Cours
1. « Sachant A » change la population de référence
On travaille dans un univers fini muni d’une probabilité P. Si \(P(A)>0,\) la probabilité de B sachant A est
Exemple : sur 30 élèves pratiquant un sport, 12 jouent d’un instrument. Parmi les sportifs, la probabilité de jouer d’un instrument vaut \(12/30=2/5=0{,}4.\)
Dans un tableau d’effectifs avec tirage équiprobable, le dénominateur est l’effectif de A, pas celui de toute la population. La notation \(P(B\mid A)\) exprime la même chose que \(P_A(B).\)
2. Sur un arbre : multiplier le long d’un chemin
La première branche porte \(P(A),\) la suivante \(P_A(B).\) Le chemin complet représente l’intersection :
\[P(A\cap B)=P(A)P_A(B).\]Si \(P(A)=0{,}4\) et \(P_A(B)=0{,}7,\) alors \(P(A\cap B)=0{,}28.\) Les branches issues d’un même nœud totalisent 1 : \(P_A(\overline B)=1-P_A(B)=0{,}3.\)
3. Additionner des chemins incompatibles
Les événements A et \(\overline A\) forment une partition de l’univers : ils ne se recouvrent pas et couvrent toutes les issues. Si \(0 Avec \(P(A)=0{,}4,\) \(P_A(B)=0{,}7\) et \(P_{\overline A}(B)=0{,}2,\) on obtient \(P(B)=0{,}28+0{,}12=0{,}4.\) Plus généralement, pour une partition \(A_1,\ldots,A_m\) dont chaque événement a une probabilité strictement positive : Cette égalité vient de la réunion des intersections \(A_i\cap B,\) deux à deux incompatibles.
4. Inverser le conditionnement
Dans l’exemple précédent, parmi les issues qui réalisent B, quelle proportion réalise A ? Comme \(P(B)>0,\)
\[P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0{,}28}{0{,}4}=0{,}7.\]Le résultat est ici 0,7, mais ce n’est pas une égalité générale entre les deux sens. Par exemple, si \(P(A)=0{,}2,\) \(P_A(B)=0{,}5\) et \(P_{\overline A}(B)=0{,}25,\) alors \(P_B(A)=1/3,\) différent de \(P_A(B)=1/2.\)
5. Indépendance : une égalité à vérifier
A et B sont indépendants lorsque
\[P(A\cap B)=P(A)P(B).\]Si \(P(A)>0,\) cela équivaut à \(P_A(B)=P(B).\) Si \(0 Exemple : on modélise un lancer de dé et un lancer de pièce équilibrés comme indépendants. La probabilité d’obtenir 6 et pile vaut \((1/6)\times(1/2)=1/12.\)
6. Réunion et contrôles de cohérence
\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\]On retire l’intersection parce qu’elle a été comptée deux fois. Pour \(P(A)=0{,}4,\) \(P(B)=0{,}5\) et \(P(A\cap B)=0{,}2,\) la réunion vaut 0,7.
Une probabilité appartient à [0 ; 1]. L’intersection ne peut dépasser ni \(P(A)\) ni \(P(B).\) Sur l’arbre complet, la somme des probabilités des feuilles vaut 1.
Méthode
Du texte au calcul
- Nommer les événements et traduire « et », « ou », « sachant ».
- Repérer ce qui est donné : effectifs, probabilité globale ou probabilité conditionnelle.
- Construire l’arbre ou le tableau, compléter les branches par complément à 1.
- Multiplier pour une intersection, additionner les chemins incompatibles pour une probabilité totale.
- Pour une question inverse, diviser l’intersection par la probabilité de l’événement connu.
- Vérifier le dénominateur, puis l’intervalle [0 ; 1].
Les erreurs fréquentes
- Diviser par toute la population alors que la question dit « parmi A ».
- Échanger \(P_A(B)\) et \(P_B(A).\)
- Multiplier \(P(A)P(B)\) sans avoir établi ou posé l’indépendance.
- Additionner des chemins qui se recouvrent.
- Arrondir les étapes intermédiaires : garder les fractions jusqu’à la fin.
Visualisation
Un arbre et ses quatre régions
Modifie les trois probabilités. Chaque feuille donne la probabilité d’une intersection ; la mosaïque représente les mêmes quatre masses.
Bleu : A et B · bleu pâle : A et non B · vert : non A et B · gris : non A et non B. Les deux régions bleues composent A.
Exercices
Réponds avec une fraction (ex. 3/10) ou un décimal exact (ex. 0,3). Aucun arrondi n’est demandé.
Exercice 1 Niveau 1
Exercice 2 Niveau 2
Exercice 3 Niveau 3
QCM
Quatre questions tirées dans une banque de douze. Une seule réponse correcte par question.