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Cours
Le cours de cette fiche se passe de repère : on raisonne avec des vecteurs. Les exercices, eux, se placent dans un repère et traduisent la configuration par un système linéaire, comme le demande le programme. La version « équation cartésienne et représentation paramétrique » est traitée dans la fiche 2D · plans, droites, projetés et distances. Le cube \(ABCDEFGH\) et le tétraèdre servent de terrain d'exercice permanent.
1Une droite : un point et une direction
Une droite de l'espace est entièrement déterminée par la donnée d'un point \(A\) et d'un vecteur non nul \(\vec u,\) appelé vecteur directeur.
À retenir
\(M \in \mathcal D(A,\vec u)\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec u\) sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel \(t\) tel que \(\overrightarrow{AM} = t\,\vec u.\)
- Une droite a une infinité de vecteurs directeurs : tous les vecteurs non nuls colinéaires à \(\vec u.\) Ainsi \(\vec u,\) \(-\vec u,\) \(3\vec u\) dirigent la même droite.
- Deux points distincts \(A\) et \(B\) déterminent la droite \((AB),\) de vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}.\)
- Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (elles sont alors confondues ou strictement parallèles).
Sur le cube
Dans \(ABCDEFGH,\) la droite \((AB)\) admet pour vecteurs directeurs \(\overrightarrow{AB},\) \(\overrightarrow{DC},\) \(\overrightarrow{EF},\) \(\overrightarrow{HG}\) : ces quatre vecteurs sont égaux. Le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM} = 2\,\overrightarrow{AB}\) est sur \((AB),\) au-delà de \(B.\)
2Un plan : un point et deux directions
La direction d'un plan \(\mathcal P\) est l'ensemble des vecteurs \(\overrightarrow{MN}\) obtenus quand \(M\) et \(N\) décrivent \(\mathcal P.\) Cette direction est décrite par deux vecteurs non colinéaires : c'est une base du plan vectoriel associé (fiche 7B).
À retenir
On suppose \(\vec u\) et \(\vec v\) non colinéaires. Alors \(M \in \mathcal P(A,\vec u,\vec v)\) si et seulement s'il existe deux réels \(s\) et \(t\) tels que \(\overrightarrow{AM} = s\,\vec u + t\,\vec v.\) Autrement dit : \(\overrightarrow{AM},\) \(\vec u\) et \(\vec v\) sont coplanaires.
- Trois points non alignés \(A,\) \(B,\) \(C\) déterminent le plan \((ABC),\) dirigé par le couple \((\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC}).\)
- Le couple de vecteurs directeurs n'est pas unique : \((\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC})\) et \((\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{BC})\) dirigent le même plan.
- Deux plans ont la même direction si et seulement s'ils sont parallèles.
Sur le cube
Le plan \((ABC)\) est celui de la face \(ABCD\) ; il est dirigé par \((\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AD}).\) Le plan \((ABG)\) contient aussi \(H,\) car \(\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AB}\) : c'est le plan diagonal \(ABGH.\)
Tétraèdre
Dans le tétraèdre \(ABCD,\) les quatre faces sont les plans \((ABC),\) \((ABD),\) \((ACD),\) \((BCD).\) Comme \(A,\) \(B,\) \(C,\) \(D\) ne sont pas coplanaires, \((\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC}\,;\overrightarrow{AD})\) est une base de l'espace.
3Deux droites : quatre cas, dont un nouveau
Dans le plan, deux droites sont parallèles ou sécantes. Dans l'espace, il y a un cas supplémentaire : deux droites peuvent n'avoir aucun point commun sans être parallèles.
ConfonduesCoplanaires. Vecteurs directeurs colinéaires, un point commun. Une infinité de points communs.
Strictement parallèlesCoplanaires. Vecteurs directeurs colinéaires, aucun point commun.
SécantesCoplanaires. Vecteurs directeurs non colinéaires. Exactement un point commun.
Non coplanairesAucun plan ne les contient toutes les deux. Vecteurs directeurs non colinéaires, aucun point commun. Ce cas n'existe pas dans le plan.
Critère
Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires, les droites sont parallèles (confondues ou non). Sinon, elles sont sécantes si et seulement si \(\overrightarrow{AB},\) \(\vec u\) et \(\vec v\) sont coplanaires ; dans le cas contraire, elles ne sont pas coplanaires.
Sur le cube
- \((AB)\) et \((HG)\) : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{HG},\) et \(H \notin (AB)\) : strictement parallèles.
- \((AB)\) et \((BC)\) : sécantes en \(B.\)
- \((AB)\) et \((CG)\) : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CG}\) ne sont pas colinéaires, et aucun plan ne contient \(A,\) \(B,\) \(C\) et \(G\) — le plan \((ABC)\) est celui de la face du bas et \(G\) n'y est pas : non coplanaires.
- \((AE)\) et \((BC)\) : non coplanaires également.
Piège classique. « Elles ne sont pas parallèles, donc elles se coupent » est faux dans l'espace. Il faut encore prouver la coplanarité.
4Une droite et un plan : trois cas
\(\mathcal D \subset \mathcal P\)La droite est incluse dans le plan : une infinité de points communs.
\(\mathcal D \parallel \mathcal P\) strictementAucun point commun.
SécantsExactement un point commun, noté \(I.\)
Critère vectoriel
Soit \(\vec u\) un vecteur directeur de \(\mathcal D\) et \((\vec{u_P}\,;\vec{v_P})\) un couple dirigeant \(\mathcal P.\) Si \(\vec u\) est une combinaison linéaire de \(\vec{u_P}\) et \(\vec{v_P},\) alors \(\mathcal D\) est parallèle à \(\mathcal P\) : incluse si un point de \(\mathcal D\) appartient à \(\mathcal P,\) strictement parallèle sinon. Si \(\vec u\) n'est pas une telle combinaison, \(\mathcal D\) et \(\mathcal P\) sont sécants en un unique point.
Conséquence : une droite et un plan ont \(0,\) \(1\) ou une infinité de points communs — jamais exactement deux (deux points communs entraînent l'inclusion).
Sur le cube
- \((EF)\) et le plan \((ABC)\) : \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB}\) dirige \((ABC),\) et \(E \notin (ABC)\) : strictement parallèles.
- \((AB)\) et le plan \((ABF)\) : la droite est incluse dans le plan.
- \((AG)\) et le plan \((EFG)\) : \(\overrightarrow{AG}\) « monte » alors que \((EFG)\) est horizontal : sécants, en \(G.\)
5Deux plans : trois cas
ConfondusMême direction et un point commun.
Strictement parallèlesMême direction, aucun point commun.
SécantsDirections différentes : l'intersection est une droite.
Deux plans distincts ne peuvent pas avoir un seul point commun. Dès qu'ils ont un point commun, ils ont toute une droite en commun.
Sur le cube
- \((ABC)\) et \((EFG)\) : les deux faces horizontales, strictement parallèles.
- \((ABF)\) et \((BCG)\) : deux faces voisines, sécantes selon la droite \((BF).\)
- \((ABG)\) et \((CDE)\) : les deux plans diagonaux, sécants selon la droite qui joint les centres des faces \(ADHE\) et \(BCGF\) (elle passe par le centre du cube et est parallèle à \((AB)\)).
6Trois théorèmes de parallélisme
Ces trois énoncés permettent de conclure sans aucun calcul. Ils sont au cœur des exercices de construction.
Théorème 1
Si une droite \(\mathcal D\) est parallèle à une droite \(\mathcal D'\) contenue dans un plan \(\mathcal P,\) alors \(\mathcal D\) est parallèle à \(\mathcal P.\)
C'est l'outil n°1 pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan : on cherche dans le plan une droite parallèle à la nôtre, souvent grâce à un parallélogramme ou à une droite des milieux.
Théorème 2 — « théorème du toit »
Si \(\mathcal D \parallel \mathcal D',\) si \(\mathcal D \subset \mathcal P,\) \(\mathcal D' \subset \mathcal P',\) et si \(\mathcal P\) et \(\mathcal P'\) sont sécants selon une droite \(\Delta,\) alors \(\Delta\) est parallèle à \(\mathcal D\) et à \(\mathcal D'.\)
L'image : deux pans de toit se rejoignent selon une arête parallèle aux gouttières.
Théorème 3 — plans parallèles coupés par un troisième
Si \(\mathcal P \parallel \mathcal P'\) et si un plan \(\mathcal Q\) coupe \(\mathcal P\) selon une droite \(d\) et \(\mathcal P'\) selon une droite \(d',\) alors \(d \parallel d'.\)
C'est la clé de la construction des sections de cube : deux faces opposées étant parallèles, le plan de coupe y laisse deux traces parallèles.
Sur le cube
Le plan \((ABG)\) coupe la face \(ABFE\) selon \((AB)\) et la face \(DCGH\) selon \((HG).\) Ces deux faces sont parallèles, et l'on retrouve bien \((AB) \parallel (HG).\)
7Tout se ramène à un système linéaire
Alignement, colinéarité, coplanarité, intersection : chaque question se traduit par un système d'équations linéaires dont les inconnues sont les paramètres.
| Question | Système | Inconnues |
|---|---|---|
| \(\mathcal D\) et \(\mathcal D'\) sécantes ? | \(\overrightarrow{AB} = t\,\vec u - s\,\vec v\) | \(t,\) \(s\) — 3 équations |
| \(\mathcal D\) et \(\mathcal P\) sécants ? | \(\overrightarrow{AB} = t\,\vec u - s\,\vec{u_P} - r\,\vec{v_P}\) | \(t,\) \(s,\) \(r\) — 3 équations |
| \(M \in \mathcal P\) ? | \(\overrightarrow{AM} = s\,\vec u + t\,\vec v\) | \(s,\) \(t\) — 3 équations |
Interprétation du nombre de solutions
- Aucune solution : aucun point commun. Deux droites : strictement parallèles (si \(\vec u\) et \(\vec v\) colinéaires) ou non coplanaires (sinon). Droite et plan : strictement parallèles.
- Une solution unique : un unique point commun, obtenu en remplaçant le paramètre trouvé.
- Une infinité de solutions : droites confondues, ou droite incluse dans le plan.
Exemple complet
\(\mathcal D\) passe par \(A(1\,;0\,;2)\) et a pour vecteur directeur \(\vec u(1\,;2\,;-1)\) ; \(\mathcal D'\) passe par \(B(3\,;4\,;1)\) et a pour vecteur directeur \(\vec v(2\,;1\,;1).\) Comme \(1 \times 1 - 2 \times 2 = -3 \neq 0,\) les vecteurs ne sont pas colinéaires. On cherche \(t\) et \(s\) tels que \(A + t\,\vec u = B + s\,\vec v\) :
\[\left\{\begin{array}{l} 1 + t = 3 + 2s \\ 0 + 2t = 4 + s \\ 2 - t = 1 + s \end{array}\right.\]
La deuxième équation donne \(s = 2t - 4.\) En reportant dans la première : \(1 + t = 3 + 4t - 8,\) donc \(3t = 6\) et \(t = 2,\) puis \(s = 0.\) On teste la troisième : \(2 - 2 = 0\) tandis que \(1 + 0 = 1.\) Elle n'est pas vérifiée : le système n'a aucune solution. Les vecteurs directeurs n'étant pas colinéaires, les droites sont non coplanaires.
En repère orthonormé, ces systèmes prennent la forme des représentations paramétriques et des équations cartésiennes : voir la fiche 1D.
Méthode
A. Déterminer la position relative de deux droites
\(\mathcal D\) passe par \(A,\) de vecteur directeur \(\vec u\) ; \(\mathcal D'\) passe par \(B,\) de vecteur directeur \(\vec v.\) Quatre étapes, toujours dans cet ordre.
- Les vecteurs directeurs sont-ils colinéaires ? On cherche \(k\) tel que \(\vec v = k\,\vec u\) (comparer les trois coordonnées, ou vérifier que les « produits en croix » sont nuls).
- S'ils sont colinéaires : tester si \(B \in \mathcal D,\) c'est-à-dire si \(\overrightarrow{AB}\) est colinéaire à \(\vec u.\) Si oui, droites confondues ; si non, strictement parallèles. C'est terminé.
- S'ils ne sont pas colinéaires : résoudre le système \(A + t\,\vec u = B + s\,\vec v\) (trois équations, deux inconnues). On utilise deux équations pour trouver \(t\) et \(s,\) puis on teste la troisième.
- Conclure : si la troisième équation est vérifiée, les droites sont sécantes et le point d'intersection s'obtient en remplaçant \(t\) dans \(A + t\,\vec u\) ; sinon elles sont non coplanaires.
L'étape 4 est celle que l'on oublie. Trouver \(t\) et \(s\) avec deux équations ne prouve rien tant que la troisième n'a pas été testée.
B. Montrer qu'une droite est parallèle à un plan
Deux rédactions possibles ; la première est presque toujours la plus rapide au bac.
- Voie « théorème 1 » : trouver dans le plan \(\mathcal P\) une droite \(\mathcal D'\) parallèle à \(\mathcal D.\) Sur un cube ou un tétraèdre, on l'obtient en montrant un parallélogramme (\(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{KL}\)) ou en utilisant la droite des milieux d'un triangle. Conclure : \(\mathcal D \parallel \mathcal D'\) et \(\mathcal D' \subset \mathcal P,\) donc \(\mathcal D \parallel \mathcal P.\)
- Voie vectorielle : décomposer \(\vec u = a\,\vec{u_P} + b\,\vec{v_P}.\) Cela donne trois équations et deux inconnues \(a\) et \(b\) ; si le système a une solution, \(\vec u\) appartient à la direction de \(\mathcal P,\) donc \(\mathcal D \parallel \mathcal P.\)
- Préciser « strictement » : vérifier qu'un point de \(\mathcal D\) n'appartient pas à \(\mathcal P.\) Sans cette vérification, la droite pourrait être incluse dans le plan.
C. Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan
- Écarter le parallélisme : montrer que \(\vec u\) n'est pas combinaison linéaire de \(\vec{u_P}\) et \(\vec{v_P}.\) On sait alors qu'il existe un unique point d'intersection.
- Paramétrer : un point de \(\mathcal D\) s'écrit \(M = A + t\,\vec u\) ; appartenir à \(\mathcal P\) s'écrit \(\overrightarrow{BM} = s\,\vec{u_P} + r\,\vec{v_P}.\)
- Résoudre le système de trois équations à trois inconnues \(t,\) \(s,\) \(r.\)
- Conclure : remplacer \(t\) dans \(A + t\,\vec u\) pour obtenir \(I,\) puis vérifier que \(I\) satisfait bien les deux descriptions.
En repère, la méthode est la même en plus court : on substitue la représentation paramétrique de la droite dans l'équation cartésienne du plan, ce qui donne une seule équation en \(t\) (fiche 1D).
D. Construire la section d'un cube par un plan très demandée au bac
Le plan de coupe est donné par trois points, souvent placés sur des arêtes. Le but est de tracer le polygone d'intersection avec la surface du cube. On avance face par face.
- Repérer les points donnés et noter, pour chacun, la ou les faces qui le contiennent.
- Deux points dans une même face : on trace le segment qui les joint. C'est un côté de la section, car l'intersection de deux plans est une droite.
- Une face ne contenant qu'un seul point : utiliser le théorème 3. La face opposée est parallèle ; si la section y a déjà un côté \(d,\) alors sur la face étudiée on trace la parallèle à \(d\) passant par le point.
- Si aucun parallélisme n'est disponible : prolonger deux côtés déjà tracés, ou un côté et une arête, jusqu'à obtenir un point auxiliaire hors du cube. Ce point appartient au plan de coupe et au plan d'une face voisine : il donne la direction du côté manquant.
- Fermer le polygone et vérifier : chaque côté est tracé dans une face, et deux côtés portés par des faces opposées doivent être parallèles.
Une section de cube a 3, 4, 5 ou 6 côtés : le cube a six faces, et le plan coupe chaque face selon au plus un segment. Un côté par face coupée.
Le troisième onglet de la visualisation fait cette construction en direct : déplace les trois points et observe comment le polygone change de forme et quels côtés restent parallèles.
E. Traduire une configuration par un système et interpréter
- Choisir un repère ou une base adaptée à la figure : sur un cube \(ABCDEFGH,\) on prend presque toujours \((A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}).\) Les huit sommets ont alors des coordonnées valant \(0\) ou \(1.\)
- Traduire l'énoncé : « \(M,\) \(N,\) \(P\) alignés » devient « \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{MP}\) colinéaires » ; « \(M,\) \(N,\) \(P,\) \(Q\) coplanaires » devient « \(\overrightarrow{MQ} = s\,\overrightarrow{MN} + t\,\overrightarrow{MP}\) » à condition que \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{MP}\) ne soient pas colinéaires (sinon \(M,\) \(N,\) \(P\) sont alignés et les quatre points sont toujours coplanaires) ; « les droites se coupent » devient un système en \(t\) et \(s.\)
- Résoudre proprement, en gardant toutes les équations.
- Interpréter : pas de solution, une solution, une infinité — et traduire en langage géométrique (voir le point 7 du cours).
Erreurs fréquentes
- Croire que deux droites non parallèles sont forcément sécantes. Dans l'espace, elles sont souvent non coplanaires. Il faut prouver la coplanarité avant de parler de point d'intersection.
- Oublier de vérifier la coplanarité. Résoudre deux équations sur trois et conclure « sécantes » est une faute : la troisième équation peut être fausse.
- Confondre « parallèle à un plan » et « incluse dans un plan ». Pour dire strictement parallèle, il faut vérifier qu'un point de la droite n'est pas dans le plan.
- Conclure sur une intersection sans résoudre le système. « Les droites semblent se couper sur la figure » n'est pas une démonstration ; une figure en perspective ment.
- Prendre deux vecteurs colinéaires pour diriger un plan. Deux vecteurs colinéaires ne dirigent qu'une droite : la caractérisation exige des vecteurs non colinéaires.
Visualisation
Chaque droite est donnée par un point et un vecteur directeur. Le pavé sert de repère visuel : ses arêtes valent \(4\) unités. Le verdict est recalculé à chaque mouvement.
Droite \(\mathcal D\) : point \(A\) (bleu)
x = 0
y = 0
z = 0
Vecteur directeur \(\vec u\)
α = 1
β = 0
γ = 0
Droite \(\mathcal D'\) : point \(B\) (corail)
x = 4
y = 4
z = 0
Vecteur directeur \(\vec v\)
α′ = 0
β′ = 0
γ′ = 1
droite Ddroite D′point d'intersection
Une droite \(\mathcal D(A\,;\vec u)\) et un plan \(\mathcal P\) passant par \(C\) et dirigé par \((\vec{w_1}\,;\vec{w_2}).\) Le morceau visible du plan est sa trace dans le pavé.
Droite : point \(A\) (bleu)
x = 0
y = 0
z = 0
Vecteur directeur \(\vec u\)
α = 1
β = 1
γ = 1
Plan : point \(C\) (violet)
x = 4
y = 0
z = 0
Vecteur \(\vec{w_1}\)
0
1
0
Vecteur \(\vec{w_2}\)
0
0
1
droiteplanpoint d'intersection I
Le plan de coupe est le plan \((PQR),\) où \(P\) glisse sur l'arête \([AE],\) \(Q\) sur \([BC]\) et \(R\) sur \([GH].\) Les côtés de même couleur sont portés par deux faces opposées, donc parallèles : c'est le théorème 3 à l'œuvre.
faces x = 0 et x = 4faces y = 0 et y = 4faces z = 0 et z = 4
Exercices
Exercice 1 — Position relative de deux droites Niveau 1
Réponse
Exercice 2 — Intersection d'une droite et d'un plan Niveau 2
xI
yI
zI
Exercice 3 — Deux droites d'un cube Niveau 3
Réponse
QCM
Quatre questions tirées au hasard dans une banque de quinze. Une seule bonne réponse par question.