}\).

CCalculer une somme de termes consécutifs

1. Compter le nombre de termes : de \(u_a\) à \(u_b\), il y en a \(b - a + 1\).
2. Arithmétique : \(S = N\times\dfrac{u_a + u_b}{2}\). Calculer d'abord \(u_a\) et \(u_b\).
3. Géométrique : \(S = u_a\times\dfrac{1 - q^{N}}{1 - q}\) si \(q \ne 1\) (si \(q = 1\), tous les termes sont égaux et \(S = N\,u_a\)).
4. Vérifier l'ordre de grandeur (par exemple avec les deux ou trois premiers termes).

DModéliser une évolution à taux fixe

1. Traduire le taux en coefficient multiplicateur : \(+t\,\% \Rightarrow q = 1 + \frac{t}{100}\) ; \(-t\,\% \Rightarrow q = 1 - \frac{t}{100}\).
2. Poser \(u_0\) = valeur initiale (année de départ = rang 0) et \(u_{n+1} = q\,u_n\).
3. Conclure : \(u_n = u_0\,q^n\), puis calculer ce qui est demandé.

EChercher un seuil (algorithme)

« À partir de quel rang \(u_n\) dépasse-t-il \(S\) ? » En Première, on n'utilise pas le logarithme : on calcule les termes jusqu'à dépasser le seuil, à la main (tableau) ou avec une boucle while.

u = 20000      # u_0
n = 0
while u <= 30000:
    u = u * 1.02
    n = n + 1
print(n)       # premier rang tel que u_n > 30000

Ici l'algorithme affiche 21 : \(u_{20}\approx 29\,719 < 30\,000\) et \(u_{21}\approx 30\,313 > 30\,000\). Toujours justifier avec les deux valeurs qui encadrent le seuil.

Attention à la condition : while u <= S s'arrête au premier rang où \(u_n > S\) ; la suite doit être croissante pour que cela ait un sens.

!Erreurs fréquentes

Quatre questions tirées au hasard dans une banque. Une seule bonne réponse par question ; le score s'affiche à la fin.