Cours
1. Le taux de variation entre \(a\) et \(a+h\)
Soit \(f\) une fonction et \(a\) un nombre de son ensemble de définition. Pour \(h \neq 0\), le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\) est
\[\tau(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.\]
C'est la pente de la sécante \((AB)\), où \(A\) est le point de coordonnées \((a\,;\,f(a))\) et \(B\) le point de coordonnées \((a+h\,;\,f(a+h)).\)
Exemple. \(f(x) = x^2\), \(a = 2\), \(h = 1\) :
\[\tau(1) = \frac{f(3) - f(2)}{1} = \frac{9 - 4}{1} = 5.\]
La droite qui passe par \(A(2\,;\,4)\) et \(B(3\,;\,9)\) a donc pour pente \(5.\)
Autre écriture, la même chose : entre deux abscisses \(a\) et \(b\), le taux vaut \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) — il suffit de poser \(h = b - a.\)
2. Le nombre dérivé \(f'(a)\)
On fait tendre \(h\) vers \(0\) : le point \(B\) glisse sur la courbe et se rapproche de \(A.\) Si le taux de variation \(\tau(h)\) se rapproche d'un nombre réel, on dit que \(f\) est dérivable en \(a\) et ce nombre s'appelle le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\) (lire « f prime de a ») :
\[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.\]
Ne jamais remplacer \(h\) par \(0\) tout de suite : on obtiendrait \(\dfrac{0}{0}\), qui ne veut rien dire. Il faut d'abord simplifier par \(h\).
3. Le calcul complet sur la fonction carré
Soit \(f(x) = x^2\) et \(a\) un réel quelconque. Pour \(h \neq 0\) :
\[\tau(h) = \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h}.\]
On factorise par \(h\) au numérateur, puis on simplifie (c'est permis, car \(h \neq 0\)) :
\[\tau(h) = \frac{h\,(2a + h)}{h} = 2a + h.\]
Quand \(h\) tend vers \(0\), la quantité \(2a + h\) tend vers \(2a.\) Donc la fonction carré est dérivable en tout réel \(a\) et
\[f'(a) = 2a.\]
Par exemple \(f'(2) = 4\), \(f'(-1) = -2\), \(f'(0) = 0\), \(f'(0{,}5) = 1.\)
4. La tangente, position limite des sécantes
Quand \(h\) tend vers \(0\), la sécante \((AB)\) pivote autour de \(A\) et vient se coller à la courbe : sa position limite est la tangente à la courbe au point \(A\).
La tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\) est la droite qui passe par \(A(a\,;\,f(a))\) et dont le coefficient directeur (la pente) est \(f'(a)\).
Exemple : pour \(f(x) = x^2\), la tangente au point \(A(2\,;\,4)\) a pour pente \(f'(2) = 4.\)
Cas particulier utile : \(f'(a) = 0\) signifie que la tangente en \(a\) est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses).
5. Équation de la tangente à savoir démontrer
Si \(f\) est dérivable en \(a\), la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation
\[y = f(a) + f'(a)\,(x - a).\]
Démonstration (exigible).
- \(T\) a pour coefficient directeur \(f'(a)\) : ce n'est pas une droite verticale, elle a donc une équation de la forme \(y = f'(a)\,x + p.\)
- \(T\) passe par le point \(A(a\,;\,f(a))\), donc les coordonnées de \(A\) vérifient l'équation : \(f(a) = f'(a) \times a + p.\)
- On en déduit l'ordonnée à l'origine : \(p = f(a) - a\,f'(a).\)
- En reportant : \(y = f'(a)\,x + f(a) - a\,f'(a) = f(a) + f'(a)\,(x - a).\) CQFD
Exemple. \(f(x) = x^2\) et \(a = 3.\) On a \(f(3) = 9\) et \(f'(3) = 2 \times 3 = 6\), donc
\[y = 9 + 6\,(x - 3) = 6x - 18 + 9 = 6x - 9.\]
6. Ce que mesure \(f'(a)\) dans la vraie vie
- Vitesse instantanée. Si \(d(t)\) est la distance parcourue (en m) au bout de \(t\) secondes, le taux de variation entre \(t\) et \(t+h\) est la vitesse moyenne sur cet intervalle, et \(d'(t)\) est la vitesse instantanée (en m·s⁻¹), celle qu'indique le compteur. Avec \(d(t) = 5t^2\), on trouve \(d'(t) = 10t\), donc \(d'(3) = 30\) : à l'instant \(t = 3\) s, le mobile va à \(30\) m·s⁻¹.
- Coût marginal. Si \(C(q)\) est le coût de production de \(q\) objets, \(C'(q)\) est le coût marginal : il donne approximativement le coût de l'objet suivant, \(C(q+1) - C(q).\) Si \(C'(50) = 12\), fabriquer le 51ᵉ objet coûte environ \(12\) €.
- En général. \(f'(a)\) est la vitesse de variation de \(f\) à l'instant (ou au point) \(a\) : grand et positif = ça monte vite, négatif = ça descend, nul = ça stagne.
7. Lire un nombre dérivé sur un graphique
Si la tangente au point d'abscisse \(a\) est tracée, il suffit de compter sa pente : on choisit deux points de la tangente aux coordonnées lisibles, \(M(x_1\,;\,y_1)\) et \(N(x_2\,;\,y_2)\), et
\[f'(a) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.\]
Astuce du « 1 à droite ». Je pars du point de contact, j'avance de \(1\) vers la droite : ce que je monte (ou descends, en négatif) est \(f'(a).\)
Exemple : la tangente en \(A(1\,;\,2)\) passe aussi par \((3\,;\,5)\), donc \(f'(1) = \dfrac{5-2}{3-1} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5.\)
Méthode
A. Calculer un nombre dérivé à partir de la définition
- Écrire le taux de variation \(\tau(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\) en remplaçant \(f(a+h)\) et \(f(a)\) par leurs expressions.
- Développer et réduire le numérateur : les termes sans \(h\) doivent tous disparaître (c'est le contrôle).
- Factoriser le numérateur par \(h\), puis simplifier par \(h.\)
- Faire tendre \(h\) vers \(0\) dans l'expression simplifiée : le résultat est \(f'(a).\)
Exemple rédigé. \(f(x) = x^2 + 3x\) et \(a = 1.\)
\(f(1+h) = (1+h)^2 + 3(1+h) = 1 + 2h + h^2 + 3 + 3h = h^2 + 5h + 4\) et \(f(1) = 4.\)
\[\tau(h) = \frac{h^2 + 5h + 4 - 4}{h} = \frac{h(h+5)}{h} = h + 5.\]
Quand \(h \to 0\), \(h + 5 \to 5\), donc \(f'(1) = 5.\)
B. Déterminer l'équation d'une tangente
- Calculer \(f(a)\) : c'est l'ordonnée du point de contact.
- Calculer \(f'(a)\) : c'est la pente.
- Écrire la formule \(y = f(a) + f'(a)(x - a).\)
- Développer et réduire pour obtenir la forme \(y = mx + p.\)
- Vérification : remplacer \(x\) par \(a\) dans le résultat doit redonner \(f(a).\)
Exemple. \(f(x) = x^2 - 4x + 1\), \(a = 3.\) Alors \(f(3) = 9 - 12 + 1 = -2\) et \(f'(3) = 2 \times 3 - 4 = 2.\)
\[y = -2 + 2(x - 3) = 2x - 8.\]
Contrôle : pour \(x = 3\), \(2 \times 3 - 8 = -2 = f(3).\) ✔
C. Lire \(f'(a)\) sur un graphique
- Repérer le point de contact de la tangente, d'abscisse \(a.\)
- Choisir sur la tangente un second point dont les coordonnées « tombent juste » (sur des croisements du quadrillage).
- Compter le déplacement horizontal \(\Delta x\) et le déplacement vertical \(\Delta y\) entre ces deux points (\(\Delta y\) négatif si on descend).
- \(f'(a) = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}.\) Si on a avancé de \(1\), c'est directement la montée.
Contrôle de bon sens : tangente qui monte \(\Rightarrow f'(a) > 0\) ; qui descend \(\Rightarrow f'(a) < 0\) ; horizontale \(\Rightarrow f'(a) = 0.\)
D. Construire la tangente connaissant \(f(a)\) et \(f'(a)\)
- Placer le point de contact \(A(a\,;\,f(a)).\)
- À partir de \(A\), avancer de \(1\) vers la droite, puis monter de \(f'(a)\) (descendre si \(f'(a)\) est négatif) : on obtient un second point \(A'.\)
- Tracer la droite \((AA')\) à la règle : c'est la tangente.
Si \(f'(a)\) est petit (par exemple \(0{,}25\)), avancer plutôt de \(4\) et monter de \(1\) : le tracé est plus précis.
Erreurs fréquentes
- Confondre \(f(a)\) et \(f'(a)\). \(f(a)\) est une ordonnée (où est la courbe), \(f'(a)\) est une pente (comment elle penche). Dans « la courbe passe par \(A(2\,;\,5)\) avec une tangente de pente \(-3\) », on a \(f(2) = 5\) et \(f'(2) = -3.\)
- Faire tendre \(h\) vers \(0\) avant de simplifier. Cela donne \(\dfrac{0}{0}\) : on ne peut rien conclure. On simplifie par \(h\) d'abord, ensuite seulement on remplace.
- Écrire \(y = f'(a)(x - a)\) en oubliant \(f(a).\) Cette droite passe par \((a\,;\,0)\) et non par le point de la courbe : la bonne formule est \(y = f(a) + f'(a)(x-a).\)
- Confondre pente et ordonnée à l'origine. Dans \(y = mx + p\), \(m = f'(a)\) est la pente, \(p\) est l'ordonnée du point d'abscisse \(0\) — en général \(p \neq f(a)\) (ils ne coïncident que si \(a = 0\) ou \(f'(a) = 0\)).
- Oublier que \(h \neq 0.\) C'est précisément ce qui autorise la simplification par \(h.\)
Visualisation
Le point \(A\) a pour abscisse \(a\), le point \(B\) a pour abscisse \(a + h.\) La droite (AB) est la sécante, sa pente est le taux de variation. La droite bleue est la tangente en \(A\), sa pente est \(f'(a).\) Diminue \(h\) et regarde les deux droites se confondre.
Plus \(h\) est petit, plus le taux de variation colle à \(f'(a)\) : c'est exactement ce que veut dire \(\lim\limits_{h \to 0}.\)
Exercices
Exercice 1 Niveau 1
Exercice 2 Niveau 2
Exercice 3 Niveau 3
QCM
Quatre questions tirées au hasard. Une seule bonne réponse par question.