Cours
1. Composer deux fonctions : \(v \circ u\)
Composer, c'est enchaîner deux machines : on applique d'abord \(u,\) puis \(v\) au résultat obtenu. La fonction ainsi construite se note \(v \circ u\) et se lit « \(v\) rond \(u\) » :
\((v \circ u)(x) = v\big(u(x)\big).\)
Exemple. Avec \(u(x) = 3x+2\) (intérieure) et \(v(X) = X^2\) (extérieure) :
\(x = 1 \;\longmapsto\; u(1) = 5 \;\longmapsto\; v(5) = 25,\) donc \((v \circ u)(1) = 25.\)
Et en général \((v \circ u)(x) = (3x+2)^2.\)
Dans l'autre sens on obtiendrait \((u \circ v)(x) = 3x^2+2\) : ce n'est pas la même fonction, la composition n'est pas commutative.
2. Où la composée est-elle définie ?
\(v \circ u\) est définie en \(x\) quand deux conditions sont remplies :
- \(x\) appartient à l'ensemble de définition de \(u\) ;
- le nombre \(u(x)\) appartient à l'ensemble de définition de \(v.\)
Exemple. \(f(x) = \sqrt{x-3}\) est la composée de \(u(x) = x-3\) suivie de \(v(X) = \sqrt{X}.\) Comme \(v\) exige \(X \geqslant 0,\) il faut \(x-3 \geqslant 0,\) donc \(f\) est définie sur \([3\,;+\infty[.\)
3. La formule de dérivation d'une composée admise
En français : on dérive l'extérieure sans toucher à l'intérieure, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieure. Ce facteur \(u'(x)\) est celui qu'on oublie le plus souvent.
Illustration sur un cas vérifiable. Prenons \(f(x) = (3x+2)^2,\) c'est-à-dire \(u(x) = 3x+2\) et \(v(X) = X^2.\)
- Par la formule : \(v'(X) = 2X,\) donc \(f'(x) = 2(3x+2) \times 3,\) c'est-à-dire \(f'(x) = 6(3x+2) = 18x+12.\)
- En développant d'abord : \(f(x) = 9x^2+12x+4,\) donc \(f'(x) = 18x+12.\) Les deux résultats coïncident.
Sans le facteur \(u'(x) = 3\) on aurait trouvé \(6x+4\) : faux.
4. Les quatre cas usuels à connaître par cœur
\(f(x) = (x^2+1)^3\) donne \(f'(x) = 3 \times 2x \times (x^2+1)^2 = 6x(x^2+1)^2,\) donc \(f'(1) = 6 \times 4 = 24.\)
\(f(x) = \sqrt{x^2+3}\) donne \(f'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+3}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}},\) donc \(f'(1) = \dfrac{1}{2}.\)
\(f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}\) donne \(f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2+1)^2},\) donc \(f'(1) = \dfrac{-2}{4} = -0{,}5.\)
\(f(x) = e^{-3x+1}\) donne \(f'(x) = -3e^{-3x+1},\) donc \(f'(0) = -3e \approx -8{,}15.\)
Ces quatre lignes ne sont pas quatre formules nouvelles : ce sont quatre fois la même, avec \(v(X) = X^n,\) \(\sqrt{X},\) \(\dfrac{1}{X}\) et \(e^{X}.\)
5. Le lien avec \(g(ax+b)\) vue en Première
En Première tu as vu que si \(f(x) = g(ax+b),\) alors \(f'(x) = a\,g'(ax+b).\) C'est exactement la formule de la composée dans le cas particulier \(u(x) = ax+b,\) pour lequel \(u'(x) = a\) :
\(f'(x) = g'\big(u(x)\big) \times u'(x) = a\,g'(ax+b).\)
Exemple. \(f(x) = \sqrt{2x-1}\) sur \(\left]\tfrac{1}{2}\,;+\infty\right[\) donne \(f'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x-1}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}.\)
La nouveauté de Terminale, c'est que \(u\) n'est plus obligée d'être affine : elle peut être n'importe quelle fonction dérivable.
6. Étudier une fonction construite à partir des fonctions de référence
Les formules de Première (somme, produit, quotient, dérivées de référence) ne sont pas remplacées : on les combine avec la formule de la composée.
Exemple complet. \(f(x) = \sqrt{x^2-4x+5}.\) Le trinôme a pour discriminant \(16-20 = -4 < 0\) et \(a = 1 > 0,\) donc il est strictement positif : \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}.\)
\(f'(x) = \dfrac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+5}} = \dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}.\)
La racine est strictement positive, donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x-2\) : \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;2]\) puis croît sur \([2\,;+\infty[,\) avec un minimum \(f(2) = \sqrt{1} = 1.\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | \(0\) | + |
| \(f\) | décroissante | \(1\) | croissante |
7. Ce qui viendra plus tard
Il existe aussi une formule pour dériver \(\ln(u)\) : elle sera vue au chapitre sur la fonction logarithme népérien, une fois la fonction \(\ln\) introduite. Tant qu'elle n'a pas été faite en classe, ne l'utilise pas dans une copie.
En revanche \(\big(e^{u}\big)' = u'e^{u}\) est bien au programme de ce chapitre : tu peux t'en servir dès maintenant.
Méthode
Méthode 1 — Reconnaître une composée
Pose-toi la question : « si je calculais \(f(3)\) à la calculatrice, dans quel ordre taperais-je les touches ? » Le premier calcul effectué est \(u\) (l'intérieure), le dernier est \(v\) (l'extérieure).
| \(f(x)\) | intérieure \(u(x)\) | extérieure \(v(X)\) |
|---|---|---|
| \((2x+7)^5\) | \(2x+7\) | \(X^5\) |
| \(\sqrt{x^2+1}\) | \(x^2+1\) | \(\sqrt{X}\) |
| \(e^{3x}\) | \(3x\) | \(e^{X}\) |
| \(\dfrac{1}{x^2-4}\) | \(x^2-4\) | \(\dfrac{1}{X}\) |
Attention : \(x^2+1\) ne se dérive pas avec la formule de la composée (la dernière opération est une addition), et \(x\,e^{x}\) non plus (c'est un produit). Dans \(x\,e^{x},\) le facteur \(e^{x}\) deviendrait une vraie composée si l'exposant était autre chose que \(x\) — par exemple \(x\,e^{3x},\) où il faut dériver \(e^{3x}\) avec la formule.
Méthode 2 — Dériver une composée en 3 étapes
- Identifier \(u\) (intérieure) et \(v\) (extérieure) et écrire \(f(x) = v\big(u(x)\big).\)
- Calculer séparément \(u'(x)\) et \(v'(X)\) — \(v'\) en fonction de la lettre \(X,\) pas de \(x.\)
- Appliquer \(f'(x) = v'\big(u(x)\big) \times u'(x)\) : on remplace \(X\) par \(u(x)\) dans \(v',\) puis on multiplie par \(u'(x).\) On simplifie ou on factorise à la fin.
Exemple. \(f(x) = (x^2-3x)^4.\)
- \(u(x) = x^2-3x,\) \(v(X) = X^4.\)
- \(u'(x) = 2x-3,\) \(v'(X) = 4X^3.\)
- \(f'(x) = 4(x^2-3x)^3 \times (2x-3).\) En \(x = 1\) : \(u(1) = -2,\) donc \(f'(1) = 4 \times (-8) \times (-1) = 32.\)
Méthode 3 — Produit, quotient ou composée ? L'arbre de décision
Regarde la dernière opération que tu effectuerais pour calculer \(f(x)\) :
- Une addition ou une soustraction ? → on dérive terme à terme. Exemple : \(x^3 + \sqrt{x^2+1}.\)
- Une multiplication de deux expressions qui dépendent toutes les deux de \(x\) ? → règle du produit \((uv)' = u'v + uv'.\) Exemple : \(x^2 e^{3x}.\)
- Une division dont le dénominateur dépend de \(x\) ? → règle du quotient \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}.\) Si le numérateur est une constante \(k,\) c'est plus rapide avec \(\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}.\)
- Une puissance, une racine ou une exponentielle appliquée à un bloc ? → formule de la composée. Exemple : \(\sqrt{3x^2+2}.\)
Méthode 4 — Étudier une fonction construite à partir des fonctions de référence
- Domaine : dénominateur non nul, expression sous la racine positive, puis préciser où \(f\) est dérivable.
- Dériver avec les formules de Première et celle de la composée.
- Factoriser \(f'(x)\) pour isoler le facteur qui change de signe ; les facteurs \(\sqrt{\;\;} > 0,\) \(e^{\;} > 0,\) \((\;)^2 \geqslant 0\) ne changent pas le signe.
- Tableau de signe de \(f'\) puis tableau de variations de \(f\), et conclure sur les extremums.
Exemple. \(f(x) = \dfrac{1}{x^2+2}\) sur \(\mathbb{R}\) : \(x^2+2 > 0,\) donc \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R},\) et \(f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2+2)^2}.\) Le dénominateur est positif, donc \(f'(x)\) est du signe de \(-2x\) : \(f\) croît sur \(]-\infty\,;0]\) puis décroît sur \([0\,;+\infty[,\) avec un maximum \(f(0) = 0{,}5.\)
Erreurs fréquentes
Visualisation
Choisis la fonction intérieure \(u,\) la fonction extérieure \(v,\) puis fais glisser \(x.\) Tout est recalculé en direct.
Le point rouge descend d'un axe à l'autre : \(u\) l'envoie du premier axe au deuxième, \(v\) du deuxième au troisième. Si \(u(x)\) sort de l'ensemble de définition de \(v,\) la deuxième flèche disparaît : la composée n'est pas définie en ce \(x.\)
Vérification visuelle de la formule : la pente de la tangente noire à la courbe bleue est exactement l'ordonnée du point rouge sur la courbe de \(f',\) et cette ordonnée est le produit \(v'(u(x)) \times u'(x).\)
Exercices
Exercice 1 Niveau 1
Exercice 2 Niveau 2
Exercice 3 Niveau 3
Réponses décimales acceptées avec la virgule ou le point. Une petite tolérance numérique est appliquée.
QCM
Quatre questions tirées au hasard dans une banque de quinze. Une seule bonne réponse par question.