14A — Sommes de variables aléatoires

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1. Cours

Sept points. Tout ce qui suit est au programme de Terminale, rubrique « Sommes de variables aléatoires ». L'espérance et la variance de la loi binomiale forment une démonstration exigible : elle peut tomber telle quelle au bac.

1Additionner deux variables aléatoires

Une variable aléatoire n'est pas un nombre : c'est une fonction définie sur l'univers \(\Omega.\) À chaque issue \(\omega\) elle associe le nombre \(X(\omega).\) C'est cette lecture qui permet de définir une somme.

Définition. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur le même univers \(\Omega.\) Leur somme \(X+Y\) est la variable aléatoire définie sur \(\Omega\) par \[(X+Y)(\omega)=X(\omega)+Y(\omega)\qquad\text{pour toute issue }\omega.\] De même, pour un réel \(a\), la variable \(aX\) est définie par \((aX)(\omega)=a\,X(\omega)\), et \(X+b\) par \((X+b)(\omega)=X(\omega)+b.\)

Exemple. On lance deux dés équilibrés à six faces. Une issue est un couple \(\omega=(i\,;j)\), et \(\Omega\) compte \(36\) issues. On note \(X\) le résultat du premier dé et \(Y\) celui du second. Alors \(S=X+Y\) est le total. Pour l'issue \(\omega=(3\,;5)\) : \(X(\omega)=3\), \(Y(\omega)=5\) et \(S(\omega)=8.\)

Pour obtenir la loi de \(S\), il faut regrouper les issues qui donnent le même total :

\(s\)	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
\(36\,P(S=s)\)	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

Par exemple \(P(S=7)=\dfrac{6}{36}=\dfrac16\) et \(P(S=2)=\dfrac{1}{36}.\)

Le point de départ du chapitre. Ce tableau a demandé un vrai travail, et il ne concerne que deux dés. Avec dix dés, il est hors de portée. Tout l'intérêt de ce qui suit est de calculer \(E(S)\) et \(V(S)\) sans jamais écrire la loi de \(S.\)

2Linéarité de l'espérance — sans aucune hypothèse

Théorème (linéarité de l'espérance). Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur le même univers, et \(a\) un réel. Alors \[E(X+Y)=E(X)+E(Y)\qquad\text{et}\qquad E(aX)=a\,E(X).\]

La phrase à retenir. Ces deux égalités sont vraies pour des variables quelconques. Il n'y a aucune hypothèse d'indépendance, aucune hypothèse de même loi. Elles restent vraies si \(Y\) est une fonction de \(X\), et même si \(Y=X.\)

Conséquences immédiates, en combinant les deux égalités :

\(E(aX+bY)=a\,E(X)+b\,E(Y)\) ;
\(E(X+b)=E(X)+b\) (la constante \(b\) est la variable qui vaut \(b\) pour toute issue, donc \(E(b)=b\)) ;
\(E(X_1+X_2+\dots+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+\dots+E(X_n)\), en répétant la première égalité.

Exemple (les deux dés). Pour un dé équilibré, \(E(X)=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=\dfrac{21}{6}=\dfrac72.\) Même chose pour \(Y.\) Donc

\[E(S)=E(X)+E(Y)=\dfrac72+\dfrac72=7.\]

Le tableau du point 1 donne la même valeur, mais au prix de onze produits : \(\dfrac{2\times1+3\times2+\dots+12\times1}{36}=\dfrac{252}{36}=7.\) L'onglet 1 de la visualisation refait les deux calculs devant toi.

Autre exemple. \(E(2X+3)=2\,E(X)+3=2\times\dfrac72+3=10.\)

3Variance : le multiple, puis la somme

La variance mesure la dispersion. Elle ne se comporte pas comme l'espérance, et c'est tout le sujet du chapitre.

Propriété (multiple et translation). Pour toute variable aléatoire \(X\) et tous réels \(a\) et \(b\) : \[V(aX)=a^{2}\,V(X),\qquad \sigma(aX)=|a|\,\sigma(X),\qquad V(X+b)=V(X).\] En combinant : \(V(aX+b)=a^{2}\,V(X).\)

Pourquoi le carré. Par définition \(V(aX)=E\!\left[\bigl(aX-E(aX)\bigr)^{2}\right].\) Or \(E(aX)=a\,E(X)\), donc \(aX-E(aX)=a\bigl(X-E(X)\bigr)\), et en élevant au carré le facteur \(a\) devient \(a^{2}\) :

\[V(aX)=E\!\left[a^{2}\bigl(X-E(X)\bigr)^{2}\right]=a^{2}\,E\!\left[\bigl(X-E(X)\bigr)^{2}\right]=a^{2}\,V(X).\]

Quant à la translation : ajouter \(b\) déplace toute la distribution en bloc, sans l'étaler. L'écart à la moyenne ne change pas, donc la variance non plus.

Théorème (additivité de la variance) — admis. Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, alors \[V(X+Y)=V(X)+V(Y).\] Le programme précise que cette relation est admise : elle n'est pas à démontrer.

En combinant les deux encadrés, pour \(X\) et \(Y\) indépendantes :

\[V(aX+bY+c)=a^{2}\,V(X)+b^{2}\,V(Y).\]

Exemple (les deux dés). Pour un dé équilibré, \(E\!\left(X^{2}\right)=\dfrac{1+4+9+16+25+36}{6}=\dfrac{91}{6}\), donc

\[V(X)=E\!\left(X^{2}\right)-E(X)^{2}=\dfrac{91}{6}-\left(\dfrac72\right)^{2}=\dfrac{182}{12}-\dfrac{147}{12}=\dfrac{35}{12}.\]

Les deux dés sont indépendants, donc \(V(S)=\dfrac{35}{12}+\dfrac{35}{12}=\dfrac{35}{6}\) et \(\sigma(S)=\sqrt{\dfrac{35}{6}}\approx2{,}415.\)

Comparaison instructive. \(V(2X)=2^{2}\times\dfrac{35}{12}=\dfrac{35}{3}\approx11{,}67\), alors que \(V(X+Y)=\dfrac{35}{6}\approx5{,}83.\) Doubler un dé n'est pas lancer deux dés : la variance est deux fois plus grande dans le premier cas. Pourtant l'espérance, elle, est la même (\(7\) dans les deux cas). C'est exactement le piège du point suivant.

4Ne pas confondre les deux propriétés La faute n° 1 du chapitre

	Espérance	Variance
Somme	\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) toujours vrai	\(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\) seulement si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes
Multiple	\(E(aX)=a\,E(X)\) toujours vrai	\(V(aX)=a^{2}\,V(X)\) toujours vrai, avec le carré

Contre-exemple 1 — la variable et elle-même. Prenons \(Y=X\), avec \(V(X)\neq0.\) Alors \(X+Y=2X\), donc

\[V(X+Y)=V(2X)=4\,V(X),\qquad\text{alors que}\qquad V(X)+V(Y)=2\,V(X).\]

Les deux nombres diffèrent dès que \(V(X)\neq0.\) Et pourtant \(E(X+Y)=2E(X)=E(X)+E(Y)\) : la linéarité de l'espérance, elle, tient toujours.

Contre-exemple 2 — deux variables qui se compensent. On lance une pièce équilibrée. On pose \(X=1\) si pile, \(X=0\) si face ; puis \(Y=1-X.\) Les deux variables suivent la même loi (celle de Bernoulli de paramètre \(\tfrac12\)), donc

\[E(X)=E(Y)=\dfrac12,\qquad V(X)=V(Y)=\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14.\]

Mais \(X+Y=1\) quelle que soit l'issue : c'est une variable constante. Donc :

\(E(X+Y)=1\) et \(E(X)+E(Y)=\dfrac12+\dfrac12=1\) : l'espérance est bien additive ;
\(V(X+Y)=0\) (une constante ne varie pas) alors que \(V(X)+V(Y)=\dfrac14+\dfrac14=\dfrac12\) : l'additivité de la variance est fausse ici.

Ce qui manquait : l'indépendance. Connaître \(X\) détermine complètement \(Y\) : ces deux variables sont aussi dépendantes que possible. L'onglet 1 de la visualisation permet de basculer entre les deux situations et de voir les deux calculs se séparer.

Remarque du programme — à lire attentivement. Les variables indépendantes du programme sont toujours celles d'une succession d'épreuves indépendantes : lancers répétés, tirages avec remise, prélèvements successifs. L'indépendance fait partie du modèle, elle est donnée par l'énoncé. Le texte officiel précise que toute question visant à justifier l'indépendance de variables données a priori est en dehors des objectifs du programme.

Ce qu'on attend de toi : repérer si l'énoncé fournit l'indépendance, et n'utiliser l'additivité de la variance que dans ce cas — pas la démontrer.

5Espérance et variance de la loi binomiale Démonstration exigible

C'est l'application phare du chapitre, et la seule démonstration exigible de la rubrique.

Théorème. Si \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal B(n\,;p)\), alors \[E(X)=np,\qquad V(X)=np(1-p),\qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.\]

Démonstration. Elle repose entièrement sur une décomposition.

La décomposition. \(X\) compte les succès d'un schéma de Bernoulli : \(n\) épreuves indépendantes, chacune de probabilité de succès \(p.\) Pour \(i\) allant de \(1\) à \(n\), on pose \[X_i=\begin{cases}1&\text{si la }i\text{-ème épreuve est un succès,}\\0&\text{sinon.}\end{cases}\] Chaque \(X_i\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\), les \(X_i\) sont indépendantes (les épreuves le sont), et compter les succès revient à additionner ces indicateurs : \[X=X_1+X_2+\dots+X_n.\]
Espérance d'une Bernoulli. \(X_i\) prend la valeur \(1\) avec la probabilité \(p\) et la valeur \(0\) avec la probabilité \(1-p\), donc \[E(X_i)=0\times(1-p)+1\times p=p.\]
Variance d'une Bernoulli. Comme \(0^{2}=0\) et \(1^{2}=1\), la variable \(X_i^{\,2}\) est égale à \(X_i.\) Donc \(E\!\left(X_i^{\,2}\right)=E(X_i)=p\) et \[V(X_i)=E\!\left(X_i^{\,2}\right)-E(X_i)^{2}=p-p^{2}=p(1-p).\]
Espérance de \(X\), par linéarité. Les \(n\) termes ont la même espérance \(p\) : \[E(X)=E(X_1)+\dots+E(X_n)=\underbrace{p+\dots+p}_{n\text{ termes}}=np.\]
Variance de \(X\), par additivité. Ici — et ici seulement — on se sert de l'indépendance des épreuves : \[V(X)=V(X_1)+\dots+V(X_n)=\underbrace{p(1-p)+\dots+p(1-p)}_{n\text{ termes}}=np(1-p).\] L'écart type s'en déduit : \(\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.\) \(\blacksquare\)

Où sert quoi. L'étape 4 n'utilise que la linéarité : elle serait vraie même sans indépendance. L'étape 5, elle, s'écroulerait sans elle. Si on te demande « où utilise-t-on l'indépendance ? », la réponse est : uniquement dans le calcul de la variance.

Exemple. Un questionnaire de \(50\) questions à cinq propositions, répondu au hasard : le nombre \(X\) de bonnes réponses suit \(\mathcal B(50\,;0{,}2).\) Alors

\[E(X)=50\times0{,}2=10,\qquad V(X)=50\times0{,}2\times0{,}8=8,\qquad \sigma(X)=\sqrt8=2\sqrt2\approx2{,}83.\]

6Échantillon de taille \(n\) : la somme et la moyenne

Définition (programme). Un échantillon de taille \(n\) d'une loi de probabilité est une liste \((X_1,\dots,X_n)\) de variables aléatoires indépendantes et de même loi — celle-là. On note habituellement \[S_n=X_1+X_2+\dots+X_n\qquad\text{et}\qquad M_n=\dfrac{S_n}{n}.\]

C'est le modèle de « on répète \(n\) fois la même expérience, indépendamment ». Notons \(\mu=E(X)\) et \(\sigma=\sigma(X)\) l'espérance et l'écart type d'une seule observation.

	Espérance	Variance	Écart type
Somme \(S_n\)	\(n\mu\)	\(n\sigma^{2}\)	\(\sigma\sqrt n\)
Moyenne \(M_n\)	\(\mu\)	\(\dfrac{\sigma^{2}}{n}\)	\(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\)

Justification. Pour la somme : les \(n\) espérances valent toutes \(\mu\), donc \(E(S_n)=n\mu\) par linéarité ; les \(n\) variances valent toutes \(\sigma^{2}\) et les variables sont indépendantes, donc \(V(S_n)=n\sigma^{2}.\)

Pour la moyenne, on écrit \(M_n=\dfrac1n\,S_n\) et on applique les propriétés du multiple :

\[E(M_n)=\dfrac1n\,E(S_n)=\dfrac{n\mu}{n}=\mu,\qquad V(M_n)=\left(\dfrac1n\right)^{2}V(S_n)=\dfrac{n\sigma^{2}}{n^{2}}=\dfrac{\sigma^{2}}{n},\]

puis \(\sigma(M_n)=\sqrt{\dfrac{\sigma^{2}}{n}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) (car \(\sigma\geqslant0\) et \(n>0\)).

Deux erreurs de recopie. \(V(S_n)=n\sigma^{2}\) et non \(n^{2}\sigma^{2}\) : c'est la somme de \(n\) variances, pas le multiple par \(n\) d'une variable. Et \(V(M_n)=\dfrac{\sigma^{2}}{n}\) et non \(\dfrac{\sigma}{n}\) : c'est la variance qui est divisée par \(n\), pas l'écart type.

Exemple. Une machine remplit des sachets dont la masse a pour espérance \(\mu=250\) g et pour écart type \(\sigma=6\) g. On prélève un échantillon de \(n=36\) sachets, indépendamment. Alors

masse totale : \(E(S_{36})=36\times250=9000\) g et \(\sigma(S_{36})=6\sqrt{36}=6\times6=36\) g ;
masse moyenne : \(E(M_{36})=250\) g et \(\sigma(M_{36})=\dfrac{6}{\sqrt{36}}=\dfrac66=1\) g.

7L'écart type de la moyenne décroît en \(\dfrac{1}{\sqrt n}\)

C'est le résultat à retenir de la fiche, et la clé de tout ce qui suit sur les sondages et les échantillons.

\(E(M_n)=\mu\) ne dépend pas de \(n\) : la moyenne d'un échantillon est toujours centrée sur la même valeur. En revanche \[\sigma(M_n)=\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\xrightarrow[\;n\text{ grand}\;]{}\ \text{de plus en plus petit.}\] Autrement dit : plus l'échantillon est grand, moins la moyenne est dispersée autour de \(\mu.\)

Table de valeurs pour un dé équilibré, où \(\mu=\dfrac72\) et \(\sigma=\sqrt{\dfrac{35}{12}}\approx1{,}708\) :

\(n\)	1	4	9	25	100	400
\(\sigma(M_n)\)	\(\approx1{,}708\)	\(\approx0{,}854\)	\(\approx0{,}569\)	\(\approx0{,}342\)	\(\approx0{,}171\)	\(\approx0{,}085\)

Aucune de ces six valeurs n'est exacte : \(\sqrt{35/12}\) est irrationnel, donc toutes sont des arrondis au millième, d'où le signe \(\approx.\)

La règle du carré. Comme \(\sqrt n\) est au dénominateur, diviser l'écart type par \(2\) coûte \(4\) fois plus d'observations ; le diviser par \(3\) en coûte \(9\) fois plus ; le diviser par \(10\), \(100\) fois plus. La précision se paie cher.

Somme et moyenne vont en sens contraires. \(\sigma(S_n)=\sigma\sqrt n\) grandit avec \(n\), tandis que \(\sigma(M_n)=\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) diminue. Pour le dé et \(n=100\) : \(\sigma(S_{100})\approx17{,}08\) alors que \(\sigma(M_{100})\approx0{,}171.\) Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente aux contrôles.

L'onglet 2 de la visualisation montre l'histogramme de \(M_n\) se resserrer autour de \(\mu\) quand \(n\) grandit, avec l'écart type recalculé à chaque fois.

Et après ? La fiche 14B transforme cette décroissance en une garantie chiffrée : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, l'inégalité de concentration et la loi des grands nombres.

2. Méthode

Quatre méthodes, puis les erreurs qui coûtent des points. La méthode A est la capacité centrale du chapitre : « représenter une variable comme somme de variables aléatoires plus simples ».

A. Décomposer une variable en somme de variables plus simples

Repérer la répétition. L'énoncé décrit \(n\) épreuves, \(n\) tirages, \(n\) objets, \(n\) lancers. C'est l'indice.
Définir \(X_i\) par une phrase complète. « \(X_i=1\) si le \(i\)-ème lancer donne un six, \(X_i=0\) sinon », ou « \(X_i\) = gain du \(i\)-ème tirage ». Une définition floue fait perdre tout le reste.
Écrire l'égalité. \(X=X_1+X_2+\dots+X_n\), et justifier en une ligne pourquoi (compter, c'est additionner des indicateurs).
Donner la loi de \(X_i\), son espérance et sa variance. Le plus souvent une loi de Bernoulli : \(E(X_i)=p\) et \(V(X_i)=p(1-p).\)
Conclure. Espérance par linéarité. Variance seulement si l'énoncé fournit l'indépendance.

Exemple guidé. On lance \(10\) fois un dé équilibré. \(X\) est le nombre de six obtenus.

\(X_i=1\) si le \(i\)-ème lancer donne un six, \(0\) sinon. Alors \(X=X_1+\dots+X_{10}.\)
\(X_i\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p=\dfrac16\) : \(E(X_i)=\dfrac16\) et \(V(X_i)=\dfrac16\times\dfrac56=\dfrac{5}{36}.\)
Linéarité : \(E(X)=10\times\dfrac16=\dfrac{10}{6}=\dfrac53.\)
Les lancers sont indépendants, donc \(V(X)=10\times\dfrac5{36}=\dfrac{50}{36}=\dfrac{25}{18}.\)

Contrôle. \(X\) suit \(\mathcal B\!\left(10\,;\tfrac16\right)\), et les formules du point 5 donnent \(np=\dfrac{10}{6}=\dfrac53\) et \(np(1-p)=10\times\dfrac16\times\dfrac56=\dfrac{50}{36}=\dfrac{25}{18}.\) Identique.

B. Calculer une espérance par linéarité, sans passer par la loi

Écrire la variable cherchée en fonction des variables simples, avec ses coefficients : \(G=aX+bY+c.\)
Appliquer la linéarité : \(E(G)=a\,E(X)+b\,E(Y)+c.\) Ne rien vérifier d'autre : aucune hypothèse n'est requise.
Remplacer par les espérances connues et calculer.

Exemple. On lance deux dés équilibrés, de résultats \(X\) et \(Y.\) Le gain est \(G=2X+3Y-4\) euros. Comme \(E(X)=E(Y)=\dfrac72\) :

\[E(G)=2\times\dfrac72+3\times\dfrac72-4=7+\dfrac{21}{2}-4=\dfrac{27}{2}=13{,}5.\]

Par la loi de \(G\), il aurait fallu examiner les \(36\) issues une par une.

Réflexe. Dès qu'un énoncé demande une espérance et qu'écrire la loi paraît interminable, c'est le signal : décompose et utilise la linéarité.

C. Calculer une variance par décomposition en variables indépendantes

Chercher l'indépendance dans l'énoncé : « tirages avec remise », « lancers successifs », « épreuves indépendantes », « échantillon ». Sans cette mention, l'additivité est interdite.
Décomposer : \(G=aX+bY+c\), avec \(X\) et \(Y\) indépendantes.
Appliquer les deux règles : la constante \(c\) disparaît, et chaque coefficient est élevé au carré : \[V(G)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y).\]
Écart type : \(\sigma(G)=\sqrt{V(G)}\), et seulement à la fin.

Exemple (suite de B). Les deux dés sont indépendants et \(V(X)=V(Y)=\dfrac{35}{12}.\) Donc

\[V(G)=2^{2}\times\dfrac{35}{12}+3^{2}\times\dfrac{35}{12}=13\times\dfrac{35}{12}=\dfrac{455}{12},\]

et \(\sigma(G)=\sqrt{\dfrac{455}{12}}\approx6{,}16.\) Le \(-4\) n'intervient nulle part : une translation ne disperse rien.

Le signe disparaît. Si le gain était \(G=2X-3Y-4\), la variance serait la même : \((-3)^{2}=9.\) Un carré efface le signe. L'espérance, elle, change.

D. Traiter un échantillon

Identifier une seule observation : quelle est la variable \(X\) répétée, quelle est son espérance \(\mu\), quel est son écart type \(\sigma\) ? Si l'énoncé donne \(V(X)\), commence par \(\sigma=\sqrt{V(X)}.\)
Lire la taille \(n\) et vérifier le mot « indépendantes » ou « échantillon ».
Choisir la bonne ligne : somme \(S_n\) ou moyenne \(M_n\) ? C'est là que se perdent les points.
Appliquer : \(E(S_n)=n\mu\), \(\sigma(S_n)=\sigma\sqrt n\) ; \(E(M_n)=\mu\), \(\sigma(M_n)=\dfrac{\sigma}{\sqrt n}.\)
Pour une question de précision (« quelle taille pour diviser l'écart type par \(k\) ? »), se souvenir que \(n\) doit être multiplié par \(k^{2}.\)

Exemple. Une pièce a une masse d'espérance \(\mu=80\) g et de variance \(V(X)=25\) g\(^2.\) On en prélève \(n=100\), indépendamment.

\(\sigma=\sqrt{25}=5\) g.
Moyenne : \(E(M_{100})=80\) g et \(\sigma(M_{100})=\dfrac{5}{\sqrt{100}}=\dfrac5{10}=0{,}5\) g.
Somme : \(E(S_{100})=8000\) g et \(\sigma(S_{100})=5\sqrt{100}=50\) g.
Pour diviser \(\sigma(M_n)\) par \(2\), il faut \(n=400\) : on obtient alors \(\dfrac{5}{20}=0{,}25\) g.

Erreurs fréquentes

Appliquer l'additivité de la variance sans indépendance. C'est l'erreur qui coûte le plus cher. \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\) exige que l'énoncé fournisse l'indépendance. Sans elle, la formule est fausse — le contre-exemple \(Y=1-X\) donne \(0\) au lieu de \(\dfrac12.\)
Oublier le carré dans \(V(aX).\) \(V(3X)=9\,V(X)\), et non \(3\,V(X).\) Attention à ne pas sur-corriger : c'est bien \(\sigma(3X)=3\,\sigma(X)\) — le carré est sur la variance, pas sur l'écart type, et il devient une valeur absolue : \(\sigma(-3X)=3\,\sigma(X).\)
Confondre l'écart type de la somme et celui de la moyenne. \(\sigma(S_n)=\sigma\sqrt n\) augmente, \(\sigma(M_n)=\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) diminue. Relis la question : « masse totale » ou « masse moyenne » ?
Chercher à justifier l'indépendance. Le programme dit explicitement que c'est hors objectif. L'indépendance est une hypothèse du modèle, apportée par l'énoncé. Écris « les lancers sont indépendants, donc les \(X_i\) le sont », et passe à la suite.
Ajouter la constante à la variance. \(V(X+5)=V(X)\), pas \(V(X)+5.\) Une translation ne change pas la dispersion.
Additionner les écarts types. \(\sigma(X+Y)\neq\sigma(X)+\sigma(Y)\) même avec l'indépendance : ce sont les variances qui s'ajoutent, donc \(\sigma(X+Y)=\sqrt{V(X)+V(Y)}.\)

3. Visualisation

La loi de \(S=X+Y\) est calculée exactement (fractions, aucun arrondi), puis \(E(S)\) et \(V(S)\) sont obtenues de deux façons : directement à partir de cette loi, et par les formules du cours. Change de situation pour voir où les deux résultats cessent de coïncider.

faces de \(X\)6

faces de \(Y\)6

\(p_1\)0,5

\(p_2\)0,3

loi de \(S=X+Y\)espérance \(E(S)\)

4. Exercices

Trois exercices à valeurs aléatoires : « Nouvel exercice » change les nombres. Toutes les réponses attendues ici sont des valeurs exactes (entiers ou demi-entiers) : l'égalité est exigée, aucun arrondi n'est demandé. La virgule décimale est acceptée.

Exercice 1 — Espérance d'une somme Niveau 1

Exercice 2 — Variance d'une somme Niveau 2

1. \(E(Z)=\)

2. \(V(Z)=\)

Exercice 3 — Échantillon Niveau 3

1. \(E(M_n)=\)

2. \(\sigma(M_n)=\)

3. taille \(n'=\)

5. QCM

Quatre questions tirées au hasard dans une banque de dix-huit. Une seule bonne réponse par question ; l'explication apparaît dès que tu as répondu.

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