1. Cours
Jusqu'ici on partait d'une fonction et on calculait sa dérivée. Ici on fait le chemin inverse : on connaît la dérivée, on cherche la fonction. C'est tout le chapitre.
1. L'équation \(y' = f\) : une équation dont l'inconnue est une fonction
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue n'est pas un nombre, mais une fonction, et qui fait intervenir la dérivée de cette fonction.
La plus simple de toutes s'écrit \(y' = f,\) où \(f\) est une fonction connue : on cherche toutes les fonctions \(y\) dérivables dont la dérivée est \(f.\)
Exemple. Résoudre \(y' = 2x\) sur \(\mathbb{R},\) c'est trouver toutes les fonctions dont la dérivée est \(2x.\)
La fonction \(x \mapsto x^{2}\) convient, car \(\left(x^{2}\right)' = 2x.\) Mais \(x \mapsto x^{2}+7\) convient aussi, et \(x \mapsto x^{2}-3\) également : ajouter une constante ne change pas la dérivée.
Les solutions sont les fonctions \(x \mapsto x^{2}+k,\) où \(k\) est un réel quelconque. Il y en a une infinité.
Résoudre \(y' = f\) et « chercher les primitives de \(f\) », c'est exactement la même chose : c'est ainsi que la notion de primitive entre en scène.
2. Définition d'une primitive sur un intervalle
Définition. Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I.\) On dit que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) lorsque :
\(F\) est dérivable sur \(I\) et, pour tout \(x\) de \(I,\) \(F'(x) = f(x).\)
Deux mots comptent dans cette définition.
- Intervalle : une primitive se cherche toujours sur un intervalle. Ce n'est pas un détail de vocabulaire, c'est l'hypothèse qui fera marcher le théorème du point 4.
- Une primitive, et non « la » primitive : il y en a toujours plusieurs, comme on vient de le voir.
Exemple. Sur \(\mathbb{R},\) \(F(x) = x^{3}\) est une primitive de \(f(x) = 3x^{2},\) car \(F'(x) = 3x^{2}.\)
\(G(x) = x^{3}+7\) en est une autre, car \(G'(x) = 3x^{2}+0 = 3x^{2}.\) De même \(H(x) = x^{3}-2.\)
Le sens de lecture est donc : \(F\) est une primitive de \(f\) équivaut à \(f\) est la dérivée de \(F\). Une seule flèche, lue dans les deux sens.
3. Existence : un résultat admis, et une limite honnête
Théorème (admis ici). Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet des primitives sur \(I.\)
Ce résultat n'est pas démontré dans ce chapitre : il le sera dans le chapitre du calcul intégral, où l'on construit une primitive à l'aide de l'intégrale (sans pour autant obtenir une formule avec les fonctions usuelles, voir ci-dessous). Ici, on l'admet et on s'en sert.
Attention à ne pas surinterpréter. « Admettre des primitives » ne veut pas dire « savoir les écrire ». Pour certaines fonctions, on ne dispose pas de primitive explicite : aucune expression formée avec les fonctions usuelles (polynômes, quotients, racines, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus) ne convient.
L'exemple le plus célèbre est \(f(x) = \mathrm e^{-x^{2}}.\) Elle est continue sur \(\mathbb{R},\) donc elle a des primitives — mais aucune ne s'écrit avec les fonctions du lycée. Même chose pour \(x \mapsto \dfrac{\sin x}{x}\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[.\)
Autrement dit : l'existence est garantie, le calcul ne l'est pas. Les exercices sont choisis pour que le calcul aboutisse.
4. Deux primitives diffèrent d'une constante à savoir démontrer
Théorème. Soit \(f\) continue sur un intervalle \(I,\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I.\) Alors les primitives de \(f\) sur \(I\) sont exactement les fonctions
\[F + k, \quad k \in \mathbb{R}.\]
En particulier, deux primitives d'une même fonction sur \(I\) diffèrent d'une constante.
Démonstration exigible
Sens 1 : chaque \(F+k\) est bien une primitive.
Soit \(k\) un réel. La fonction \(F+k\) est dérivable sur \(I\) et \((F+k)' = F' + 0 = F' = f.\) Donc \(F+k\) est une primitive de \(f\) sur \(I.\)
Sens 2 : il n'y en a pas d'autres.
Soit \(G\) une primitive quelconque de \(f\) sur \(I.\) Posons \(H = G - F.\)
\(H\) est dérivable sur \(I\) comme différence de deux fonctions dérivables, et pour tout \(x\) de \(I\) :
\[H'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0.\]
Or une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle (résultat de la fiche 4C). Il existe donc un réel \(k\) tel que, pour tout \(x\) de \(I,\) \(H(x) = k,\) c'est-à-dire \(G(x) = F(x) + k.\)
Les deux sens réunis donnent exactement l'ensemble annoncé. \(\blacksquare\)
L'hypothèse « intervalle » est indispensable. Sur \(\left]-\infty\,;0\right[\,\cup\,\left]0\,;+\infty\right[,\) qui n'est pas un intervalle, la fonction qui vaut \(0\) sur \(\left]-\infty\,;0\right[\) et \(1\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) a une dérivée nulle partout sans être constante. Le théorème tomberait en panne.
Conséquence pratique, à écrire à chaque fois : une réponse à « déterminer les primitives de \(f\) » se termine par « \(+\,k,\) avec \(k \in \mathbb{R}\) ».
5. Le tableau des primitives de référence
Il s'obtient en lisant à l'envers le tableau des dérivées de référence : fiche 4B pour les puissances et la racine carrée, 6A pour l'exponentielle, 6C pour le logarithme, 11B pour sinus et cosinus. Rien de nouveau à apprendre : ce sont les mêmes formules, parcourues de droite à gauche.
| \(f(x)\) | une primitive \(F(x)\) | sur |
|---|---|---|
| \(a\) (constante) | \(ax\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x\) | \(\dfrac{x^{2}}{2}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^{n},\ n \in \mathbb{N}\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x^{2}}\) | \(-\dfrac{1}{x}\) | \(\left]0\,;+\infty\right[\) ou \(\left]-\infty\,;0\right[\) |
| \(x^{n},\ n \in \mathbb{Z},\ n \leqslant -2\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | tout intervalle ne contenant pas \(0\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln x\) | \(\left]0\,;+\infty\right[\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln(-x)\) | \(\left]-\infty\,;0\right[\) |
| \(\mathrm e^{x}\) | \(\mathrm e^{x}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(\left]0\,;+\infty\right[\) |
La dernière ligne fait partie de la liste officielle des fonctions de référence. Elle vient de la lecture inverse de \(\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) : une primitive de \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) est \(\sqrt{x},\) donc une primitive de \(\dfrac{1}{\sqrt{x}} = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) est \(2\sqrt{x}.\) Elle sert aussi au cas composé du point 6.
Trois lectures à faire soi-même, pour vérifier que la table dit vrai.
- \(f(x) = x^{4}\) : \(F(x) = \dfrac{x^{5}}{5},\) car \(\left(\dfrac{x^{5}}{5}\right)' = \dfrac{5x^{4}}{5} = x^{4}.\)
- \(f(x) = \dfrac{1}{x^{3}} = x^{-3}\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) : \(F(x) = \dfrac{x^{-2}}{-2} = -\dfrac{1}{2x^{2}},\) car \(\left(-\dfrac12 x^{-2}\right)' = -\dfrac12 \times (-2) x^{-3} = x^{-3}.\)
- \(f(x) = \sin x\) : \(F(x) = -\cos x,\) car \((-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x.\) Le signe moins est la faute classique.
Les deux lignes à intervalle. Pour \(\dfrac1x\) et pour \(x^{n}\) avec \(n \leqslant -2,\) la fonction n'est pas définie en \(0.\) Il faut donc choisir un intervalle qui ne contient pas \(0,\) et le dire. Écrire « sur \(\mathbb{R}^{*}\) » ne suffit pas : \(\mathbb{R}^{*}\) n'est pas un intervalle.
Enfin, la recherche de primitives est linéaire : une primitive de \(\lambda f + \mu g\) est \(\lambda F + \mu G.\) On traite donc les sommes terme par terme.
6. Les formes composées : \(u' \times (v' \circ u)\)
La fiche 4D donne la dérivée d'une composée : \(\left(v \circ u\right)' = u' \times \left(v' \circ u\right).\) Lue à l'envers, cette formule dit :
Une primitive de \(x \mapsto u'(x)\,v'\!\left(u(x)\right)\) est \(x \mapsto v\!\left(u(x)\right).\)
En pratique, on n'utilise que quatre ou cinq cas, obtenus en prenant pour \(v\) une fonction de référence. Dans tout le tableau, \(u\) est dérivable sur l'intervalle considéré.
| \(f(x)\) | une primitive \(F(x)\) | condition |
|---|---|---|
| \(u'u^{n},\ n \in \mathbb{N}\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | aucune |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln u\) | \(u > 0\) sur l'intervalle |
| \(u'\,\mathrm e^{u}\) | \(\mathrm e^{u}\) | aucune |
| \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) | \(\sqrt{u}\) | \(u > 0\) sur l'intervalle |
| \(\dfrac{u'}{u^{2}}\) | \(-\dfrac{1}{u}\) | \(u\) ne s'annule pas |
Un exemple par ligne, tous vérifiés en dérivant.
- \(f(x) = 2x\left(x^{2}+3\right)^{4}\) : ici \(u(x) = x^{2}+3\) et \(u'(x) = 2x,\) donc \(F(x) = \dfrac{\left(x^{2}+3\right)^{5}}{5}.\) Vérification : \(F'(x) = \dfrac{5\left(x^{2}+3\right)^{4}\times 2x}{5} = 2x\left(x^{2}+3\right)^{4}.\)
- \(f(x) = \dfrac{2x}{x^{2}+1}\) sur \(\mathbb{R}\) : \(u(x) = x^{2}+1 > 0,\) donc \(F(x) = \ln\left(x^{2}+1\right).\)
- \(f(x) = 2x\,\mathrm e^{x^{2}}\) : \(u(x) = x^{2},\) donc \(F(x) = \mathrm e^{x^{2}}.\)
- \(f(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x+5}}\) sur \(\left]-5\,;+\infty\right[\) : \(u(x) = x+5\) et \(u'(x) = 1,\) donc \(F(x) = \sqrt{x+5}.\)
- \(f(x) = \dfrac{2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\) sur \(\mathbb{R}\) : \(F(x) = -\dfrac{1}{x^{2}+1}.\)
Le facteur \(u'\) manque presque toujours au départ. On le fait apparaître en multipliant et en divisant par une constante.
- \(f(x) = x\,\mathrm e^{x^{2}}\) : avec \(u(x) = x^{2},\) \(u'(x) = 2x.\) On écrit \(x\,\mathrm e^{x^{2}} = \dfrac12 \times 2x\,\mathrm e^{x^{2}},\) donc \(F(x) = \dfrac12\,\mathrm e^{x^{2}}.\)
- \(f(x) = \mathrm e^{5x}\) : avec \(u(x) = 5x,\) \(u'(x) = 5.\) On écrit \(\mathrm e^{5x} = \dfrac15 \times 5\,\mathrm e^{5x},\) donc \(F(x) = \dfrac15\,\mathrm e^{5x}.\)
- \(f(x) = (2x+1)^{3}\) : avec \(u(x) = 2x+1,\) \(u'(x) = 2.\) On écrit \((2x+1)^{3} = \dfrac12 \times 2\,(2x+1)^{3},\) donc \(F(x) = \dfrac12 \times \dfrac{(2x+1)^{4}}{4} = \dfrac{(2x+1)^{4}}{8}.\)
7. La primitive qui passe par un point donné : elle est unique
Théorème. Soit \(f\) continue sur un intervalle \(I,\) soit \(x_0 \in I\) et soit \(y_0\) un réel. Il existe une unique primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(F(x_0) = y_0.\)
Pourquoi ? (une ligne de calcul)
D'après le point 3, \(f\) admet une primitive \(G\) sur \(I,\) et d'après le point 4 toute primitive s'écrit \(G+k.\) Alors :
\[F(x_0) = y_0 \iff G(x_0) + k = y_0 \iff k = y_0 - G(x_0).\]
Une seule valeur de \(k\) convient, donc une seule primitive. \(\blacksquare\)
Exemple. Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x) = 3x^{2}-4x\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(F(1) = 5.\)
- Une primitive : \(G(x) = x^{3}-2x^{2}.\) (Vérification : \(G'(x) = 3x^{2}-4x.\))
- Toutes les primitives : \(F(x) = x^{3}-2x^{2}+k.\)
- Condition : \(F(1) = 1-2+k = -1+k,\) et on veut \(-1+k = 5,\) donc \(k = 6.\)
- Réponse : \(F(x) = x^{3}-2x^{2}+6.\) Contrôle : \(F(1) = 1-2+6 = 5.\)
Graphiquement, les courbes des primitives se déduisent les unes des autres par translation verticale : elles ont partout la même pente. Imposer un point revient à choisir la hauteur, donc à n'en garder qu'une. C'est exactement ce que montre l'onglet 2 de la visualisation.
2. Méthode
A. Reconnaître la forme avant de chercher
Ne jamais se lancer dans un calcul sans avoir classé l'expression. L'arbre ci-dessous se parcourt de haut en bas, on s'arrête à la première réponse « oui ».
Oui → on traite chaque terme séparément (la recherche de primitives est linéaire), puis on additionne, et on met un seul \(+\,k\) à la fin.
\(x^{n},\) \(\dfrac1x,\) \(\dfrac{1}{\sqrt{x}},\) \(\mathrm e^{x},\) \(\cos x,\) \(\sin x\) → on lit la ligne, on note l'intervalle si la fonction n'est pas définie en \(0.\)
Une parenthèse élevée à une puissance, un dénominateur, un exposant, un contenu de racine : c'est \(u.\) On calcule \(u'\) et on cherche \(u'\) dans l'expression.
Oui → voir la méthode C : on multiplie et on divise par la constante qui manque.
C'est possible : certaines fonctions n'ont pas de primitive explicite. Dans un exercice de Terminale, c'est plutôt le signe qu'il faut d'abord développer ou simplifier l'expression.
B. Lire le tableau des dérivées à l'envers
C'est le seul réflexe à installer : on ne mémorise pas un nouveau tableau, on relit l'ancien de droite à gauche.
| Ce que disent les fiches de dérivation | Ce qu'on en déduit ici |
|---|---|
| \(\left(x^{n+1}\right)' = (n+1)x^{n}\) | une primitive de \(x^{n}\) est \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) (pour \(n \neq -1\) ; le cas \(n = -1\) est la ligne suivante) |
| \(\left(\ln x\right)' = \dfrac1x\) | une primitive de \(\dfrac1x\) est \(\ln x\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) |
| \(\left(\mathrm e^{x}\right)' = \mathrm e^{x}\) | une primitive de \(\mathrm e^{x}\) est \(\mathrm e^{x}\) |
| \(\left(\sin x\right)' = \cos x\) | une primitive de \(\cos x\) est \(\sin x\) |
| \(\left(\cos x\right)' = -\sin x\) | une primitive de \(\sin x\) est \(-\cos x\) |
| \(\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | une primitive de \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) est \(\sqrt{x}\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) |
Dans le sens « dérivée », l'exposant baisse d'une unité et vient multiplier ; dans le sens « primitive », il monte d'une unité et vient diviser. C'est le sens « primitive » qui fait apparaître une fraction.
C. Faire apparaître le facteur \(u'\) qui manque
- Repérer la fonction intérieure \(u.\)
- Calculer \(u'.\)
- Comparer \(u'\) au facteur réellement présent devant : le rapport doit être une constante \(\lambda.\) Si ce n'est pas une constante, la méthode ne s'applique pas.
- Réécrire \(f = \lambda \times \left(\text{forme du tableau}\right).\)
- Multiplier par \(\lambda\) la primitive lue dans le tableau.
- Vérifier en dérivant.
Exemple 1. \(f(x) = \dfrac{x}{x^{2}+4}\) sur \(\mathbb{R}.\)
\(u(x) = x^{2}+4,\) \(u'(x) = 2x.\) Au numérateur il y a \(x,\) soit \(\dfrac12 \times 2x.\) Donc \(f(x) = \dfrac12 \times \dfrac{2x}{x^{2}+4},\) et comme \(x^{2}+4 > 0\) sur \(\mathbb{R}\) :
\[F(x) = \dfrac12 \ln\left(x^{2}+4\right).\]
Contrôle : \(F'(x) = \dfrac12 \times \dfrac{2x}{x^{2}+4} = \dfrac{x}{x^{2}+4}.\)
Exemple 2. \(f(x) = 4\,\mathrm e^{-2x}\) sur \(\mathbb{R}.\)
\(u(x) = -2x,\) \(u'(x) = -2.\) On écrit \(4\,\mathrm e^{-2x} = -2 \times \left(-2\,\mathrm e^{-2x}\right),\) donc \(F(x) = -2\,\mathrm e^{-2x}.\)
Contrôle : \(F'(x) = -2 \times (-2)\,\mathrm e^{-2x} = 4\,\mathrm e^{-2x}.\)
D. Trouver la primitive qui vaut une valeur donnée en un point
- Chercher une primitive \(G,\) sans constante, avec les méthodes A à C.
- Écrire toutes les primitives : \(F = G + k.\)
- Traduire la condition : \(F(x_0) = y_0.\)
- Résoudre en \(k\) : \(k = y_0 - G(x_0).\)
- Conclure en écrivant \(F\) en entier, puis vérifier que \(F(x_0)\) vaut bien \(y_0.\)
Exemple. Primitive de \(f(x) = \dfrac{2}{x^{2}}\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) telle que \(F(2) = 3.\)
\(G(x) = -\dfrac2x\) convient, car \(G'(x) = \dfrac{2}{x^{2}}.\) Alors \(F(x) = -\dfrac2x + k\) et \(F(2) = -1+k.\)
\(-1+k = 3\) donne \(k = 4,\) donc \(F(x) = -\dfrac2x + 4.\) Contrôle : \(F(2) = -1+4 = 3.\)
E. Vérifier son résultat en le dérivant — le réflexe à installer
C'est le seul chapitre du programme où l'on peut contrôler seul sa réponse en trente secondes, sans corrigé : il suffit de dériver ce qu'on a écrit et de comparer à l'énoncé. Aucun exercice de primitive ne devrait être rendu sans ce contrôle.
Un élève propose \(F(x) = 3\,\mathrm e^{3x}\) comme primitive de \(f(x) = \mathrm e^{3x}.\) Il dérive : \(F'(x) = 3 \times 3\,\mathrm e^{3x} = 9\,\mathrm e^{3x},\) ce qui n'est pas \(\mathrm e^{3x}.\) Le contrôle a détecté l'erreur, et il indique même la correction : il fallait diviser par \(3,\) donc \(F(x) = \dfrac13\,\mathrm e^{3x}.\) Contrôle final : \(F'(x) = \dfrac13 \times 3\,\mathrm e^{3x} = \mathrm e^{3x}.\)
Les erreurs qui coûtent des points
- Oublier la constante. « Les primitives de \(3x^{2}\) sont \(x^{3}\) » est faux : ce sont les fonctions \(x^{3}+k,\) \(k \in \mathbb{R}.\) Sauf si l'énoncé impose une condition initiale, la réponse contient toujours un \(k.\)
- Oublier de préciser l'intervalle pour \(\dfrac1x\) et pour les puissances négatives. \(-\dfrac1x\) est une primitive de \(\dfrac{1}{x^{2}}\) sur \(\left]0\,;+\infty\right[\) et sur \(\left]-\infty\,;0\right[,\) mais pas « sur \(\mathbb{R}^{*}\) » : \(\mathbb{R}^{*}\) n'est pas un intervalle, et le théorème du point 4 ne s'y applique pas.
- Croire qu'une primitive d'un produit est le produit des primitives. Contre-exemple imparable : \(f(x) = x \times x = x^{2}.\) Le produit des primitives donnerait \(\dfrac{x^{2}}{2} \times \dfrac{x^{2}}{2} = \dfrac{x^{4}}{4},\) dont la dérivée est \(x^{3}\) et non \(x^{2}.\) La bonne réponse est \(\dfrac{x^{3}}{3}.\) Même remarque pour les quotients.
- Se tromper de coefficient en compensant le facteur intérieur. Une primitive de \((3x+1)^{4}\) est \(\dfrac{(3x+1)^{5}}{15}\) et non \(\dfrac{(3x+1)^{5}}{5}\) : on divise par le nouvel exposant et par \(u'(x) = 3.\) Contrôle : \(\left(\dfrac{(3x+1)^{5}}{15}\right)' = \dfrac{5(3x+1)^{4}\times 3}{15} = (3x+1)^{4}.\)
- Lire le tableau dans le mauvais sens. Une primitive de \(x^{3}\) est \(\dfrac{x^{4}}{4}\) ; \(3x^{2}\) est sa dérivée. Le doute se lève toujours en dérivant la réponse.
3. Visualisation
En haut, la courbe de \(f.\) En bas, plusieurs primitives de \(f,\) tracées pour différentes valeurs de la constante. Déplace le curseur \(k\) : la courbe bleue glisse verticalement sans changer de forme. Déplace \(x_0\) : la pente de la tangente à la primitive est exactement la valeur de \(f\) au même endroit.
Une seule primitive passe par le point imposé. Déplace le point : la courbe bleue le suit, et la constante \(k\) se recalcule toute seule.
4. Exercices
Trois exercices à valeurs aléatoires : « Nouvel exercice » change les nombres. Les décimaux s'écrivent avec une virgule ou un point, au choix.
Exercice 1 — Primitive d'un polynôme Niveau 1
Exercice 2 — Une forme composée Niveau 2
Exercice 3 — La primitive qui passe par un point Niveau 3
5. QCM
Quatre questions tirées au hasard dans une banque de 19. Une seule bonne réponse par question.